Меню

Закон гармонического колебания для тока напряжения

Закон гармонического колебания для тока напряжения

Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями .

Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими . Внешний источник периодического воздействия обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.

Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте ω.

Если частота ω свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника .

Для установления вынужденных стационарных колебаний после включения в цепь внешнего источника необходимо некоторое время Δ. Это время по порядку величины равно времени τ затухания свободных колебаний в цепи.

Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического источника тока, называются цепями переменного тока .

Рассмотрим последовательный колебательный контур, то есть -цепь, в которую включен источник тока, напряжение которого изменяется по периодическому закону (рис. 2.3.1):

,

где – амплитуда, ω – круговая частота.

Предполагается, что для электрической цепи, изображенной на рис. 2.3.1, выполнено условие квазистационарности. Поэтому для мгновенных значений токов и напряжений можно записать закон Ома:

Величина – это ЭДС самоиндукции катушки, перенесенная с изменением знака из правой части уравнения в левую. Эту величину принято называть напряжением на катушке индуктивности .

Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде

,

где , и – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами , и . При установившихся вынужденных колебаниях все напряжения изменяются с частотой ω внешнего источника переменного тока. Для наглядного решения уравнения вынужденных колебаний можно использовать метод векторных диаграмм .

На векторной диаграмме колебания определенной заданной частоты ω изображаются с помощью векторов (рис. 2.3.2).

Длины векторов на диаграмме равны амплитудам и колебаний, а наклон к горизонтальной оси определяется фазами колебаний φ1 и φ2. Взаимная ориентация векторов определяется относительным фазовым сдвигом . Вектор, изображающий суммарное колебание, строится на векторной диаграмме по правилу сложения векторов:

Для того, чтобы построить векторную диаграмму напряжений и токов при вынужденных колебаниях в электрической цепи, нужно знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для всех участков цепи.

Рассмотрим по отдельности случаи подключения внешнего источника переменного тока к резистру с сопротивлением , конденсатору с емкостью и катушки с индуктивностью . Во всех трех случаях напряжение на резисторе, конденсаторе и катушке равно напряжению источника переменного тока.

1. Резистор в цепи переменного тока

Фазовый сдвиг между током и напряжением на резисторе равен нулю.

Физическая величина называется активным сопротивлением резистора .

2. Конденсатор в цепи переменного тока

Ток опережает по фазе напряжение на угол

Физическая величина называется емкостным сопротивлением конденсатора .

3. Катушка в цепи переменного тока

Ток отстает по фазе от напряжения на угол

Физическая величина называется индуктивным сопротивлением катушки .

Теперь можно построить векторную диаграмму для последовательного -контура, в котором происходят вынужденные колебания на частоте ω. Поскольку ток, протекающий через последовательно соединенные участки цепи, один и тот же, векторную диаграмму удобно строить относительно вектора, изображающего колебания тока в цепи. Амплитуду тока обозначим через . Фаза тока принимается равной нулю. Это вполне допустимо, так как физический интерес представляют не абсолютные значения фаз, а относительные фазовые сдвиги. Векторная диаграмма для последовательного -контура изображена на рис. 2.3.2.

Векторная диаграмма на рис. 2.3.2 построена для случая, когда или В этом случае напряжение внешнего источника опережает по фазе ток, текущий в цепи, на некоторый угол φ.

Сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи при резонансе обращается в нуль. Резонанс в последовательной -цепи называется резонансом напряжений . Аналогичным образом с помощью векторной диаграммы можно исследовать явление резонанса при параллельном соединении элементов , и (так называемый резонанс токов ).

При последовательном резонансе () амплитуды и напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают:

В § 2.2 было введено понятие добротности -контура:

Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.

Рис. 2.3.4 иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности . Кривые на рис. 2.3.3 называются резонансными кривыми .

Читайте также:  Уравнивающие токи что это такое

Можно показать, что максимум резонансных кривых для контуров с низкой добротностью несколько сдвинуты в область низких частот.

