Меню

Резонанс токов в разветвленных цепях переменного тока

Резонанс в цепи переменного тока

Урок 14. Физика 11 класс ФГОС

Доступ к видеоуроку ограничен

Конспект урока «Резонанс в цепи переменного тока»

Давайте с вами вспомним, что вывести закон Ома для участка цепи переменного тока, содержащего резистор, катушку индуктивности, конденсатор и источник переменного напряжения нам помогла векторная диаграмма амплитуд напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке.

Мы показали, что амплитуда приложенного напряжения должна быть равна геометрической сумме этих амплитуд. Угол между амплитудами приложенного напряжения и силы тока определяет разность фаз между силой тока и напряжением. Тангенс этого угла, как видно из рисунка, равен отношению разности амплитуд напряжений на катушке и конденсаторе к амплитуде напряжения на активном сопротивлении:

Используя закон Ома для участка цепи нетрудно показать, что этот же угол определяется отношением реактивного сопротивления к активному:

А средняя мощность, выделяемая в цепи на активном сопротивлении, будет определяться выражением, представленном на экране:

Здесь cos φ — это коэффициент мощности. Являясь безразмерной физической величиной, он характеризует потребителя переменного электрического тока с точки зрения наличия в нагрузке реактивной составляющей, и показывает, насколько сдвигается по фазе переменный ток, протекающий через нагрузку, относительно приложенного к ней напряжения.

Из последних двух формул следует, что если реактивное сопротивление цепи равно нулю, то уравнение для мощности примет привычный для нас вид:

В этом случае в цепи выделяется максимальная мощность — наступает явление резонанса.

Резонансом в электрическом колебательном контуре называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний силы тока или напряжения при совпадении частоты внешнего переменного напряжения с собственной частотой колебательного контура:

Рассмотрим это явление более подробно. Для начала представим себе, что мы раскачиваем маятник, действуя на него периодически изменяющейся силой. В этом случае маятник будет совершать колебания не самостоятельно, не свободно, а под действием периодической внешней силы. Такие колебания маятника, как мы помним, называются вынужденными колебаниями.

В электрических колебательных контурах также могут происходить вынужденные электромагнитные колебания. Если в каком-либо колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, всё время действует генератор переменного тока, то ЭДС генератора будет вызывать в этом контуре переменный электрический ток, частота которого будет равна частоте колебаний ЭДС генератора.

Частота этих вынужденных колебаний в общем случае не совпадает с частотой собственных колебании контура:

Когда собственная частота колебательного контура далека от частоты ЭДС, действующей в контуре, общее сопротивление контура велико и ток в нём незначителен. Однако если в такой цепи подобрать ёмкость конденсатора и индуктивность катушки так, чтобы их сопротивления оказались равными, то разность фаз между колебаниями силы тока и напряжения станет равным нулю, то есть изменения тока и напряжения будут происходить синфазно:

Таким образом, условием возникновения резонанса в колебательном контуре является равенство частоты внешнего подаваемого на контур напряжения частоте собственных колебаний контура:

Эту частоту называют резонансной.

При этом условии полное сопротивление контура становится наименьшим и равным активному сопротивлению, а амплитуда силы тока при данном напряжении принимает наибольшее значение. В этом случае амплитуда напряжения на активном сопротивлении равна амплитуде внешнего напряжения, приложенного к участку цепи (Ur = U), а напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе одинаковы по модулю и противоположны по фазе:

Обратите внимание на то, что амплитудные значения резонансных напряжений на катушке и конденсаторе равны между собой, и они могут значительно превышать амплитуду приложенного напряжения:

Это явление называется резонансом напряжений. При этом чем меньше активное сопротивление контура, тем сильнее ток в контуре и круче резонансная кривая. Такой случай принято называть острым резонансом.

Контур, обладающим острым резонансом, очень чувствителен к колебаниям резонансной частоты. Это широко используется в радио- и электротехнике для усиления колебаний напряжения какой-либо определённой частоты.

Так, например, радиоволны от различных передающих станций возбуждают в антенне радиоприёмника переменные токи различных частот, так как каждая передающая радиостанция работает на своей частоте. С антенной индуктивно связан колебательный контур, в катушке которого возникают вынужденные колебания силы тока и напряжения. Но только при резонансе из колебаний различных частот, возбуждаемых в антенне, контур выделяет только те, частота которых равна его собственной частоте. Настройка контура на нужную частоту обычно осуществляется путём изменения ёмкости конденсатора.

