Меню

Взаимодействие параллельных проводников с током электротехника

Взаимодействие параллельных проводников с током электротехника

Если близко один к другому расположены проводники с токами одного направления, то магнитные линии этих проводников, охватывающие оба проводника, обладая свойством продольного натяжения и стремясь сократиться, будут заставлять проводники притягиваться (рис. 90, а). Магнитные линии двух проводников с токами разных направлений в пространстве между проводниками направлены в одну сторону. Магнитные линии, имеющие одинаковое направление, будут взаимно отталкиваться. Поэтому проводники с токами противоположного направления отталкиваются один от другого (рис. 90, б).

Рис. 90. Взаимодействие двух проводников с токами: а - протекающими в одну сторону, б - протекающими в разные стороны
Рис. 90. Взаимодействие двух проводников с токами: а — протекающими в одну сторону, б — протекающими в разные стороны

Рассмотрим взаимодействие двух параллельных проводников с токами, расположенными на расстоянии а один от другого. Пусть длина проводников равна l.

Магнитная индукция, созданная током I1 на линии расположения второго проводника, равна

На второй проводник будет действовать электромагнитная сила

Магнитная индукция, созданная током I2 на линии расположения первого проводника, будет равна

и на первый проводник действует электромагнитная сила

равная по величине силе F2.

На электромеханическом взаимодействии проводников с током основан принцип действия электродинамических измерительных приборов, используемых в цепях постоянного и в особенности переменного тока.

Источник



Взаимодействие параллельных проводников с током (параллельных токов)

Определить в некоторой точке пространства вектор индукции магнитного поля B, порождаемого постоянным электрическим током I, можно с помощью Закона Био-Савара. Это делается путем суммирования всех вкладов в магнитное поле от отдельных элементов тока.

Магнитное поле элемента тока dI, в точке, заданной вектором r, по Закону Био-Савара находится так (в системе СИ):

Одна из типичных задач состоит в том, чтобы далее определить силу взаимодействия двух параллельных токов. Ведь токи, как известно, порождают собственные магнитные поля, а ток, находящийся в магнитном поле (другого тока) испытывает на себе действие силы Ампера.

ОРУ трансформаторной подстанции

Под действием силы Ампера, противоположно направленные токи взаимно отталкиваются, а токи направленные в одну сторону — взаимно притягиваются.

Прежде всего для прямого тока I нам необходимо найти магнитное поле B на некотором расстоянии R от него.

Для этого вводится элемент длины тока dl (по направлению тока), и рассматривается вклад от тока в месте расположения данного элемента длины — в общую индукцию магнитного поля применительно к выбранной точке пространства.

Сначала будем записывать выражения в системе СГС, то есть появится коэффициент 1/с, а в конце приведем запись в системе СИ, где появится магнитная постоянная.

По правилу нахождения векторного произведения, вектор dB — результат векторного произведения dl на r для любого элемента dl, в каком бы месте рассматриваемого проводника он не находился, всегда будет направлен за плоскость рисунка. Результат будет равен:

Произведение косинуса на dl можно выразить через r и угол:

Значит выражение для dB примет вид:

Далее выразим r через R и косинус угла:

И выражение для dB примет вид:

Далее необходимо это выражение проинтегрировать в пределах от -пи/2 до +пи/2, и в результате получим для B в точке на расстоянии R от тока следующее выражение:

Определение B

Можно сказать, что вектор B найденной величины, для выбранной окружности радиуса R, через центр которой перпендикулярно проходит данный ток I, всегда будет направлен по касательной к данной окружности, какую бы точку окружности мы ни выбрали. Здесь присутствует осевая симметрия, так что вектор B в любой точке окружности получается одной и той же длины.

Теперь рассмотрим параллельные постоянные токи и решим задачу нахождения сил их взаимодействия. Допустим, что параллельные токи направлены в одну и ту же сторону.

Изобразим магнитную силовую линию в форме окружности радиуса R (о которой речь шла выше). И пусть второй проводник расположен параллельно первому в какой-то точке данной силовой линии, то есть в месте с индукцией, значение которой (в зависимости от R) мы только что научились находить.