Источник



Гармонические колебания. Комплексные токи и напряжения

СВОЙСТВА И МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

С ИСТОЧНИКАМИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА (37с.)

Гармонические колебания. Комплексные токи и напряжения

Гармоническими называются сигналы, ток и напряжение которых изменяются во времени по закону косинуса (или синуса) :

где — амплитуды тока и напряжения,

— начальные фазы тока и напряжения.

Угловая частота определяется через период и частоту колебаний

где — частота (Гц) .

В установившемся режиме начальная фаза гармонических колебаний не играет роли и выбирается из соображений удобства. Если рассматриваются одновременно несколько колебаний, то имеет значение разность их начальных фаз (сдвиг фаз). На рисунке 2. 1 показаны гармонические колебания тока и напряжения в некотором участке цепи, описываемые формулами (2. 1) .

Начальная фаза тока принята равной нулю, а начальная фаза напряжения равна — :

Угол сдвига фаз напряжения и тока в данном случае равен . Это значит, что напряжение отстает по фазе от тока на .

Часто пользуются понятием “действующее значение” периодического тока. Под действующим значением тока понимают такой постоянный ток, который в одном и том же сопротивлении за один период выделяет такое же количество тепла, как и периодический ток. Этому определению соответствует равенство

где i — мгновенное значение периодического тока,

I — действующее значение.

Из выражения (2. 2) находим

В частности, для гармонического тока, подставляя его формулу из (2. 1) в соотношение (2. 3), получим

Аналогично можно ввести понятие и величину действующего значения гармонического напряжения

В радиоэлектронике обычно приходится иметь дело с амплитудными значениями токов и напряжений. Но в ряде случаев, например, при проектировании источников питания, расчеты ведут, используя действующие значения, как это принято в электроэнергетике.

Если в линейных электрических цепях действуют гармонические источники, то в установившемся режиме токи и напряжения во всех участках цепи будут также гармоническими. В общем случае линейная цепь гармонического тока может содержать резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы, некоторые участки могут быть магнитно-связанными (взаимная индуктивность). Расчет цепи может заключаться в определении токов ветвей, напряжений на отдельных участках, а также в отыскании характеристических функций цепи (коэффициентов передачи, входного сопротивления и т. д.). Очевидно, что оперировать с токами и напряжениями в гармонической форме при составлении и решении уравнений по законам Кирхгофа крайне неудобно, отношения токов и напряжений (сопротивления, коэффициенты передачи и т. д.) и вовсе не имеют смысла, так как они изменяются во времени. Поэтому анализ электрических цепей при гармонических воздействиях ведется на основе так называемого символического, или комплексного метода, согласно которому гармонические функции времени (ток, напряжение и др. ) представляются векторами или комплексными числами.

Пусть ток изменится по гармоническому закону. Рассмотрим комплексную плоскость, заданную ортами — мнимая ось и +1 — вещественная ось. Поместим на плоскости вектор длиной под углом к вещественной оси и приведем его во вращение вокруг начала координат с угловой скоростью (рисунок 2. 2) .

По истечении времени t вектор займет положение. Угол, на который он повернется относительно вещественной оси, будет равен . Его проекция и на вещественную и мнимую оси будут соответственно равны

Таким образом, проекция вектора на вещественную ось является исходной гармонической функцией. Вектор можно записать и как комплексное число через его проекции

Используя формулу Эйлера , последнее выражение можно переписать в виде

Эта формула является комплексным изображением тока в любой момент времени. Однако в большинстве случаев достаточно знать положение вектора в начальный момент времени t = 0 . Тогда выражение (2. 6) приобретает вид

Это комплексное число (вектор) , модуль которого равен амплитуде тока , а угол- начальной фазе , называется комплексной амплитудой тока или комплексным током.

