Меню

Сила индукционного тока в квадратной рамке

Сила индукционного тока в квадратной рамке

2019-12-25 comment
Проволочной квадратной рамке с периметром $4a$ и массой $m$ сообщают в горизонтальном направлении некоторую начальную скорость. Рамки движется в вертикальной плоскости, все время, находясь в магнитном поле, перпендикулярном плоскости рамки (См. рисунок). Индукция поля меняется по закону $B(z) = B(0) + kz$, где $k = const$. Сопротивление рамки равно $R$. Через некоторое время скорость рамки становится постоянной и равной $v$. Найти начальную скорость, сообщаемую рамке. Ускорение свободного падения $g$.


В отсутствие магнитного поля рамка двигалась бы в поле тяжести Земли с постоянной горизонтальной скоростью $\vec_<0>$ вдоль оси X и равноускорено с ускорением свободного падения $\vec$ вдоль оси $Z$. Очевидно, что движение рамки не изменилось бы, если бы она падала в однородном магнитном поле. В нашем случае поле — не однородное (вдоль оси Z) $B(z) = B_ <0>+ kz$, то есть индукция ноля линейно растет с ростом $z$; поэтому при падении рамки поток магнитной индукции $\Phi$, пронизывающим контур рамки, будет меняться и в контуре рамки, будет возникать ЭДС индукции. Поскольку рамка является замкнутым проводящим контуром, по ней потечет индукционный ток. В этом случае, согласно закону Ампера, на стороны рамки будут действовать силы со стороны магнитного поля. Найдем направления и величины этих сил.

Пусть в некоторый момент времени центр масс рамки находится в точке с координатами $x_, z_$ и проекции скорости центра масс на оси X и Z равны $v_$ и $v_$ (см. рисунок). Поток магнитной индукции $\Phi$, пронизывающий рамку в этот момент времени, равен

$\Phi = \frac <(B_<0>+ k(z_ — a/2 ) ) + (B_ <0>+ k (z_ + a/2 ) ) > <2>a^ <2>= (B_ <0>+ kz_ ) a^<2>$.

Здесь $B_ <0>+ k(z_ — a/2)$ и $B_ <0>+ k(z_ + a/2)$ — значения индукции магнитного ноля соответственно у верхней и нижней сторон рамки, поскольку зависимость $B(z)$ — линейная, для вычисления $\Phi$ мы пользуемся средним (по высоте $z$) значением индукции.

ЭДС индукции в рамке в данный момент времени равна

индукционный ток равен

Согласно правилу Ленца, возникающий в рамке индукционный ток будет течь против часовой стрелки. По закону Ампера со стороны магнитного ноля на верхнюю сторону рамки будет действовать сила

на нижнюю сторону — сила

Силы $\vec_<3>$ и $\vec_<4>$ действующие на боковые стороны рамки, очевидно, будут равны по величине и противоположны по знаку:

Следовательно, $v_ = const$, то есть рамка будет двигаться вдоль оси X с постоянной скоростью, равной начальной скорости $v_<0>$.

Таким образом, характер движения рамки в направлении оси Z определяется силами $\vec_<1>, \vec_<2>$ и силой тяжести $m \vec$. При установившейся скорости $v$ рамки проекции скорости на ось Z постоянна, то есть ускорение $\vec_$ вдоль оси Z равно нулю:

Отсюда находим проекцию $v_<уст.z>$ на ось Z установившейся скорости рамки:

Установившаяся скорость рамки равна $v = \sqrt^ <2>+ v_<уст.z>^ <2>>$, где $v_<0>$ — проекция скорости $v$ на ось X, равная, как мы показали, начальной скорости, сообщенной рамке. Таким образом.

Скорость $v_<уст.z>$ может быть найдена и из энергетических соображений. При установившемся движении рамки изменение за время $\Delta t$ потенциальной энергии рамки в поле тяжести Земли равно тепловой энергии, выделяющейся за это время в рамке:

$mgv_ <уст.z>\Delta t = I_<уст>^ <2>R \Delta t = \left ( \frac > \right )^ <2>v_<уст.z>^<2>R \Delta t$,

Источник



Сила индукционного тока в квадратной рамке

Квадратную рамку из медной проволоки со стороной b = 5 см перемещают вдоль оси Ох по гладкой горизонтальной поверхности с постоянной скоростью v = 1 м/с. Начальное положение рамки изображено на рисунке. За время движения рамка успевает полностью пройти между полюсами магнита. Индукционные токи, возникающие в рамке, оказывают тормозящее действие, поэтому для поддержания постоянной скорости движения к ней прикладывают внешнюю силу F, направленную вдоль оси Ох. Чему равно сопротивление проволоки рамки, если суммарная работа внешней силы за время движения A = 2,5·10 −3 Дж? Ширина полюсов магнита d = 20 см, магнитное поле имеет резкую границу, однородно между полюсами, а его индукция B = 1 Тл.

