Меню

Цепи однофазного синусоидального тока пример решения задачи

РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Решение поставленных в подразд. 9.1–9.3 задач рассмотрим на примере электрической цепи, показанной на рис. 11.1. Напоминаем, что для расчета электрических цепей синусоидального тока применяется символический метод, базирующийся на применении комплексных чисел, и метод векторных диаграмм. Так как математический аппарат, лежащий в основе этих методов, является для студентов новым и часто вызывает определенные трудности, все вычисления покажем подробно.

Пусть параметры заданной электрической цепи имеют следующие числовые значения:

Рис. 11.1. Сложная электрическая цепь однофазного синусоидального тока

Определяем реактивные сопротивления ветвей:

31,4 Ом; 78,5 Ом; 39,8 Ом.

Записываем комплексные значения ЭДС и сопротивлений:

Представление каждой ветви в виде одного комплексного сопротивления Z позволяет изобразить схему в более компактном виде (рис. 11.2).

Рис. 11.2. Компактное изображение электрической цепи

Такое изображение полностью совпадает с соответствующей цепью постоянного тока, и рассчитываться эта цепь может теми же самыми методами. Например, первый и второй законы Кирхгофа имеют здесь следующий вид:

Методу контурных токов соответствуют уравнения:

Заданная цепь содержит всего два узла, поэтому здесь наиболее целесообразно применять метод узловых потенциалов, так как в этом случае составляется только одно уравнение. Применения этого метода требует и условие задачи.

Расчёт токов. Проверка расчёта

Принимаем потенциал одного из узлов равным нулю ( = 0) и записываем узловое уравнение для второго узла:

Дальше определяем комплексные проводимости ветвей:

Теперь рассчитываем потенциал узла e:

Применяя закон Ома для участка цепи, находим токи ветвей:

Делаем проверку по первому закону Кирхгофа. Сумма токов первой и второй ветвей должна быть равна току третьей ветви.

Расхождение обнаруживается только в четвертой значащей цифре, что дает относительную погрешность результата менее, чем 0,05 %.

Величина тока определяется модулем комплексного числа. Поэтому, если в каждую из ветвей включить амперметры, то их показания будут следующими:

= 3,94 А; = 3,32 А; = 3,77 А.

Обращаем внимание на то, что

т. е. первый закон Кирхгофа выполняется только в векторной и символической формах. Для модулей токов он несправедлив.

11.2. Расчет мощностей. Составление баланса мощностей

Комплексная мощность каждого источника определяется по формуле

где – сопряженный комплекс тока.

Ещё раз напоминаем, что сопряженными называются комплексные числа, векторы которых на комплексной плоскости симметричны относительно вещественной оси (см. рис. 10.3):

Они имеют одинаковые модули и равные по величине, но противоположные по знаку, аргументы.

Вещественная часть комплекса определяет активную мощность, мнимая – реактивную, а

= 207 Вт; = 438 вар; = 485 В×А.

Для расчета мощности потребителя применяем формулу

Здесь комплексное сопротивление ветви умножается на квадрат модуля тока.

Например, для первой ветви

Аргументы комплекса мощности и комплекса сопротивления для одной и той же ветви одинаковы.

Мощности второй и третьей ветвей:

Баланс мощностей, как и в цепях постоянного тока выражающий закон сохранения энергии, характеризуется равенством сумм комплексных мощностей источников и потребителей:

Найдем относительные погрешности результата (по модулю):

Дата добавления: 2019-07-17 ; просмотров: 398 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник



2.3.7. Примеры решения задач расчета цепи синусоидального тока Задача 1

Расчет цепи с одним источником энергии, представленной на рис. 2.25,а. Значения параметров элементов: R1 = 10 Ом, R2 = R3 = 5 Ом, XL = 5 Ом, XC = 5 Ом. Определить токи в цепи при подводимом напряжении от источника U = 100 B.

Расчет проводится с использованием метода преобразования цепи. Последовательность преобразования цепи показана на рис. 2.25. В отличие от расчета цепи постоянного тока используются векторные представления электрических параметров.

Полное сопротивление Zвc =

Величина тока I:

Величина тока 2 рассчитывается по формуле для делителя тока:

Величина тока 3:

7. Проверка выполнения условия баланса мощности

Мощности в активных элементах цепи:

P1 = R1I 2 = R1 [Ia 2 + Ip 2 ] = 10[7 2 + 2,16 2 ] = 1053,67 = 536,7 Вт;

Суммарная активная мощность, потребляемая цепью:

Мощность реактивных элементов цепи:

QL = XLI 2 = XL [Ia 2 + Ip 2 ] = 5[7 2 + 2,16 2 ] = 553,67 = 268,35 вар;

Суммарная реактивная мощность цепи:

Активная мощность источника:

Рист = Ia = 1007 = 700 Вт.