Магнитное поле в этом месте направлено за плоскость рисунка, и оно действует на ток I2. Выделим элемент длины тока l2, равный одному сантиметру (единица длины в системе СГС). Далее рассмотрим силы, действующие на него. Будем использовать Закон Ампера. Индукцию в месте расположения элемента длины dl2 тока I2 мы нашли выше, она равна:

Следовательно сила, действующая со стороны всего тока I1 на единицу длины тока I2 будет равна:

Это и есть сила взаимодействия двух параллельных токов. Поскольку токи однонаправленные и они притягиваются, то сила F12 со стороны тока I1 направлена так, что она тянет ток I2 в сторону тока I1. Со стороны же тока I2 на единицу длины тока I1 действует сила F21 равной величины, но направленная в сторону противоположную силе F12, в соответствии с третьим законом Ньютона.

В системе СИ, сила взаимодействия двух постоянных параллельных токов находится по следующей формуле, где коэффициент пропорциональности включает в себя магнитную постоянную:

Читайте также:  Каким будет направление индукционного тока при приближении

Источник

6.5. Взаимодействие двух проводников с током

Применим закон Ампера для вычисления силы взаимодействия двух длинных прямолинейных проводников с токами I1 и I2, находящихся на расстоянии d друг от друга (рис. 6.26).

Рис. 6.26. Силовое взаимодействие прямолинейных токов:
1 — параллельные токи; 2 — антипараллельные токи

Проводник с током I1 создает кольцевое магнитное поле, величина которого в месте нахождения второго проводника равна

Это поле направлено «от нас» ортогонально плоскости рисунка. Элемент второго проводника испытывает со стороны этого поля действие силы Ампера

Подставляя (6.23) в (6.24), получим

При параллельных токах сила F21 направлена к первому проводнику (притяжение), при антипараллельных — в обратную сторону (отталкивание).

Аналогично на элемент проводника 1 действует магнитное поле, создаваемое проводником с током I2 в точке пространства с элементом с силой F12. Рассуждая таким же образом, находим, что F12 = –F21, то есть в этом случае выполняется третий закон Ньютона.

Итак, сила взаимодействия двух прямолинейных бесконечно длинных параллельных проводников, рассчитанная на элемент длины проводника, пропорциональна произведению сил токов I1 и I2 протекающих в этих проводниках, и обратно пропорциональна расстоянию между ними. В электростатике по аналогичному закону взаимодействуют две длинные заряженные нити.

На рис. 6.27 представлен опыт, демонстрирующий притяжение параллельных токов и отталкивание антипараллельных. Для этого используются две алюминиевые ленты, подвешенные вертикально рядом друг с другом в слабо натянутом состоянии. При пропускании через них параллельных постоянных токов силой около 10 А ленты притягиваются. а при изменении направления одного из токов на противоположное — отталкиваются.

Рис. 6.27. Силовое взаимодействие длинных прямолинейных проводников с током

На основании формулы (6.25) устанавливается единица силы тока — ампер, являющаяся одной из основных единиц в СИ.

Ампер — это сила неизменяюшегося тока, который, протекая по двум длинным параллельным проводникам, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м, вызывает между ними силу взаимодействия 2×10 –7 Н на каждый метр длины провода.

Пример. По двум тонким проводам, изогнутым в виде одинаковых колец радиусом R = 10 см, текут одинаковые токи I = 10 А в каждом. Плоскости колец параллельны, а центры лежат на ортогональной к ним прямой. Расстояние между центрами равно d = 1 мм. Найти силы взаимодействия колец.

Решение. В этой задаче не должно смущать, что мы знаем лишь закон взаимодействия длинных прямолинейных проводников. Поскольку расстояние между кольцами много меньше их радиуса, взаимодействующие элементы колец «не замечают» их кривизны. Поэтому сила взаимодействия дается выражением (6.25), куда вместо надо подставить длину окружности колец Получаем тогда

Источник

Взаимодействие параллельных проводников с током.

Если заряды движутся в тонкой цилиндрической проволоке, которая в целом электрически нейтральна. Тогда кулоновские силы со стороны движущихся зврядов, образующих электрический ток, экранируются зарядами противоположного знака проволоки и вне проволоки действует лишь магнитная сила.

Следовательно, вокруг проводника с током появляется действие магнитной силы на движущиеся заряды, которые образуют электрический ток. При этом возникаем магнитное взаимодействие токов. Это получается как результат релятивистского анализа взаимодействия движущихся зарядов, хотя магнитное поле было открыто много раньше появления релятивистских представлений.