Читайте также:  Ток через обмотку возбуждения

На рамку будет действовать сила со стороны магнита только тогда, когда по рамке будет протекать ток. При вхождении рамки в поле магнита и выходе из него магнитный поток через рамку будет изменяться, вследствие чего возникнет ЭДС индукции и по рамке потечёт ток. Ток будет протекать пока рамка полностью не войдёт в магнитное поле и пока она полностью не выйдет из него. Найдём ЭДС, возникающую в рамке при вхождении в магнитное поле:

 \epsilon_и= дробь, числитель — d\Phi, знаменатель — dt =B дробь, числитель — dS, знаменатель — dt =B дробь, числитель — bvdt, знаменатель — dt =Bbv.

Тогда ток, протекающий в рамке, I= дробь, числитель — \epsilon_и, знаменатель — R = дробь, числитель — Bbv, знаменатель — R .По закону Ампера сила, действующая на проводник с током в магнитном поле F=IbB синус \alpha,где I— сила тока в проводнике, b— длина проводника, \alpha— угол между направлением тока и направлением магнитного поля. Рассмотрим вид сверху на данную систему. Используя правило Ленца, определим направление тока в рамке (см рис.) при входе и выходе из магнитного поля. При взаимодействии с токами текущими влево и вправо на картинке, магнитное поле будет лишь сжимать или растягивать рамку. А при взаимодействии с токами текущими вертикально магнитное поле будет замедлять рамку. Причём, при входе в магнитное поле действие будет только на передний край рамки, а при выходе — на задний. Работа будет совершаться только пока рамка полностью не войдёт или не выйдет из магнитного поля, то есть пока рамка не пройдёт расстояние bпри входе в магнитное поле и расстояние bпри выходе из магнитного поля. Суммарная работа внешней силы будет равна работе, совершённой со стороны магнитного поля, над рамкой за всё время движения:

Источник

Закон электромагнитной индукции

теория по физике 🧲 магнетизм

Магнитный поток наглядно истолковывается как число линий магнитной индукции, пронизывающих поверхность площадью S. Поэтому скорость изменения этого числа есть не что иное, как скорость изменения магнитного потока.

Если за малое время ∆t магнитный поток поменялся на ∆Ф, то скорость изменения магнитного потока равна Δ Φ Δ t . . . Поэтому утверждение, которое вытекает непосредственно из опыта, можно сформулировать так:

Сила индукционного тока пропорциональная скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром:

Известно, что в цепи появляется электрический ток в том случае, когда на свободные заряды проводника действуют сторонние силы. Работу этих сил при перемещении единичного положительного заряда вдоль замкнутого контура называют электродвижущей силой. Следовательно, при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную контуров, появляются сторонние силы, действие которых характеризуется ЭДС, называемой ЭДС индукции. Обозначают ее как ε i .

Согласно закону Ома для замкнутой цепи:

Сопротивление проводника не зависит от изменения магнитного потока. Следовательно, сила индукционного тока пропорциональна скорости изменения магнитного потока только потому, что ЭДС индукции тоже пропорциональна этой скорости изменения потока.

Закон электромагнитной индукции

ЭДС индукции в замкнутом контуре равна по модулю скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром.

ε i = ∣ ∣ ∣ Δ Φ Δ t . . ∣ ∣ ∣

Закон электромагнитной индукции формулируется именно для ЭДС, а не для силы тока. При такой формулировке закон выражает сущность явления, не зависящую от свойств проводников, в которых возникает индукционный ток.

Определение знака ЭДС индукции

На рисунке изображен замкнутый контур. Будем считать положительным направление обхода контура против часовой стрелки. Нормаль → n к контуру образует правый винт с направлением обхода.