Реактивная мощность источника:

Qист = Ip = 1002,16 = 216 вар.

Отрицательный знак реактивной компоненты тока указывает, что этот ток по фазе отстает от напряжения. Следовательно, реактивность источника индуктивная и берется со знаком «плюс».

Сравнение результатов расчета показывает, что с учетом погрешности вычислений баланс как активной, так и реактивной мощностей выполняется.

Задача 2

Расчет токов в цепи с двумя источниками ЭДС, схема которой приведена на рис. 2.26,а.

При расчете используется метод межузлового напряжения, величина которого равна (см. рис. 2.26,б):

Читайте также:  Расчет линейного тока в трехфазной цепи треугольник

где 0,00385 – j0,01923 См;

j0,2 См;

0,2 См.

-3,734 – j29,741 B.

-0,2016 – j1,9657 A;

0,9482 + j7,9132 A;

-0,7468 – j5,9482 A.

Для проверки правильности решения используется условие баланса мощности.

Потребляемая активная мощность:

= 10(0,2016 2 + 1,9657 2 ) + (0,7468 2 +

+ 5,9482 2 ) = 39,046 + 179,649 = 218,695 Вт.

Потребляемая реактивная мощность:

= 50(0,2016 2 + 1,9657 2 ) — 5(0,9482 2 +

+ 5,9482 2 ) = 195,23 – 317, 59 = -122,36 вар.

Мощность источника Е1:

100 (-0,2016 + j1,9657) = -20,16 + j196,71 ВА.

Мощность источника Е2:

(43,3 + j25)(0,9482 – j7,9132) = 238,887 – j318,936 ВА.

Активная мощность источников Е1 и Е2:

-20,16 + 238,887 = 218,727 ВА.

Реактивная мощность источников Е1 и Е2:

196,71 – 318,936 = -122,226 вар.

Как видно, условие баланса мощности выполняется.

Источник

Расчет линейной электрической цепи однофазного синусоидального тока

Для цепи, изображенной на рис. 1 требуется:

  1. Определить комплексным методом действующие значения напряжений и токов на всех участках цепи.
  2. Определить активные, реактивные и полные мощности каждого участка цепи и всей цепи.
  3. Составить баланс активных и реактивных мощностей и оценить погрешность расчета.
  4. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Частота питающего напряжения 50 Гц.


Рис. 1

Исходные данные:
U = 127 В , r1 = 15 Ом , C1 = 60 мкФ, r2 = 10 Ом , L2 = 80 мГн, r3 = 15 Ом , C3 = 90 мкФ.

Решение. Заказать у нас работу! Решить онлайн! (New. )

  1. Определим комплексные сопротивления каждой ветви.

2. Определим полное сопротивление цепи.

3. Приняв найдем токи и напряжения в ветвях.

4. Определим активные, реактивные и полные мощности участков цепи и всей цепи целиком.

Мощность первого участка:
(ВА)
Мощность второго участка:
(ВА)
Мощность третьего участка:
(ВА)
Полная мощность всей цепи:
(ВА)

Проверим баланс активных мощностей:
P = P1 + P2 + P3
P = 205,2 (BA)
P1 + P2 + P3 = 61,25 + 82,44 + 61,22 = 204,91 (Вт)
Абс. погр-ть Δ = P – (P1 + P2 + P3) = 205,2 – 204,91 = 0,29 (Bт)
Отн. погр-ть

Проверим баланс реактивных мощноcтей:
S = S1 + S2 + S3
S =- 153,96 (BA)
S1 + S2 + S3 = — 216,7 + 207,19 – 144,5 = — 154,01 (ВА)
Абс. погр-ть Δ = |S – (S1 + S2 + S3)| = |153,96 – 154,01| = 0,05 (BA)
Отн. погр-ть

5. Построим векторную диаграмму на комплексной плоскости.