Положим, что движущие заряды представляют ток, текущий по проводнику, параллельно исходному току, текущему вдоль оси Х и расположенному на расстоянии r от него. Для исходного тока используются индексы 1, а для линейного – индексы 2. на каждый заряд тока 2 со стороны тока 1 действует сила притяжения Fmy

Или в предствлении через ток

Обозначим n2 линейную концентрацию зарядов на втором проводнике. На элементе длины dx2 находится dq2 = n2dx2 зарядов, на которые действует магнитная сила

подставляя в (8.17) выражение (8.16)

где I2 = qvn2. Кроме того, в теории магнетизма принято использовать магнитную постоянную вместо μ = 1/ec 2

это выражение характеризует взаимодействие прямолинейных токов в бесконечных параллельных проводниках. Условие применимости — малость поперечных размеров проводников по сравнению с расстоянием между ними.

Единица силы тока. Из (8.19) видно, что на длину l2 проводника приходится сила

Знак минус показывает, что при одинаковых направлениях токов 1 и 2 между проводниками действует сила притяжения. Если направления токов различны, то возникает сила отталкивания. Из (8.20) следует определение единицы силы тока – ампер- сила тока, которая в параллельных проводниках бесконечной длины на расстоянии 1м в вакууме, вызывает силу 2 10 -7 Н на метр длины. Отсюда следует, что μ =4p10 -7 Н/А 2 .

Сила Лоренца. Сила Ампера.

Рассмотрим взаимодействие зарядов в системе координат К¢, движущейся относительно системы К со скоростью v в направлении положительных значений оси X.

В общем случае проекции сил в различных системах координат не равны между собой. Однако, между ними имеются определенные соотношения, обеспечивающие инвариантность уравнений движения, т.е. их одинаковый вид в различных системах координат

Левые части этих уравнений преобразуем с помощью формул теории относительности для импульса и преобразований Лоренца

Читайте также:  Диаграмма токов асинхронной машины

Где E= m¢c 2 –полная энергия материальной точки, β=v/c.

Формулы приводятся к виду

Где ux¢, uy¢, uz¢ — скорости точки в системе K¢; Fx¢, Fy¢, Fz¢ вошли в правые части уравнений в результате использования уравнений движения (9.2). При вычислении(9.4) принята во внимание формула

dE¢/dt¢ = F¢u¢ (9.7)

выражающая закон сохранения энергии в системе координат K¢. С помощью формул сложения скоростей

Выражение (9.4) приведем к виду

Для упрощения (9.5) и (9.6) необходимо важное соотношение, которое получается из формул для преобразования скоростей. Запишем прямые и обратные преобразования, например, у-проекции скорости

Перемножая почленно левые и правые части этих равенств и сокращая полученные равенства на общий множитель uуuy¢ находим

Учитывая (9.10), преобразуем формулы (9.5) и (9.6)

Таким образом, с помощью формул (9.9), (9.10) и (9.12) сила в системе координат К выражена через силу в системе К¢. По принципу относительности можно написать и обратные преобразования.

Запишем формулы преобразования сил в векторной форме. Введем обозначения

G=[0, — (v/c 2 ) Fz¢/Ö1-β 2 ), (v/c 2 ) Fx¢/Ö1-β 2 )] (9.14)

Нетрудно проверить, что с помощью (9.13) и (9.14) формулы (9.9) (9.11) и (9.12) записываются в виде векторного равенства

F =Z + u×G(9.15)

Так какF – вектор, то и вся правая часть-вектор. Равенство справедливо для произвольныхu. Следовательно, каждое из слагаемых в правой части является вектором. Поскольку

u×Gиu –векторы, то и Gтоже вектор. Таким образом, определяемые равенствами (9.13) и (9.14) величины Z и G являются векторами.

Сила Лоренца.

Положим, что в системе координат K¢ имеется только электрическое поле и, следовательно, сила (Fx¢ Fy¢ Fz¢) не зависит от скорости u¢ частицы. Тогда Z не зависит от скорости частицыuчастицы и представляет собой электрическую силу в системе координатK.

