Меню

Символический метод расчета цепей переменного синусоидального тока

3.2 Символический метод расчета цепей синусоидального тока

3.2 Символический метод расчета цепей синусоидального тока

При расчете линейных цепей символическим методом токи, напряжения, ЭДС и сопротивления входят в уравнения электрического состояния в виде комплексов. Основными законами, применяемыми для расчета электрических цепей, являются законы Ома и Кирхгофа

Решение задач символическим методом

Задача 3.2.1 Для схемы рис. 3.2.1 определить токи во всех ветвях и напряжения на всех участках, составить баланс активных и реактивных мощностей, построить векторную диаграмму цепи на комплексной плоскости, записать мгновенные значения токов, если u = Umsin(ωt + ψU), Um =600 В, ψU = –90°, R1 = 10 Ом, Х2 = R3 = Х3 = 20 Ом, Х4 = 50 Ом.

Задачу решить символическим методом.
Примечание. Решение этой задачи методом векторных диаграмм приведено в 3.1 Расчет цепей синусоидального тока методом векторных диаграмм

Рис. 3.2.1 Схема электрической цепи

Задачу решаем символическим методом в комплексных амплитудах.

Мгновенное значение напряжения

u = U m sin ( ω t + ψ U ) = 600 sin ( ω t − 90 ° ) , В ,

тогда комплексная амплитуда напряжения

U ? m = U m ⋅ e j ψ U = 600 ⋅ e − j 90 ° , В .

Комплексные сопротивления ветвей

Z _ 1 = R 1 − j X 4 = 10 − j 50 О м ; Z _ 2 = j X 2 = j 20 = 20 ⋅ e j 90 ° О м ; Z _ 3 = R 3 − j X 3 = 20 − j 20 = 20 2 ⋅ e − j 45 ° О м .

Эквивалентная электрическая схема представлена на рис. 3.2.2.

Рис. 3.2.2 Эквивалентная электрическая схема

Для схемы со смешанным соединением комплексное общее сопротивление

Z _ = Z _ 1 + Z _ 2 ⋅ Z _ 3 Z _ 2 + Z _ 3 = ( 10 − j 50 ) + 20 e j 90 ° ⋅ 20 2 e − j 45 ° j 20 + ( 20 − j 20 ) = = ( 10 − j 50 ) + 20 2 e j 45 ° = ( 10 − j 50 ) + ( 20 + j 20 ) = = 30 − j 30 = 30 2 e − j 45 ° О м .

Комплексная амплитуда общего тока по закону Ома

I ? 1 m = U ? m Z _ = 600 ⋅ e − j 90 ° 30 2 e − j 45 ° = 10 2 e − j 45 ° = 10 − j 10 А .

Комплексные амплитуды токов ветвей по формуле делителя токов

I ˙ 2 m = I ˙ 1 m ⋅ Z _ 3 Z _ 2 + Z _ 3 = 10 2 e − j 45 ° ⋅ 20 2 e − j 45 ° j 20 + ( 20 − j 20 ) = 20 e − j 90 ° = − j 20 А ; I ˙ 3 m = I ˙ 1 m ⋅ Z _ 2 Z _ 2 + Z _ 3 = 10 2 e − j 45 ° ⋅ 20 e j 90 ° j 20 + ( 20 − j 20 ) = 10 2 e j 45 ° = 10 + j 10 А .

Проверка по первому закону Кирхгофа

I ? 1 m = I ? 2 m + I ? 3 m = ( − j 20 ) + ( 10 + j 10 ) = 10 − j 10 = 10 2 e − j 45 ° А .

Действующие значения токов в ветвях

I 1 = I 1 m 2 = 10 2 2 = 10 А ; I 2 = I 2 m 2 = 20 2 = 10 2 А ; I 3 = I 3 m 2 = 10 2 2 = 10 А .

По формуле перехода от комплексных амплитуд к мгновенным значениям

i ( t ) = Im [ I ? m e j ω t ] = Im [ I m e j ψ I e j ω t ] = Im [ I m e j ( ω t + ψ I ) ] = I m sin ( ω t + ψ I )

мгновенные значения токов

i 1 ( t ) = I 1 m sin ( ω t + ψ I 1 ) = 10 2 sin ( ω t − 45 ° ) А ; i 2 ( t ) = I 2 m sin ( ω t + ψ I 2 ) = 20 sin ( ω t − 90 ° ) А ; i 3 ( t ) = I 3 m sin ( ω t + ψ I 3 ) = 10 2 sin ( ω t + 45 ° ) А .