По аналогии можно ввести понятия и величины : комплексное напряжение , комплексная ЭДС , комплексный магнитный поток и т. д.

С помощью комплексного метода расчет цепей при гармонических воздействиях существенно упрощается.

Пример . Найти напряжение, приложенное ко входу цепи на рисунке 2. 3,

если напряжение на элементах изменяется по гармоническим законам

Читайте также:  Импульсный мощный источник тока

Для наглядности изобразим эти напряжения в виде векторов (векторная диаграмма, рисунок 2. 4) .

При вращении векторов их взаимное положение не будет изменяться. Поэтому достаточно указать их начальные положения. Согласно второму закону Кирхгофа

Сложение мгновенных значений можно заменить сложением векторов или комплексных чисел, изображающих эти напряжения. Такая замена основана на том, что проекция суммы векторов равна сумме проекций. В аналитической форме общее комплексное напряжение находится следующим образом

Амплитуда общего напряжения находится как модуль :

а начальная фаза с помощью соотношения

Аналогично можно находить и сумму гармонических токов. Вместо комплексных амплитуд напряжений и токов при анализе можно использовать комплексное действующее значение

Источник

I. Механика

Тестирование онлайн

Гармоническое колебание

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.

График гармонического колебания

График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения.

Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия — достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Если колебание описывать по закону синуса

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Как получить зависимости v(t) и a(t)

Формулы зависимостей скорости от времени и ускорения от времени можно получить математически, зная зависимость координаты от времени. Аналогично равноускоренному движению, зависимость v(t) — это первая производная x(t). А зависимость a(t) — это вторая производная x(t).

При нахождении производной предполагаем, что переменной (то есть x в математике) является t, остальные физические величины воспринимаем как постоянные.

Источник

Понятие о гармонических токе и напряжении

Лабораторная работа №1 «Исследование простых электрических цепей в установившемся гармоническом режиме»

Цель работы: Измерение гармонических напряжений и фазовых соотношений между ними в простейших цепях, сопоставление результатов эксперимента с результатами расчета и теоретическими положениями.

Краткие теоретические сведения

Понятие о гармонических токе и напряжении

Особое место среди различных физических процессов занимают так называемые периодические процессы. Данный интерес вызван их широким распространением среди физических явлений: движение планет вокруг солнца, суточное вращение Земли, механические колебания математического или физического маятника и пр. Под периодическими будем понимать такие процессы, для которых значения физической величины их характеризующей повторяются через определенный промежуток времени , называемый периодом.

Для того чтобы считать процесс периодическим, необходимо, чтобы наблюдение за ним проводилось на протяжении достаточно большого промежутка времени, теоретически бесконечно большого. Таким образом, мгновенные значения физической величины будут повторяться через различные промежутки времени, кратные периоду:

А, значит, под периодом следует понимать минимальный интервал времени, через который мгновенные значения физической величины повторяются в той же последовательности. Иначе говоря это время одного полного колебания.

Одним из простейших видов периодических процессов являются так называемые гармонические колебания, при которых мгновенные значения физической величины изменяются по гармоническому закону, то есть по закону синуса или косинуса. При изучении линейных электрических цепей процессы в них принято характеризовать мгновенными значениями тока и напряжения . Таким образом, мгновенные значения этих физических величин определяются выражениями:

где — амплитуды колебаний тока и напряжения, — угловая частота, а — начальные фазы. Поясним физический смысл введенных числовых параметров гармонических колебаний на примере графического представления (рис. 1.1).

Читайте также:  Определите силу тока в электрической лампе если через нее за 5 минут проходит заряд 150

Рис. 1.1 — Графическое представление гармонического напряжения

Из графика гармонического напряжения видно, что амплитуда – это наибольшее из мгновенных значений, принимаемых гармоническим напряжением за время одного периода.