Читайте также:  Почему при постоянном токе не возникает эдс

Теперь давайте рассмотрим участок цепи переменного тока, содержащий параллельно включённые конденсатор и катушку индуктивности.

Предположим, что активное сопротивление цепи настолько мало, что им можно пренебречь. Пусть к данной цепи приложено переменное напряжение, изменяющееся по закону синуса:

Тогда ток, проходящей в ветви с ёмкостным сопротивлением, будет опережать по фазе приложенное напряжение на π/2. А проходящей в ветви с индуктивным сопротивлением — отставать по фазе на π/2 от приложенного напряжения:

Таким образом, разность фаз токов в двух ветвях равна π, то есть колебания токов в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда же тока во внешней цепи равна модулю разности амплитуд сил токов обеих ветвей:

Если частота колебаний в контуре будет равна резонансной частоте, то амплитудные значения сил токов в ветвях будут равны, и амплитуда силы тока во внешней цепи станет равной нулю.

Конечно же, если учесть наличие активного сопротивления, то разность фаз не будет равна π, как и не будет равно нулю амплитудное значение силы тока во внешней цепи. Но оно примет наименьшее возможное значение. При этом амплитуды сил токов в ветвях могут значительно превышать амплитуду тока во внешней цепи.

Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включённые конденсатор и катушку индуктивности, при приближении частоты приложенного напряжения к резонансной частоте называется резонансом токов (или параллельным резонансом).

Это явление используется в резонансных усилителях, позволяющих выделять одно определённое колебание из сигнала сложной формы, а также в индукционных печах, чтобы сила тока в подводящих проводах была гораздо меньше силы тока в катушке.

Для закрепления нового материала давайте решим с вами такую задачу. Контур, состоящий из конденсатора ёмкостью 507 мкФ, катушки индуктивностью 20 мГн и резистора сопротивлением 100 Ом включили последовательно в сеть переменного тока с частотой 50 Гц и напряжением 220 В. Определите силу тока в цепи, сдвиг фаз между напряжением и силой тока, а также резонансную частоту контура.

Источник



Разветвленная цепь однофазного переменного тока. Резонанс токов

date image2014-02-04
views image6539

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Рассмотрим разветвленную цепь, параллельно соединённых катушки индуктивности L (с активным сопротивлением R) и конденсатора С (рис. 2.29).

Рис.2.29. Электрическая схема разветвлённой цепи

Пусть мгновенные значения напряжения и тока цепи изменяются по синусоидальному закону . По первому закону Кирхгофа , для действующих значений токов . По закону Ома . Из треугольника сопротивлений, для последовательно соединённых R и L, Разложим токи в ветвях на активные и реактивные составляющие IR, IL, IC и определим их значения: .

Введем следующие обозначения:

— активная проводимость первой ветви;

— реактивная индуктивная проводимость первой ветви;

— реактивная емкостная проводимость второй ветви.

Для случая IL > IC построим векторную диаграмму (рис. 2.30):

Из векторной диаграммы находим общий ток:

— полная проводимость цепи.

Рис.2.30. Векторная диаграмма разветвлённой цепи переменного тока

Из векторной диаграммы следует, что наличие ёмкости снизило вектор действующего значения тока до величины , а cosφ при этом увеличился. Резонанс токов можно практически получить изменением ёмкости конденсатора. На рис.2.31 приведены примерные графические зависимости IL, IC, I, cosφ от изменения C, где Cp — резонансная ёмкость.

Рис.2.31. Примерное изображение зависимостей IL, IC, , cos от изменения ёмкости конденсатора C

Рис.2.32. Треугольник проводимостей цепи

Выражение (2.29) соответствует треугольнику проводимостей цепи, представленному на рис. 2.32, откуда следует:

Выражения для мощностей принимают такой вид:

Резонансом токов для рассматриваемой цепи называют явление, при котором ток IL = IC , тогда общий ток I в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника. При резонансе токов = 0; cos = 1; bL = bC; I = IR. Пусть резонансная частота f0 определяется из соотношения , тогда , а угловая резонансная частота .

Итак, признаками резонанса токов являются:

а) индуктивная и емкостная проводимости равны;

б) ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника и имеет минимальное значение;

Источник

Резонанс токов

а) Параллельный колебательный контур без потерь
В разветвленной цепи (рис. 6-30) с двумя ветвями, одна из которых обладает индуктивностью L , а другая емкостью C , при равенстве сопротивлений ветвей наступает резонанс токов.