Аналогично вектор G также не зависит от скорости u частицы, а может зависеть лишь от координаты и времени. Поэтому зависимость силы от скорости частицы содержится во втором слагаемом (9.15)

F = u×G

Это магнитная сила, направленная перпендикулярно скорости частицы и вектору G, представляющему магнитное поле, которое действует на движущуюся частицу. Поскольку Zв формуле (9.15) представляет электрическую силу, действующую на заряд q, то напряженность

Е = Z/q

Аналогично индукция магнитного поля

B =G/q

С учетом предыдущих формул, сила, действующая на заряд, записывается в форме

F= qE+qu×B

Это сила Лоренца. Первое слагаемое определяет силу электрического взаимодействия, второе – действие магнитного поля.

ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ЗАРЯДЫ И ТОКИ

5.1. Сила Лоренца

Магнитное поле — это особый вид материи. Подобно тому, как элек­трическое поле проявляет себя действием на заряды, магнитное поле проявляется в том, что на движущиеся заряды и электрические токи в этом поле действуют силы. Количественной характеристикой магнитно­го поля служит вектор магнитной индукции В. Если в пространстве существует магнитное поле, то в каждой его точке Р(r)имеется вектор В, который может изменяться с течением времени:

В = B(t,r).

Магнитное поле называется постоянным, когда магнитная индукция В

от времени не зависит. Если вектор Вне зависит от радиус-вектора r, то магнитное поле называется однородным (рис. 5.1).

Опытным путем была установлена формула, которая описывает дей­ствие магнитного поля на движущийся со скоростью vэлектрический за­ряд q. Сила, с которой магнитное поле действует на движущийся заряд, называется силой Лоренца. Эта сила коллинеарна векторному произве­дению вектора скорости на вектор магнитной индукции:

По определению векторного произве­дения модуль силы Лоренца

F = | q | v В sin a , (5.3)

где а — угол между векторами vи В . Формулу (5.2) можно рассматривать как определение вектора магнитной индукции. Единицей измерения магнитной индукции в СИ служит тесла (T): [В] = Т = Н с/(Кл м) = кг/(с 2 А).

Согласно формуле (5.2) сила Лоренца, действующая на заряд в маг­нитном поле, перпендикулярна и вектору скорости vзаряда, и вектору Виндукции магнитного поля (рис. 5.2). При этом скалярное произве­дение вектора скорости на вектор силы Лоренца,

т.е. мощность силы Лоренца равна нулю. Отсюда следует, что сила Лоренца работу не совершает и кинетическая энергия частицы при ее движении в магнитном поле со временем не изменяется.

Рис. 5.2. Сила Лоренца

5.2. Движение заряженной частицы в однородном и постоянном магнитном поле

Пусть в пространстве существует однородное и постоянное магнитное поле. Такое поле характеризуется в любой точке пространства одним и

тем же вектором В . Построим систему координат так, чтобы ось у совпа­дала по направлению с вектором Вмагнитной индукции. При этом две проекции Вх и Вz вектора Вбудут равны нулю: В<0, В, 0>. Исследуем движение заряженной частицы в таком

Запишем второй закон Ньютона:

mv = q [ v В] , (5.4)

где m, q — масса и заряд частицы.

Проекции вектора [v В] на оси координат можно найти по известному правилу из векторной алгебры:

Читайте также:  Нормированное сопротивление растекания тока в землю

При помощи этого выражения запишем второй закон Ньютона в проек­циях на оси координат:

mvx¢ =q В vz , т vy¢ = 0 , mvz¢ = q В vx . (5.5)

Решив эту систему уравнений, можно найти при заданных начальных условиях зависимость от времени вектора скорости частицы: v = v(t), a затем из уравнения r¢ = v — зависимость r = r(t), описывающую движение частицы.

Задача. Решить систему уравнений (5.5). Найти зависимость r = r(t) при произвольных начальных условиях. Показать, что траекто­рией движения заряда в магнитном поле является винтовая линия.

Согласно формуле (5.2) сила Лоренца равна нулю, когда вектор скоро­сти коллинеарен вектору магнитной индукции. Поэтому вдоль силовой линии однородного магнитного поля заряженная частица движется равномерно и прямолинейно:

F = 0 , v = const .