Для этого определим напряжения на каждом элементе схемы.
(В)
(В)
(В)
(В)
(В)
(В)

Источник

Решение типовых задач. Синусоидальные токи, напряжения

Синусоидальные токи, напряжения. Параметры идеальных элементов электрических цепей синусоидального тока

Общие сведения

Электромагнитный процесс в электрической цепи считается периодическим, если мгновенные значения напряжений и токов повторяются через равные промежутки времени Т. Время Т называется периодом. Напряжения u(t) = u(t+T) и токи i(t)=i(t+T) ветвей электрической цепи являются периодическими функциями времени.

Величина, обратная периоду (число периодов в единицу времени), называется частотой: f = 1/T. Частота имеет размерность 1/c, а единицей измерения частоты служит Герц (Гц).

Широкое применение в электротехнике нашли синусоидальные напряжения и токи:

В этих выражениях:

u(t), i(t) – мгновенные значения,

Um, Im – максимальные или амплитудные значения,

ω = 2π/T = 2πf – угловая частота (скорость изменения аргумента),

ψu, ψi – начальные фазы,

ωt + ψu, ωt + ψi – фазы, соответственно напряжения и тока.

Графики изменения u(t), i(t) удобно представлять не в функции времени t, а в функции угловой величины ωt , пропорциональной t (рис. 1.1).

Величина φ = (ωt + ψu) – (ωt + ψi) = ψu, — ψi называется углом сдвига фаз. На рис. 1.1 ψu > 0, ψi > 0, φ = ψuψi > 0, т.е. напряжение опережает ток. Аналогично можно ввести понятие углов сдвига фаз между двумя напряжениями или токами.

Количество тепла, рассеиваемого на сопротивление R при протекании по нему тока, электромагнитная сила взаимодействия двух проводников с равными токами, пропорциональны квадрату тока. Поэтому о величине тока судят по действующему значению за период. Действующее значение периодического тока i(t) определяется по выражению

Для квадратов левой и правой частей этого равенства, после умножения их на RT, будем иметь:

Из этого равенства следует, что действующее значение периодического тока равно по величине такому постоянному току I, который на неизменном сопротивлении R за время T выделяет тоже количество тепла, что и ток i(t).

При синусоидальном токе i(t) = Im sin ωt интеграл

Следовательно, действующее значение синусоидального тока равно

Действующее значение синусоидальных напряжений u(t), э.д.с. e(t) определяются аналогично:

Для измерения действующих значений используются приборы электромагнитной, электродинамической, тепловой и др. систем.

Читайте также:  Что такое пипл ток

Среднее значение синусоидального тока определяется как среднее за половину периода. Поэтому,

Средние значения синусоидальных напряжений u(t), э.д.с. e(t) определяются аналогично:

Отношение амплитудного значения к действующему называется коэффициентом амплитуды ka, а отношение действующего значения к среднему – коэффициентом формы kф. Для синусоидальных величин, например, тока i(t), эти коэффициенты равны:

Для синусоидальных токов i(t) = Im sin(ωt + ψi) уравнения идеальных элементов R, L, C при принятых на рис. 1.2. положительных направлениях имеют вид

На активном сопротивлении R мгновенные значения напряжения и тока совпадают по фазе. Угол сдвига фаз φ = 0.

На индуктивности L мгновенное значение тока отстает от мгновенного значения напряжения на угол . Угол сдвига фаз .

На емкости C мгновенное значение напряжения отстает от мгновенного значения тока на угол . Угол сдвига фаз .

Величины ωL и 1/ωC имеют размерность [Ом] и называются реактивным сопротивлением индуктивности или индуктивным сопротивлением XL:

и реактивным сопротивлением емкости или емкостным сопротивлением XС:

Величины 1/ωL и ωC имеют размерность [Ом -1 ] и называются реактивной проводимостью индуктивности или индуктивной проводимостью BL:

и реактивной проводимостью емкости или емкостной проводимостью BС:

Связь между действующими значениями напряжения и тока на идеальных элементах R, L, C устанавливают уравнения:

Для синусоидального напряжения u = Um sin ωt начальная фаза тока на входе пассивного двухполюсника (рис. 1.3.) равна

ψi = – φ, поэтому i = Im sin(ωt – φ)

Проекция напряжения на линию тока

называется активной составляющей напряжения.

Проекция напряжения на линию, перпендикулярную току,

называется реактивной составляющей напряжения.

Проекция тока на линию напряжения

называется активной составляющей тока.

Проекция тока на линию, перпендикулярную напряжению,

называется реактивной составляющей тока.