Пусть магнитная индукция → B внешнего магнитного поля направлена вдоль нормали к контуру и возрастает со временем. Тогда Φ > 0 и Δ Φ Δ t . . > 0 . Согласно правилу Ленца индукционный ток создает магнитный поток Φ ‘ 0 . Линии магнитной индукции B’ магнитного поля индукционного тока изображены черным цветом. Следовательно, индукционный ток Ii согласно правилу буравчика направлен по часовой стрелке (против направления положительного обхода) и ЭДС индукции отрицательна. Поэтому в законе электромагнитной индукции должен стоять знак «–», указывающий на то, что ε i и Δ Φ Δ t . . имеют разные знаки:

Читайте также:  Потери от наведенных токов

Пример №1. Магнитный поток через контур проводника сопротивлением 3∙10 –2 Ом за 2 с изменился на 1,2∙10 –2 Вб. Найдите силу тока в проводнике, если изменение потока происходило равномерно.

ε i = ∣ ∣ ∣ Δ Φ Δ t . . ∣ ∣ ∣

ЭДС индукции в движущихся проводниках

Электроны в неподвижном проводнике приводятся в движение электрическим полем, и это поле порождается переменным магнитным полем. Следовательно, изменяясь во времени, магнитное поле порождает электрическое поле. Но если проводник движется в постоянном во времени магнитном поле, то ЭДС индукции в проводнике обусловлена не вихревым электрическим полем, которое в этом случае не может возникнуть, а другой причиной.

При движении проводника его свободные заряды движутся вместе с ним. Поэтому на заряды со стороны магнитного поля действует сила Лоренца. Она и вызывает перемещение зарядов внутри проводника. ЭДС индукции, следовательно, имеет магнитное происхождение.

Вычислим ЭДС индукции, возникающую в проводнике, движущемся в однородном магнитном поле (см. рисунок). Пусть сторона контура MN длиной l скользит с постоянной скоростью → v вдоль сторон NC и MD, оставаясь все это время параллельной стороне CD. Вектор магнитной индукции → B однородного поля перпендикулярен проводнику и составляет угол α с направлением его скорости.

Сила, с которой магнитное поле действует на движущуюся заряженную частицу, равна по модулю:

F L = | q | v B sin . α

Направлена эта сила вдоль проводника MN. Работа силы Лоренца на пути l положительна и составляет:

A = F L l = | q | v B l sin . α

Формула выше определяет неполную работу силы Лоренца. Кроме силы Лоренца имеется составляющая силы Лоренца, направленная против скорости проводника → v . Такая составляющая тормозит проводник и совершает отрицательную работу. В результате полная работа силы Лоренца оказывается равной нулю.

Электродвижущая сила индукции в проводнике MN равна по определению отношению работы по перемещению заряда q к этому заряду:

ε i = A | q | . . = v B l sin . α

Эта формула справедлива для любого проводника длиной l, движущегося со скоростью → v в однородном магнитном поле.

В других проводниках контура ЭДС равна нулю, так как проводники неподвижны. Следовательно, ЭДС во всем контуре MNCD равна ε i и остается неизменной, если скорость движения → v постоянна. Электрический ток при этом будет увеличиваться, так как при смещении проводника MN вправо уменьшается общее сопротивление контура.

С другой стороны, ЭДС индукции можно вычислить с помощью закона электромагнитной индукции. Магнитный поток через контур MNCD равен:

Φ = B S cos . ( 90 ° − α ) = B S sin . α

угол 90 ° − α представляет собой угол между векторами → B и нормалью → n к поверхности контура, а S — площадь контура MNCD. Если считать, что в начальный момент времени t=0 проводник MN находится на расстоянии NC от проводника CD, то при перемещении проводника площадь S изменяется со временем следующим образом:

За время ∆t площадь контура меняется на Δ S = − l v Δ t . Знак «минус» указывает на то, что она уменьшается. Изменение магнитного потока за это время равно:

Δ Φ = − B v l Δ t sin . α

ε i = − Δ Φ Δ t . . = B v l sin . α

Если весь контур MNCD движется в однородном магнитном поле, сохраняя свою ориентацию по отношению к вектору → B , то ЭДС индукции в контуре будет равна нулю, так как поток Φ через поверхность, ограниченную контуром, не меняется. Объяснить это можно так. При движении контура в проводниках MN и CD возникают силы, действующие на электроны в направлениях от N к M и от C к D. Суммарная работа этих сил при обходе контура по часовой стрелке или против нее равна нулю.