Комплексная полная мощность источника

S ˜ и с т = P и с т + j Q и с т = U ? ⋅ I * 1 = 600 e − j 90 ° ⋅ 10 2 e + j 45 ° = = 6000 2 e − j 45 ° = 3000 − j 3000 В ⋅ А ,

откуда активная мощность источника

P и с т = Re [ S ˜ и с т ] = 3000 В т ,

реактивная мощность источника

Q и с т = Im [ S ˜ и с т ] = − 3000 в а р .

Активная мощность потребителей

P п о т р = I 1 2 R 1 + I 3 2 R 3 = 10 2 ⋅ 10 + 10 2 ⋅ 20 = 3000 В т .

Реактивная мощность потребителей

Q п о т р = I 1 2 ( − X 4 ) + I 2 2 X 2 + I 3 2 ( − X 3 ) = = 10 2 ⋅ ( − 50 ) + ( 10 2 ) 2 ⋅ 20 + 10 2 ⋅ ( − 20 ) = − 3000 в а р .

Для построения топографической диаграммы на комплексной плоскости необходимо рассчитать комплексные действующие значения потенциалов точек схемы

φ ? e = 0 ; φ ? d = φ ? e + I ? 1 ⋅ ( − j X 4 ) = 0 + 10 e − j 45 ° ⋅ 50 e − j 90 ° = 500 e − j 135 ° = − 250 2 − j 250 2 В ; φ ? b = φ ? d + I ? 2 ⋅ j X 2 = ( − 250 2 − j 250 2 ) + 20 2 e − j 90 ° ⋅ 20 e j 90 ° = − 50 2 − j 250 2 В ; φ ? c = φ ? d + I ? 3 ⋅ ( − j X 3 ) = ( − 250 2 − j 250 2 ) + 10 e j 45 ° ⋅ 20 e − j 90 ° = = ( − 250 2 − j 250 2 ) + ( 100 2 − j 100 2 ) = − 150 2 − j 350 2 В ; φ ? a = φ ? b + I ? 1 ⋅ R 1 = ( − 50 2 − j 250 2 ) + ( 5 2 − j 5 2 ) ⋅ 10 = − j 300 2 = U ? .

При построении векторной диаграммы на комплексной плоскости учитываем направления векторов напряжения на пассивных элементах. Например, вектор напряжения U ? R 1 = I ? 1 R 1 = φ ? a − φ ? b на комплексной плоскости направлен от точки b к точке a, а вектор напряжения U ? L 2 = I ? 2 j X 2 = φ ? b − φ ? d на комплексной плоскости направлен от точки d к точке b.

Читайте также:  Реле максимального тока для защиты двигателей

Топографическая диаграмма на комплексной плоскости приведена на рис. 3.2.3.

Рис. 3.2.3 Топографическая диаграмма на комплексной плоскости

Источник



Символический метод расчета цепей синусоидального тока

Символическим методом расчета установившихся режимов в ли­нейных цепях синусоидального тока называют метод, использующий представление синусоидальных функций комплексными числами. Та­кой переход осуществляется с помощью соотношения Эйлера:

Соотношение (2.6) позволяет поставить в соответствие синусои­дальной функции комплексное число. Так, для тока, напряжения и ЭДС запишем соответствие между синусоидальными функциями и комплексными числами:

где – мнимая единица; , и – комплексы действующих зна­чений тока, напряжения и ЭДС.

Такое представление позволяет при определении токов и напряже­ний в цепи перейти от решения систем уравнений с синусоидальными функциями времени к расчету систем алгебраических линейных урав­нений с комплексными коэффициентами. Систему уравнений можно получить как по законам Кирхгофа в комплексном виде, так и любым методом расчета цепей: по закону Ома, методом контурных токов, уз­ловых потенциалов, эквивалентного генератора или эквивалентными преобразованиями цепи. При составлении системы уравнений исполь­зуются схемы замещения цепи в комплексном виде.

Законы Кирхгофа в комплексной форме

1. Алгебраическая сумма комплексных значений токов в проводни­ках, соединенных в узел, равна нулю:

2. Алгебраическая сумма комплексных значений напряжений на всех сопротивлениях замкнутого контура равна алгебраической сумме комплексных значений ЭДС всех источников того же контура:

Векторные диаграммы

Для иллюстрации взаимосвязи между токами и напряжениями в конкретной схеме строят векторные диаграммы. Различают три вида векторных диаграмм.

Исходный элемент Схема замещения Векторная диаграмма
Источники ЭДС
Резистор
Емкость – емкостное сопротивление (Ом)
Индуктивность – индуктивное сопротивление (Ом)

Векторная диаграмма токов – представляет собой сумму векторов токов на комплексной плоскости, соответствующую первому закону Кирхгофа, записанному для определенного узла цепи.