Имеют место очевидные соотношения:

В цепи синусоидального тока для пассивного двухполюсника по определению вводятся следующие величины:

1. Полное сопротивление Z:

2. Эквивалентные активное Rэк и реактивное Xэк сопротивления:

3. Полная проводимость Y:

4. Эквивалентные активная Gэк и реактивная Bэк проводимости:

Из треугольников сопротивлений и проводимостей (рис. 1.4) следует:

Эквивалентные параметры являются измеряемыми величинами, поэтому могут быть определены из физического эксперимента (рис. 1.5).

Электрическая цепь по схеме рис. 1.5 должна содержать амперметр А и вольтметр U для измерения действующих значений напряжения и тока, фазометр φ для измерения угла сдвига фаз между мгновенными значениями напряжения и тока на входе пассивного двухполюсника П.

Угол сдвига фаз пассивного двухполюсника .

Физическая величина, численно равная среднему значению от произведения мгновенных значений напряжения u(t) и тока i(t), называется активной мощностью Р.По определению имеем:

называются полной мощностью S и реактивной мощностью Q в цепи синусоидального тока. Имеет место равенство

Коэффициент мощности kм в цепи синусоидального тока определяется выражением:

Единицей измерения активной мощности является Ватт [Вт]. Для измерения активной мощности служит ваттметр. Ваттметр включается по схеме рис. 1.6.

Единица измерения полной мощности [ВА], реактивной – [ВАр].

Для вычисления мощностей удобно использовать следующие выражения:

Решение типовых задач

Для измерения мгновенных значений напряжений u(t) и токов i(t) служит осциллограф. Поскольку сопротивление входа этого прибора очень большое, непосредственно для измерения тока осциллограф использовать нельзя. Измеряют не ток, а пропорциональное току напряжение на шунте Rш (рис. 1.7, а).

Задача 1.1

К источнику синусоидального напряжения частотой f = 50 Гц подключена катушка индуктивности (рис. 1.7, а). Активное сопротивление провода, из которого изготовлена катушка, R = 10 Ом, индуктивность L = 1,6 мГн. Осциллограмма напряжения uш(t) представлена на рис. 1.7, б. Сопротивление шунта Rш = 0,1 Ом. Масштаб по вертикальной оси осциллограммы mu = 0,02 В/дел (0,02 вольта на деление).

Рассчитать действующие значения напряжения uRL, составляющих uR и uL этого напряжения. Построить графики мгновенных значений напряжений uRL, составляющих uR и uL.

Решение.

По осциллограмме рис. 1.7, б двойная амплитуда напряжения на шунте 2А = 10 дел. Находим амплитудное значение Im тока i:

Реактивное сопротивление Х индуктивности L на частоте

Амплитудные значения напряжений uR и uL:

Мгновенные значения составляющих напряжения на сопротивление R катушки индуктивности и индуктивности L соответственно равны (ψi = 0):

Мгновенное значение напряжения на активном сопротивлении в фазе с током, на индуктивности – опережает на угол .

Действующие значения напряжений:

Векторные диаграммы напряжений и тока приведены на рис. 1.8.

Зависимости uR(ωt); uL(ωt); uRL(ωt) представлены на рис. 1.9.

Задача 1.2

К цепи со схемой рис.1.10 приложено синусоидальное напряжение u = 141 sin 314t B.

Найти мгновенные и действующие значения тока и напряжения на всех участках цепи, если R = 30 Ом,

С = 79,62 мкФ.

Решение.

Назначаем положительные направления тока и напряжений как на рис. 1.10. Определяем реактивное сопротивление ХС емкости C на частоте ω = 314с -1 :

Читайте также:  Как вычислить общий ток цепи

Полное сопротивление цепи:

– напряжения на резисторе R: ;

– напряжения на емкости С: .

Угол сдвига фаз между напряжением u и током i:

Начальная фаза тока i определяется из соотношения . Откуда,

Мгновенные значения тока и напряжений на участках цепи:

Задача 1.3

Для пассивного двухполюсника (рис. 1.5) экспериментально определены:

U = 10 В; I = 2 А; φ = 30 о .

Найти полное и эквивалентные активное и реактивное сопротивления двухполюсника.

Решение.

Имеем по определению:

Задача 1.4

По цепи по схеме рис. 1.10 действующие значения тока i на частотах

f1 = 500 Гц и f2 = 1000 Гц равны, соответственно, I1 = 1 А и I2 = 1,8 А.

Определить параметры цепи R и C, если на этих частотах напряжение на входе U = 100 В.

Решение.