Читайте также:  Если человек отдает током

Пример №2. Проводник длиной 50 см движется в однородном магнитном поле со скоростью 4 м/с перпендикулярно силовым линиям. Найдите разность потенциалов, возникающую на концах проводника, если вектор магнитной индукции 8 мТл.

8 мТл = 8∙10 –3 Тл

Так как проводник движется перпендикулярно силовым линиям, то угол α равен 90 градусам, а синус прямого угла равен единице. Поэтому:

ε i = B v l sin . α = 8 · 10 − 3 · 4 · 0 , 5 · 1 = 16 · 10 − 3 ( В )

В заштрихованной области на рисунке действует однородное магнитное поле, направленное перпендикулярно плоскости рисунка, В = 0,1 Тл. Проволочную квадратную рамку сопротивлением R=10Ом и стороной l=10см перемещают в плоскости рисунка поступательно со скоростью υ=1м/с. Чему равен индукционный ток в рамке в состоянии 1?

Источник

Физика дома

Квадратная рамка в магнитном поле

Комбинированная задача С5 для подготовки к ЕГЭ по физике по теме «Явление электромагнитной индукции. Движение проводников в магнитном поле».

Квадратную рамку из медной проволоки со стороной b= 5 см перемещают вдоль оси Ох по гладкой горизонтальной поверхности с постоянной скоростью v=1 м/с. Начальное положение рамки изображено на рисунке. За время движения рамка успевает полностью пройти между полюсами магнита. Индукционные токи, возникающие в рамке, оказывают тормозящее действие, поэтому для поддержания постоянной скорости движения к ней прикладывают внешнюю силу F, направленную вдоль оси Ох. Чему равно сопротивление проволоки рамки, если суммарная работа внешней силы за время движения А = 2,5*10 -3 Дж? Ширина полюсов магнита d = 20 см, магнитное поле имеет резкую границу, однородно между полюсами, а его индукция В = 1 Тл.

Квадратная рамка в магнитном поленДля того, чтобы ответить на вопрос задачи, давайте разберёмся с тем, что происходит в рамке после того, как она попадает в область магнитного поля. Для этого можно сделать следующий рисунок (вид сверху).рамка в магнитном поле

Когда рамка попадает в область с магнитным полем, в рамке возникаем индукционный ток, направление которого можно определить следующим образом.

Магнитный поток, пронизывающий рамку, увеличивается, следовательно индукционный ток создаёт своё магнитное поле, препятствующее нарастанию внешнего магнитного поля. То есть направление векторов В и Bi не будут совпадать.квадратная рамка в магнитном полеЗная направление Bi, определяем направление индукционного тока — ток в рамке будет направлен против часовой стрелки (согласно правилу правой руки).квадратная рамка в магнитном полеОпределив направление индукционного тока, по правилу левой руки определяем направление силы Ампера, производящей тормозящее действие на рамку (по условию задачи). Сила Ампера будет направлена в сторону, противоположную направлению вектора скорости.

Чтобы рамка двигалась равномерно, к рамке прикладываем внешнюю силу, равную по модулю силе Ампера, которая совершает работу по перемещению рамки.

Когда же рамка выходит из магнитного поля, магнитный поток уменьшается, и в рамке вновь возникает индукционный ток (теперь уже по часовой стрелке), а следовательно и сила Ампера, производящее тормозящее действие. Суммарная работа, о которой говорится в условии задачи, это работа, производимая внешней силой когда рамка «входит» в область с магнитным полем и «выходит» оттуда.

После того, как с физикой задачи разобрались, оформляем задачу в виде формул.

Записываем формулу работы внешней силы, которая равна по модулю работе силы Ампера.Работа силы Ампера Силу индукционного тока можно определить по закону Ома для полной цепи (с учётом того, что внутреннее сопротивление равно нулю).Закон ОмаЗаписываем формулу ЭДС индукции, возникающее в движущем проводнике

ЭДС индукции в движущемся проводникеПодставляя ЭДС индукции в формулу закона Ома, имеем:c5-2014-4Далее подставляем силу тока в формулу для работы:Работа внешней силыПо этой формуле можно определить работу, совершаемую внешней силой тогда, когда рамка входит в область с магнитным полем. Тогда для суммарной работы имеем:c5-2014-6Из этой формулы и выражаем искомое сопротивление рамки.

Внимание! Тексты других задач части С вы можете найти на этой странице.

Источник