Из формулы следует, что резонанс в цепи можно получить подбором индуктивности, емкости или частоты, так как

Читайте также:  Какое должно быть сопротивление заземления растеканию тока

При резонансе токов токи в ветвях

равны по абсолютной величине и изменяются, находясь в противофазе (рис. 6-31), так как ток I L; отстает по фазе от напряжения на 90°, а ток I Cопережает по фазе напряжение на 90°.
По первому закону Кирхгофа ток в неразветвленной части цепи (общий ток)

т. е. общий ток равен нулю.

На рис. 6-32 даны кривые токов, напряжения и мощности.
Отсутствие в цепи активного сопротивления указывает на то, что энергия, запасенная в контуре, не рассеивается.

В течение первой четверти периода (рис. 6-32) напряжение на конденсаторе от нуля увеличивается до максимума U Cм и в электрическом поле его запасается энергия
W Cм = CU 2 Cм/2.
В течение следующей четверти периода напряжение на конденсаторе уменьшается до нуля, происходит распад электрического поля и освобождение его энергии.
Ток в катушке в течение первой четверти периода от I Lм уменьшается до нуля, происходит распад магнитного поля и освобождение его энергии. В течение следующей четверти периода ток в катушке увеличивается до I Lм и энергия магнитного поля катушки увеличивается от нуля до максимума W Lм = LI 2 Lм/2.
Из сказанного выше и рис. 6-32 нетрудно понять, что в течение первой четверти периода кинетическая энергия магнитного поля преобразуется в потенциальную энергию электрического поля, а в течение второй четверти периода, наоборот, происходит преобразование энергии электрического поля в энергию магнитного поля. Затем процесс периодического обмена энергии повторяется.
Обмена энергии между цепью и источником питания нет, так как ток в неразветвленной части цепи равен нулю.

б) Параллельный колебательный контур с потерями
Цепь рис. 6-33 состоит из параллельно соединенных катушки и конденсатора, находящихся под общим напряжением U .
Ток в катушке

Этот ток отстает по фазе от напряжения на угол φ 1, тангенс которого

Ток катушки можно разложить на две слагающие, активную I а1 = I 1 cos φ 1
совпадающую по фазе с напряжением, и реактивную I р1= I L= I 1 sin φ 1, отстающую по фазе от напряжения на угол π /2 (рис. 6-34).
Ток конденсатора

Он опережает по фазе напряжение на угол π /2.
Общий ток найдем из прямоугольного треугольника токов (рис. 6-34), одним катетом которого является активная слагающая тока I а = I а1, а другим реактивная слагающая общего тока, равная разности реактивной слагающей тока катушки и тока конденсатора
I
р= I р1 I 2 = I L I C

Таким образом, общий ток

Угол сдвига общего тока от напряжения определяется через его тангенс (рис. 6-34):

Ток в неразветвленной части цепи может отставать от напряжения на угол φ при I L > I C , или опережать его при I L I C , или, наконец, совпадать по фазе с напряжением (рис. 6-35) при
I L = I C.
В последнем случае в цепи наступает резонанс токов, при котором , а мощность P = U cos φ = UI , так как φ = 0, a cos φ = 1.
Таким образом, общий ток равен активной составляющей тока катушки.
При этом общий ток всегда меньше тока в катушке, так как активная составляющая тока катушки всегда меньше тока катушки ( I а1 I 1 )
Отношение тока в контуре или в катушке ( I 1 I 2 ) к общему току при резонансе ( I рез )

представляющее собой добротность контура, показывает,во сколько раз ток в параллельном контуре при резонансе больше общего тока в подводящих проводах.
В этом случае максимальная мощность, затрачиваемая на получение магнитного поля ( U I L), равна максимальной мощности, затрачиваемой на получение электрического поля ( U I C ), а следовательно, равны и максимальные значения энергии в магнитном и электрическом полях цепи W Lм = W Cм
Как и в рассмотренном выше колебательном контуре, в течение одной четверти периода энергия, запасаемая в электрическом поле, целиком получается от магнитного поля, а в течение второй четверти периода энергия, запасаемая в магнитном поле, целиком получается от электрического поля. От генератора в цепь поступает только энергия, расходуемая в активном сопротивлении. Так как реактивные слагающие тока компенсируют друг друга, то в цепи генератора проходит только активный ток, обусловленный потерями энергии в активном сопротивлении. На рис. 6-36 представлены кривые токов напряжений и мощности цепи (рис. 6-33) для случая резонанса токов.