Векторная диаграмма напряжений – это сумма векторов напряже­ний на комплексной плоскости, построенная в соответствии со вто­рым законом Кирхгофа.

Топографическая диаграмма – является диаграммой комплексных потенциалов цепи на комплексной плоскости, причем один из потен­циалов принимается равным нулю, а остальные потенциалы опреде­ляются через падения напряжения на элементах цепи.

При построении диаграмм должны быть заданы масштабы напря­жений, потенциалов и токов, тогда длина векторов напряжений и токов будет пропорциональна их действующим значениям, а угол поворота векторов относительно вещественной оси равен их начальной фазе. Положительные значения углов отсчитываются против направления вращения часовой стрелки, а отрицательных — по часовой стрелке.

Элементы линейной цепи гармонического тока, их схемы замеще­ния и векторные диаграммы приведены в табл. 2.1 .

Закон Ома в комплексной форме, треугольники сопротивлений и проводимостей

Рис. 2.7. Треугольники: а) сопротивлений; б) проводимостей; в) мощностей

Закон Ома в комплексной форме:

где – суммарное реактивное сопротивление ветви (рис. 2.7, а); – комплексное сопротивление ветви; – модуль и – ее угол; – суммарная комплексная проводимость ветвей, где – модуль; – угол; и – активная и реактивная проводимость (рис. 2.7, б).

Источник

Основы символического метода расчета цепей синусоидального тока

date image2014-02-02
views image2298

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Расчет цепей переменного синусоидального тока может производиться не только путем построения векторных диаграмм, но и аналитически – путем операций с комплексами, символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Достоинством векторных диаграмм является их наглядность, недостатком – малая точность графических построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с большой степенью точности.

Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме.

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин.

1. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

2. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС

3. Соответственно матричная запись законов Кирхгофа в комплексной форме имеет вид:

§ первый закон Кирхгофа:

§ второй закон Кирхгофа

Определить: 1) полное комплексное сопротивление цепи ;
2) токи
Рис. 2

4. Принимая начальную фазу напряжения за нуль, запишем:

5. Поскольку ток распределяется обратно пропорционально сопротивлению ветвей (это вытекает из закона Ома), то

7. Аналогичный результат можно получить, составив для данной схемы уравнения по законам Кирхгофа в комплексной форме

Читайте также:  Регулируемый ограничитель силы тока

или после подстановки численных значений параметров схемы

Источник

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов.

Закон Ома для участка цепи с источником ЭДС


Возьмем два участка цепи a — b и c — d (см. рис. 1) и составим для них уравнения в комплексной форме с учетом указанных на рис. 1 положительных направлений напряжений и токов.

Объединяя оба случая, получим

или для постоянного тока

Формулы (1) и (2) являются аналитическим выражением закона Ома для участка цепи с источником ЭДС , согласно которому ток на участке цепи с источником ЭДС равен алгебраической сумме напряжения на зажимах участка цепи и ЭДС, деленной на сопротивление участка. В случае переменного тока все указанные величины суть комплексы. При этом ЭДС и напряжение берут со знаком “+”, если их направление совпадает с выбранным направлением тока, и со знаком “-”, если их направление противоположно направлению тока.

Основы символического метода расчета цепей
синусоидального тока

Расчет цепей переменного синусоидального тока может производиться не только путем построения векторных диаграмм, но и аналитически – путем операций с комплексами, символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Достоинством векторных диаграмм является их наглядность, недостатком – малая точность графических построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с большой степенью точности.

Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме.

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин.

1. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

2. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС

3. Соответственно матричная запись законов Кирхгофа в комплексной форме имеет вид:

§ первый закон Кирхгофа:

§ второй закон Кирхгофа

Определить: 1) полное комплексное сопротивление цепи ;
2) токи
Рис. 2

4. Принимая начальную фазу напряжения за нуль, запишем:

5. Поскольку ток распределяется обратно пропорционально сопротивлению ветвей (это вытекает из закона Ома), то

7. Аналогичный результат можно получить, составив для данной схемы уравнения по законам Кирхгофа в комплексной форме

или после подстановки численных значений параметров схемы

Специальные методы расчета

Режим работы любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании законов Кирхгофа. При этом необходимо составить и решить систему с n неизвестными, что может оказаться весьма трудоемкой задачей при большом числе n ветвей схемы. Однако, число уравнений, подлежащих решению, может быть сокращено, если воспользоваться специальными методами расчета , к которым относятся методы контурных токов и узловых потенциалов.