В зависимости от значения своего аргумента косинус, определяющий мгновенное значение гармонического тока или напряжения, может принимать значения в диапазоне от -1 (аргумент равен радиан, или ) до 1 (аргумент равен нулю), причем значения косинуса повторяются в той же последовательности через интервалы времени, кратные радиан или . Иными словами, аргумент косинуса определяет стадию развития колебания и носит название полной фазы колебания:

Как показывают выражения (1.4) полная фаза с течением времени линейно нарастает. Скорость изменения полной фазы колебания носит название угловой частоты :

а ее значение в момент времени — начальной фазы (или ):

В отличие от полной фазы колебания, начальная фаза может принимать значения аргумента косинуса, соответствующие одному периоду его изменения. Принято полагать, что эти значения заключены в интервале от до радиан (от до ).

Из рис. 1.1 видно, что стадия развития колебания в начальный момент времени ( ) определяется величиной смещения графика косинуса по оси времени:

Таким образом, если график гармонического напряжения смещен против направления временной оси, как показано на рис. 1.1, то начальная фаза , а при его смещении вдоль направления — начальная фаза .

Величина угловой частоты связана с периодом колебания:

и с еще одним числовым параметром гармонического сигнала, который носит название линейной (циклической) частоты :

под которой понимают число колебаний, совершаемых гармоническим током (или напряжением) за единицу времени.

В общем случае, когда закон изменения мгновенной величины не является гармоническим и, вообще говоря, симметричным, физическую величину (в теории электрических цепей это, по-прежнему, ток и напряжение) принято характеризовать усредненными числовыми параметрами:

· среднее за период значение

· среднеквадратическое значение

· средневыпрямленное значение

Для гармонических токов и напряжений связь между среднеквадратическим, средневыпрямленным и амплитудным значениями задается соотношениями вида:

При анализе линейных электрических цепей важно не просто определить числовые параметры некоторой реакции (тока или напряжения), но и сравнить их с соответствующими числовыми параметрами другой реакции или воздействия. Однотипные гармонические реакции (имеющие одинаковые размерности единиц измерения), как правило, сравнивают по амплитуде и начальной фазе, считая, что они изменяются с одной и той же частотой (для линейных электрических цепей это условие всегда выполняется). Результатом сравнения двух реакций по амплитуде является вывод: какая из них превосходит какую по амплитуде. Сравнение же двух реакций по начальной фазе осуществляется путем определения, так называемого, фазового сдвига (или сдвига фаз), под которым понимают разность начальных фаз двух гармонических реакций:

Если сдвиг фаз положителен, то говорят, что вторая из реакций опережает первую по фазе, а если отрицателен – то отстает от нее по фазе. В частных случаях сдвиг фаз может оказаться равным нулю или рад. В первом случае реакции называются синфазными, а во втором – противофазными.

При графическом представлении гармонических колебаний, или их визуальном наблюдении на экране электронного осциллографа, сдвиг фаз между двумя реакциями (например, двумя напряжениями) электрической цепи определяется косвенным способом (рис. 1.2).

Рис. 1.2 — К определению сдвига фаз гармонических напряжений

Если рассмотреть ближайшие моменты времени, в которые обе реакции электрической цепи проходят одну и ту же стадию развития колебания, то их полные фазы окажутся одинаковыми:

Знак же сдвига фаз определяется следующим образом (см. рис. 1.2):

· если второй сигнал смещен относительно первого вдоль оси времени вправо (рис. 1.2, а), то момент времени , в который мгновенное значение данной реакции становится наибольшим, наступает позже соответствующего момента времени для первого сигнала, а значит и сдвиг фаз отрицателен, то есть второе напряжение отстает по фазе от первого;

· если второй сигнал смещен относительно первого вдоль оси времени влево (рис. 1.2, б), то момент времени , в который мгновенное значение данной реакции становится наибольшим, наступает раньше соответствующего момента времени для первого сигнала, а значит и сдвиг фаз положителен, то есть второе напряжение опережает по фазе первое.

Источник