Направим ось у вдоль силовых линий магнитного поля (рис. 5.3). В
таком случае координата у заряженной частицы будет изменяться со
временем по закону

Рис.5.3. Вдоль силовой линии однородного магнитного поля заряженная частица движется равномерно и прямолинейно

Пусть в начальный момент времени t = 0 скорость заряда была пер­пендикулярна вектору В : vy(0) = 0. При этом из второго уравнения системы (5.5) следует, что vy(t) = 0, т.е. частица все время будет дви­гаться в плоскости перпендикулярной вектору В: v^ В . Так как сила Лоренца работу не совершает и кинетическая энергия частицы со вре­менем не изменяется, модуль вектора скорости также постоянен. В этом случае тангенциальное ускорение ат = v¢ будет равно нулю, а нормальное ускорение в силу второго закона Ньютона будет

В

Рис. 5.4- Когда скорость за­ряженной частицы перпенди­кулярна силовым линиям одно­родного магнитного поля, она движется по окружности

Видно, что в постоянном и однород­ном магнитном поле нормальное уско­рение заряженной частицы со

време­нем не изменяется. Это означает, что частица будет двигаться по окружно­сти (рис. 5.4). Радиус

R этой окруж­ности найдем при помощи формулы для центростремительного ускорения

ап =v 2 /R (5.7)

Приравняем правые части равенств (5.6) и (5.7). Получим:

R= т v/(|q|B)

В общем случае заряженная частица в однородном магнитном поле мо­жет совершать два вида движений. Во-первых, частица может двигаться равномерно с некоторой скоростью v||_ вдоль прямой, которая является силовой линией магнитного поля. Во-вторых, частица может двигаться с постоянной скоростью v^_ по окружности, которая расположена в плос­кости, к которой силовые линии магнитного поля перпендикулярны. Эти два движения частица может совершать одновременно. В таком случае траекторией движения частицы будет винтовая линия (рис. 5.5). Эта линия характеризуется такими параметрами, как радиус R и шаг h, т.е. наименьшее расстояние между двумя точками на этой линии, отсчитан­ное вдоль ее оси. При этом проекции v||_ и v^_ вектора скорости v будут связаны с его модулем и углом а между ним и вектором Всоотношени­ями

v|| = v cos a , v^ = v sin a .

Время Т, за которое частица совершает один оборот по винтовой ли­нии, называется периодом обращения. За это время, двигаясь по окруж­ности со скоростью v^, она пройдет путь 2pR, а при движении вдоль силовой линии со скоростью v|| — путь h:

2p R = v^ Т, h = v|| Т .

Радиус R винтовой линии связан со скоростью соотношением

R=m v^//(|q|B)

V

Рис. 5.5. Траектория движения заряженной частицы в однородном и постоянном магнитном полевинтовая линия

5.3. Действие магнитного поля на проводник с током. Сила Ампера

Рассмотрим прямолинейный участок проводника с током, помещенно­го в пространстве, где имеется однородное магнитное поле. Электриче­ский ток есть направленное движение заряженных частиц, называемых носителями тока. На движущийся в магнитном поле заряд действует сила Лоренца.

Сумма всех сил Лоренца, которые действуют на носители тока в проводнике, может быть преобразована к виду(5.8)

где I — сила тока, текущего в проводнике; l — вектор, направление которо­го совпадает с направлением тока, а модуль равен длине l рассматрива­емого участка проводника (рис. 5.6). Сила F, определяемая формулой (5.8), называется силой Ампера. Согласно определению векторного про­изведения сила Ампера перпендикулярна векторам l и В, а ее модуль

F= IlВ sin a ,

где а — угол между векторами l и В . Сила Ампера не приложена к какой-либо точке проводника, а распределена по его объему.

Формулы (5.8) и (5.9) справедливы только в том случае, когда прямой проводник находится в однородном магнитном поле. Чтобы найти в об­щем случае силу, которая действует на тонкий провод с током в магнит­ном поле, разделим его на небольшие участки. Каждый такой участок можно считать прямолинейным, а магнитное поле в нем — однородным.

По формуле (5.8) найдем силу Ампера dF , которая действует на один из участков провода:

где dl — векторный элемент участка провода. Сила, с которой магнит­ное поле действует на тонкий провод с током, равна криволинейному интегралу

Рис. 5.6. Сила Ампера

ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ЗАРЯДЫ И ТОКИ (продолжение)

Источник