Источник

Резонанс токов

Параллельное включение конденсатора и катушки индуктивности в цепь переменного тока

Рассмотрим явления в цепи переменного тока, содержащей генератор, конденсатор и катушку индуктивности, соединенные параллельно. Предположим при этом, что активным сопротивлением цепь не обладает.

Читайте также:  Медь ток от толщины металла

Очевидно, в такой цепи напряжение как на катушке, так и на конденсаторе в любой момент времени равно напряжению, развиваемому генератором.

Общий же ток в цепи слагается из токов в ее разветвлениях. Ток в индуктивной ветви отстает по фазе от напряжения на четверть периода, а ток в емкостной ветви опережает его на те же четверть периода. Поэтому токи в ветвях в любой момент времени оказываются сдвинутыми по фазе один относительно другого на полупериода, т. е. находятся в противофазе. Таким образом токи в ветвях в любой момент времени направлены навстречу один другому, а общий ток в неразветвленной части цепи равен разности их.

Это дает нам право написать равенство I = IL — IC

где I — действующее значение общего тока в цепи, IL и IC — действующие значения токов в.ветвях.

Пользуясь законом Ома для определения действующих значений тока в ветвях, получим:

Il = U / XL и I C = U / XC

Если в цепи преобладает индуктивное сопротивление, т. е. XL больше XC , ток в катушке меньше тока в конденсаторе; следовательно, ток в неразветвленном участке цепи носит емкостный характер, и цепь в целом для генератора будет емкостной. И, наоборот, при ХC большем XL , ток в конденсаторе меньше тока в катушке; следовательно, ток в неразветвленном участке цепи имеет индуктивный характер, и цепь в целом для генератора будет индуктивной.

При этом не следует забывать, что в том и другом случае нагрузка реактивная, т. е. цепь не потребляет энергии генератора.

Рассмотрим теперь случай, когда у параллельно соединенных конденсатора и катушки оказались равными их реактивные сопротивления, т. е. X lL = X C .

Если мы, как и прежде, будем считать, что катушка и конденсатор не обладают активным сопротивлением, то при равенстве их реактивных сопротивлений (YL = Y C ) общий ток в неразветвленной части цепи окажется равным нулю, тогда как в ветвях будут протекать равные токи наибольшей величины. В цепи в этом случае наступает явление резонанса токов.

При резонансе токов действующие значения токов в каждом разветвлении, определяемые отношениями IL = U / XL и I C = U / X C будут равны между собой, так XL = ХC.

Вывод, к которому мы пришли, может показаться на первый взгляд довольно странным. Действительно, генератор нагружен двумя сопротивлениями, а тока в неразветвленной части цепи нет, тогда как в самих сопротивлениях протекают равные и притом наибольшие по величине токи.

Объясняется это поведением магнитного поля катушки и электрического поля конденсатора. При резонансе токов, как и при резонансе напряжений, происходит колебание энергии между полем катушки и полем конденсатора. Генератор, сообщив однажды энергию цепи, сказывается как бы изолированным. Его можно было бы совсем отключить, и ток в разветвленной части цепи поддерживался бы без генератора энергией, которую в самом начале запасла цепь. Равно и напряжение на зажимах цепи оставалось бы точно таким, какое развивал генератор.

Графики токов, напряжения и мощности в цепи при резонансе токов

Значения L, С и f , при которых наступает резонанс токов, определяются, как и при резонансе напряжений (если пренебречь активным сопротивлением контура), из равенства:

f рез = 1 / 2π√ LC

L рез = 1 / ω 2 С

Изменяя любую из этих трех величин, можно добиться равенства X l = X c , т. е. превратить цепь в колебательный контур.

Итак, мы получили замкнутый колебательный контур, в котором можно вызвать электрические колебания, т. е. переменный ток. И если бы не активное сопротивление, которым обладает всякий колебательный контур, в нем непрерывно мог бы существовать переменный ток. Наличие же активного сопротивления приводит к тому, что колебания в контуре постепенно затухают и, чтобы поддержать их, необходим источник энергии — генератор переменного тока.

В цепях несинусоидального тока резонансные режимы возможны для различных гармоничных состовляющих.

Резонанс токов широко используется в практике. Явление резонанса токов используется в полосовых фильтрах как электрическая «пробка», задерживающая определенную частоту. Так как току с частотой f оказывается значительное сопротивление, то и падение напряжения на контуре при частоте f будет максимальным. Это свойство контура получило название избирательность, оно используется в радиоприемниках для выделения сигнала конкретной радиостанции. Колебательный контур, работающий в режиме резонанса токов, является одним из основных узлов электронных генераторов.

Источник