Метод контурных токов

Идея метода контурных токов: уравнения составляются только по второму закону Кирхгофа, но не для действительных, а для воображаемых токов, циркулирующих по замкнутым контурам, т.е. в случае выбора главных контуров равных токам ветвей связи. Число уравнений равно числу независимых контуров, т.е. числу ветвей связи графа . Первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Контуры можно выбирать произвольно, лишь бы их число было равно и чтобы каждый новый контур содержал хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие. Такие контуры называются независимыми . Их выбор облегчает использование топологических понятий дерева и ветвей связи.

Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно. Выбор положительных направлений перед началом расчета может не определять действительные направления токов в цепи. Если в результате расчета какой-либо из токов, как и при использовании уравнений по законам Кирхгофа, получится со знаком “-”, это означает, что его истинное направление противоположно.

Пусть имеем схему по рис. 3.

Выразим токи ветвей через контурные токи:

Обойдя контур aeda, по второму закону Кирхгофа имеем

Таким образом, получили уравнение для первого контура относительно контурных токов. Аналогично можно составить уравнения для второго, третьего и четвертого контуров:

совместно с первым решить их относительно контурных токов и затем по уравнениям, связывающим контурные токи и токи ветвей, найти последние.

Однако данная система уравнений может быть составлена формальным путем:

При составлении уравнений необходимо помнить следующее:

— сумма сопротивлений, входящих в i- й контур;

— сумма сопротивлений, общих для i- го и k- го контуров, причем ;

Читайте также:  Разряд конденсатора при переменном токе

члены на главной диагонали всегда пишутся со знаком “+”;

знак “+” перед остальными членами ставится в случае, если через общее сопротивление i- й и k- й контурные токи проходят в одном направлении, в противном случае ставится знак “-”;

если i- й и k- й контуры не имеют общих сопротивлений, то ;

в правой части уравнений записывается алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур: со знаком “+”, если направление ЭДС совпадает с выбранным направлением контурного тока, и “-”, если не совпадает.

В нашем случае, для первого уравнения системы, имеем:

Следует обратить внимание на то, что, поскольку , коэффициенты контурных уравнений всегда симметричны относительно главной диагонали.

Если в цепи содержатся помимо источников ЭДС источники тока, то они учитываются в левых частях уравнений как известные контурные токи: k- й контурный ток, проходящий через ветвь с k- м источником тока равен этому току .

Метод узловых потенциалов

Данный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал – величина относительная, потенциал одного из узлов (любого) принимается равным нулю. Таким образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно , т.е. числу ветвей дерева .

Пусть имеем схему по рис. 4, в которой примем .

Допустим, что и известны. Тогда значения токов на основании закона Ома для участка цепи с источником ЭДС

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а :

и подставим значения входящих в него токов, определенных выше:

Сгруппировав соответствующие члены, получим:

Аналогично можно записать для узла b :

Как и по методу контурных токов, система уравнений по методу узловых потенциалов может быть составлена формальным путем. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:

1. В левой части i- го уравнения записывается со знаком “+”потенциал i- го узла, для которого составляется данное i- е уравнение, умноженный на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к данному i- му узлу, и со знаком “-”потенциал соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к i- му и k- му узлам.

Из сказанного следует, что все члены , стоящие на главной диагонали в левой части системы уравнений, записываются со знаком “+”, а все остальные – со знаком “-”, причем . Последнее равенство по аналогии с методом контурных токов обеспечивает симметрию коэффициентов уравнений относительно главной диагонали.

2. В правой части i- го уравнения записывается так называемый узловой ток , равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к i- му узлу, и проводимостей этих ветвей. При этом член суммы записывается со знаком “+”, если соответствующая ЭДС направлена к i- му узлу, в противном случае ставится знак “-”. Если в подходящих к i- му узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично.

В заключение отметим, что выбор того или иного из рассмотренных методов определяется тем, что следует найти, а также тем, какой из них обеспечивает меньший порядок системы уравнений. При расчете токов при одинаковом числе уравнений предпочтительнее использовать метод контурных токов, так как он не требует дополнительных вычислений с использованием закона Ома. Метод узловых потенциалов очень удобен при расчетах многофазных цепей, но не удобен при расчете цепей со взаимной индуктивностью.

1. Основы теории цепей: Учеб.для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. В ветви на рис. 1 . Определить ток .

2. В чем заключается сущность символического метода расчета цепей синусоидального тока?

3. В чем состоит сущность метода контурных токов?

4. В чем состоит сущность метода узловых потенциалов?

5. В цепи на рис. 5 ; ; ; . Методом контурных токов определить комплексы действующих значений токов ветвей.

6. В цепи на рис. 6 . Рассчитать токи в ветвях, используя метод узловых потенциалов.

Источник