По определению на частотах f1 и f2 имеем:

Непосредственно по схеме цепи рис. 1.10 находим:

Значения параметров R и С найдем из решения системы уравнений

Программа расчета в пакете MathCAD.

U:=100 f1:=500 f2:=1000 I1:=1 I2:=1.8 ←Присвоение переменным заданных условием задачи величин.
←Расчет полных сопротивлений на частотах f1 и f2.
←Расчет угловой частоты.
←Задание приближенных значений параметров R и C цепи.
Giver
←Решение системы нелинейных уравнений. Для набора «=» нажмите [Ctrl]=.
←Присвоение вектору RC найденных значений параметров R и C цепи.

Значения параметров цепи: .

Задача 1.5

Вычислить действующее значение тока и активную мощность на входе пассивного двухполюсника с эквивалентными активной проводимостью

G = 0,011 Ом -1 и реактивной проводимостью B = 0,016 Ом -1 . Напряжение на входе двухполюсника U = 30 В.

Решение.

Действующее значение тока

Задача 1.6

Действующее значение синусоидального тока ветви с резистором R равно 0, 1 А (рис. 1.11). Найти действующие значения напряжения u, и токов iL и i, если R = 430 Ом; XL = 600 Ом. Чему равна активная, реактивная и полная мощности этого двухполюсника?

Решение.

Положительные направления напряжения и токов указаны на рис. 1.11.

Действующее значение тока IR = 0,1 А.

По закону Ома U = IRR = 0,1∙430 = 43 В.

Действующее значение тока I можно вычислить, определив полную проводимость Y цепи. По виду схемы имеем

Задача 1.7

Действующее значение синусоидального напряжения на емкости С в цепи со схемой рис. 1.10 UС = 24 В. Найти действующее значение напряжения u и тока i, если XC = 12 Ом; R = 16 Ом.

Решение.

Определяем действующее значение тока i

Полное сопротивление цепи

Определяем действующее значение напряжения u

Задача 1.8

Для определения эквивалентных параметров пассивного двухполюсника в цепи синусоидального тока были сделаны измерения действующих значений напряжения, тока и активной мощности (рис. 1.12).

A → 0,5 A, U → 100 B, W → 30 Вт.

Для определения характера реактивного сопротивления (проводимости) параллельно двухполюснику была включена емкость С (ВС ˂ Вэк). При этом показания амперметра уменьшились. Рассчитать эквивалентные сопротивления и проводимости двухполюсника.

Решение.

Действующее значение: I = 0,5 A, U = 100 B. Активная мощность, потребляемая двухполюсником, P = 30 Вт. Полное сопротивление двухполюсника

Эквивалентное активное сопротивление

Эквивалентное реактивное сопротивление

Характер реактивного сопротивления индуктивный (Хэк = ХL, φ > 0). После включения параллельно двухполюснику емкости С, ток I’ ˂ I. Этому случаю соответствует векторная диаграмма рис. 1.13 а. Емкостному характеру соответствует векторная диаграмма рис. 1.13 б.

Полная проводимость двухполюсника

Эквивалентная активная проводимость

Эквивалентная реактивная проводимость

Следует обратить внимание, что треугольники сопротивлений и проводимостей для одного и того же двухполюсника подобны (рис. 1.4). Поэтому,

1.3. Задачи и вопросы для самоконтроля

1. Какими параметрами описываются синусоидальные токи в электрических цепях?

2. Как связаны между собой круговая частота ω и период Т синусоидального тока?

3. Что такое действующее значение переменного тока?

4. Запишите формулы для вычисления индуктивного и емкостного сопротивлений.

5. Объясните, как определить напряжение на участке цепи, если заданы и r и x.

6. Нарисуйте треугольник сопротивлений и треугольник проводимостей с необходимыми обозначениями.

7. Запишите формулы для вычисления активной и реактивной мощностей.

8. Напряжение на индуктивности L = 0,1 Гн в цепи синусоидального тока изменяется по закону . Найти мгновенное значение тока и индуктивности.

9. Ток в емкости С = 0,1 мкФ равен . Найти мгновенное значение напряжения на емкости.

10. На участке цепи с последовательно включенными активным сопротивлением R = 160 Ом и емкостью С = 26,54 мкФ мгновенное значение синусоидального тока . Найти мгновенные значения напряжений на емкости и на всем участке цепи. Чему равны действующие значения этих величин?

Дата добавления: 2016-01-29 ; просмотров: 84922 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник