Резонанс в цепи переменного тока
Урок 14. Физика 11 класс ФГОС
Конспект урока «Резонанс в цепи переменного тока»
Давайте с вами вспомним, что вывести закон Ома для участка цепи переменного тока, содержащего резистор, катушку индуктивности, конденсатор и источник переменного напряжения нам помогла векторная диаграмма амплитуд напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке.
Мы показали, что амплитуда приложенного напряжения должна быть равна геометрической сумме этих амплитуд. Угол между амплитудами приложенного напряжения и силы тока определяет разность фаз между силой тока и напряжением. Тангенс этого угла, как видно из рисунка, равен отношению разности амплитуд напряжений на катушке и конденсаторе к амплитуде напряжения на активном сопротивлении:
Используя закон Ома для участка цепи нетрудно показать, что этот же угол определяется отношением реактивного сопротивления к активному:
А средняя мощность, выделяемая в цепи на активном сопротивлении, будет определяться выражением, представленном на экране:
Здесь cos φ — это коэффициент мощности. Являясь безразмерной физической величиной, он характеризует потребителя переменного электрического тока с точки зрения наличия в нагрузке реактивной составляющей, и показывает, насколько сдвигается по фазе переменный ток, протекающий через нагрузку, относительно приложенного к ней напряжения.
Из последних двух формул следует, что если реактивное сопротивление цепи равно нулю, то уравнение для мощности примет привычный для нас вид:
В этом случае в цепи выделяется максимальная мощность — наступает явление резонанса.
Резонансом в электрическом колебательном контуре называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний силы тока или напряжения при совпадении частоты внешнего переменного напряжения с собственной частотой колебательного контура:
Рассмотрим это явление более подробно. Для начала представим себе, что мы раскачиваем маятник, действуя на него периодически изменяющейся силой. В этом случае маятник будет совершать колебания не самостоятельно, не свободно, а под действием периодической внешней силы. Такие колебания маятника, как мы помним, называются вынужденными колебаниями.
В электрических колебательных контурах также могут происходить вынужденные электромагнитные колебания. Если в каком-либо колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, всё время действует генератор переменного тока, то ЭДС генератора будет вызывать в этом контуре переменный электрический ток, частота которого будет равна частоте колебаний ЭДС генератора.
Частота этих вынужденных колебаний в общем случае не совпадает с частотой собственных колебании контура:
Когда собственная частота колебательного контура далека от частоты ЭДС, действующей в контуре, общее сопротивление контура велико и ток в нём незначителен. Однако если в такой цепи подобрать ёмкость конденсатора и индуктивность катушки так, чтобы их сопротивления оказались равными, то разность фаз между колебаниями силы тока и напряжения станет равным нулю, то есть изменения тока и напряжения будут происходить синфазно:
Таким образом, условием возникновения резонанса в колебательном контуре является равенство частоты внешнего подаваемого на контур напряжения частоте собственных колебаний контура:
Эту частоту называют резонансной.
При этом условии полное сопротивление контура становится наименьшим и равным активному сопротивлению, а амплитуда силы тока при данном напряжении принимает наибольшее значение. В этом случае амплитуда напряжения на активном сопротивлении равна амплитуде внешнего напряжения, приложенного к участку цепи (Ur = U), а напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе одинаковы по модулю и противоположны по фазе:
Обратите внимание на то, что амплитудные значения резонансных напряжений на катушке и конденсаторе равны между собой, и они могут значительно превышать амплитуду приложенного напряжения:
Это явление называется резонансом напряжений. При этом чем меньше активное сопротивление контура, тем сильнее ток в контуре и круче резонансная кривая. Такой случай принято называть острым резонансом.
Контур, обладающим острым резонансом, очень чувствителен к колебаниям резонансной частоты. Это широко используется в радио- и электротехнике для усиления колебаний напряжения какой-либо определённой частоты.
Так, например, радиоволны от различных передающих станций возбуждают в антенне радиоприёмника переменные токи различных частот, так как каждая передающая радиостанция работает на своей частоте. С антенной индуктивно связан колебательный контур, в катушке которого возникают вынужденные колебания силы тока и напряжения. Но только при резонансе из колебаний различных частот, возбуждаемых в антенне, контур выделяет только те, частота которых равна его собственной частоте. Настройка контура на нужную частоту обычно осуществляется путём изменения ёмкости конденсатора.
Теперь давайте рассмотрим участок цепи переменного тока, содержащий параллельно включённые конденсатор и катушку индуктивности.
Предположим, что активное сопротивление цепи настолько мало, что им можно пренебречь. Пусть к данной цепи приложено переменное напряжение, изменяющееся по закону синуса:
Тогда ток, проходящей в ветви с ёмкостным сопротивлением, будет опережать по фазе приложенное напряжение на π/2. А проходящей в ветви с индуктивным сопротивлением — отставать по фазе на π/2 от приложенного напряжения:
Таким образом, разность фаз токов в двух ветвях равна π, то есть колебания токов в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда же тока во внешней цепи равна модулю разности амплитуд сил токов обеих ветвей:
Если частота колебаний в контуре будет равна резонансной частоте, то амплитудные значения сил токов в ветвях будут равны, и амплитуда силы тока во внешней цепи станет равной нулю.
Конечно же, если учесть наличие активного сопротивления, то разность фаз не будет равна π, как и не будет равно нулю амплитудное значение силы тока во внешней цепи. Но оно примет наименьшее возможное значение. При этом амплитуды сил токов в ветвях могут значительно превышать амплитуду тока во внешней цепи.
Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включённые конденсатор и катушку индуктивности, при приближении частоты приложенного напряжения к резонансной частоте называется резонансом токов (или параллельным резонансом).
Это явление используется в резонансных усилителях, позволяющих выделять одно определённое колебание из сигнала сложной формы, а также в индукционных печах, чтобы сила тока в подводящих проводах была гораздо меньше силы тока в катушке.
Для закрепления нового материала давайте решим с вами такую задачу. Контур, состоящий из конденсатора ёмкостью 507 мкФ, катушки индуктивностью 20 мГн и резистора сопротивлением 100 Ом включили последовательно в сеть переменного тока с частотой 50 Гц и напряжением 220 В. Определите силу тока в цепи, сдвиг фаз между напряжением и силой тока, а также резонансную частоту контура.
Источник
Разветвленная цепь однофазного переменного тока. Резонанс токов
2014-02-04
6539
Рассмотрим разветвленную цепь, параллельно соединённых катушки индуктивности L (с активным сопротивлением R) и конденсатора С (рис. 2.29).
Рис.2.29. Электрическая схема разветвлённой цепи
Пусть мгновенные значения напряжения и тока цепи изменяются по синусоидальному закону . По первому закону Кирхгофа , для действующих значений токов . По закону Ома . Из треугольника сопротивлений, для последовательно соединённых R и L, Разложим токи в ветвях на активные и реактивные составляющие IR, IL, IC и определим их значения: .
Введем следующие обозначения:
— активная проводимость первой ветви;
— реактивная индуктивная проводимость первой ветви;
— реактивная емкостная проводимость второй ветви.
Для случая IL > IC построим векторную диаграмму (рис. 2.30):
Из векторной диаграммы находим общий ток:
— полная проводимость цепи.
Рис.2.30. Векторная диаграмма разветвлённой цепи переменного тока
Из векторной диаграммы следует, что наличие ёмкости снизило вектор действующего значения тока до величины , а cosφ при этом увеличился. Резонанс токов можно практически получить изменением ёмкости конденсатора. На рис.2.31 приведены примерные графические зависимости IL, IC, I, cosφ от изменения C, где Cp — резонансная ёмкость.
Рис.2.31. Примерное изображение зависимостей IL, IC, , cos от изменения ёмкости конденсатора C
Рис.2.32. Треугольник проводимостей цепи
Выражение (2.29) соответствует треугольнику проводимостей цепи, представленному на рис. 2.32, откуда следует:
Выражения для мощностей принимают такой вид:
Резонансом токов для рассматриваемой цепи называют явление, при котором ток IL = IC , тогда общий ток I в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника. При резонансе токов = 0; cos = 1; bL = bC; I = IR. Пусть резонансная частота f0 определяется из соотношения , тогда , а угловая резонансная частота .
Итак, признаками резонанса токов являются:
а) индуктивная и емкостная проводимости равны;
б) ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника и имеет минимальное значение;
Источник
Резонанс токов
а) Параллельный колебательный контур без потерь
В разветвленной цепи (рис. 6-30) с двумя ветвями, одна из которых обладает индуктивностью L , а другая емкостью C , при равенстве сопротивлений ветвей наступает резонанс токов.
Из формулы следует, что резонанс в цепи можно получить подбором индуктивности, емкости или частоты, так как
При резонансе токов токи в ветвях
равны по абсолютной величине и изменяются, находясь в противофазе (рис. 6-31), так как ток I L; отстает по фазе от напряжения на 90°, а ток I Cопережает по фазе напряжение на 90°.
По первому закону Кирхгофа ток в неразветвленной части цепи (общий ток)
т. е. общий ток равен нулю.
На рис. 6-32 даны кривые токов, напряжения и мощности.
Отсутствие в цепи активного сопротивления указывает на то, что энергия, запасенная в контуре, не рассеивается.
В течение первой четверти периода (рис. 6-32) напряжение на конденсаторе от нуля увеличивается до максимума U Cм и в электрическом поле его запасается энергия
W Cм = CU 2 Cм/2.
В течение следующей четверти периода напряжение на конденсаторе уменьшается до нуля, происходит распад электрического поля и освобождение его энергии.
Ток в катушке в течение первой четверти периода от I Lм уменьшается до нуля, происходит распад магнитного поля и освобождение его энергии. В течение следующей четверти периода ток в катушке увеличивается до I Lм и энергия магнитного поля катушки увеличивается от нуля до максимума W Lм = LI 2 Lм/2.
Из сказанного выше и рис. 6-32 нетрудно понять, что в течение первой четверти периода кинетическая энергия магнитного поля преобразуется в потенциальную энергию электрического поля, а в течение второй четверти периода, наоборот, происходит преобразование энергии электрического поля в энергию магнитного поля. Затем процесс периодического обмена энергии повторяется.
Обмена энергии между цепью и источником питания нет, так как ток в неразветвленной части цепи равен нулю.
б) Параллельный колебательный контур с потерями 
Цепь рис. 6-33 состоит из параллельно соединенных катушки и конденсатора, находящихся под общим напряжением U .
Ток в катушке
Этот ток отстает по фазе от напряжения на угол φ 1, тангенс которого
Ток катушки можно разложить на две слагающие, активную I а1 = I 1 cos φ 1
совпадающую по фазе с напряжением, и реактивную I р1= I L= I 1 sin φ 1, отстающую по фазе от напряжения на угол π /2 (рис. 6-34).
Ток конденсатора
Он опережает по фазе напряжение на угол π /2.
Общий ток найдем из прямоугольного треугольника токов (рис. 6-34), одним катетом которого является активная слагающая тока I а = I а1, а другим реактивная слагающая общего тока, равная разности реактивной слагающей тока катушки и тока конденсатора
I р= I р1— I 2 = I L — I C
Таким образом, общий ток
Угол сдвига общего тока от напряжения определяется через его тангенс (рис. 6-34):
Ток в неразветвленной части цепи может отставать от напряжения на угол φ при I L > I C , или опережать его при I L I C , или, наконец, совпадать по фазе с напряжением (рис. 6-35) при
I L = I C.
В последнем случае в цепи наступает резонанс токов, при котором 
, а мощность P = U cos φ = UI , так как φ = 0, a cos φ = 1.
Таким образом, общий ток равен активной составляющей тока катушки.
При этом общий ток всегда меньше тока в катушке, так как активная составляющая тока катушки всегда меньше тока катушки ( I а1 I 1 )
Отношение тока в контуре или в катушке ( I 1 
I 2 ) к общему току при резонансе ( I рез )
представляющее собой добротность контура, показывает,во сколько раз ток в параллельном контуре при резонансе больше общего тока в подводящих проводах.
В этом случае максимальная мощность, затрачиваемая на получение магнитного поля ( U I L), равна максимальной мощности, затрачиваемой на получение электрического поля ( U I C ), а следовательно, равны и максимальные значения энергии в магнитном и электрическом полях цепи W Lм = W Cм
Как и в рассмотренном выше колебательном контуре, в течение одной четверти периода энергия, запасаемая в электрическом поле, целиком получается от магнитного поля, а в течение второй четверти периода энергия, запасаемая в магнитном поле, целиком получается от электрического поля. От генератора в цепь поступает только энергия, расходуемая в активном сопротивлении. Так как реактивные слагающие тока компенсируют друг друга, то в цепи генератора проходит только активный ток, обусловленный потерями энергии в активном сопротивлении. На рис. 6-36 представлены кривые токов напряжений и мощности цепи (рис. 6-33) для случая резонанса токов.
Источник
Резонанс токов
Параллельное включение конденсатора и катушки индуктивности в цепь переменного тока
Рассмотрим явления в цепи переменного тока, содержащей генератор, конденсатор и катушку индуктивности, соединенные параллельно. Предположим при этом, что активным сопротивлением цепь не обладает.
Очевидно, в такой цепи напряжение как на катушке, так и на конденсаторе в любой момент времени равно напряжению, развиваемому генератором.
Общий же ток в цепи слагается из токов в ее разветвлениях. Ток в индуктивной ветви отстает по фазе от напряжения на четверть периода, а ток в емкостной ветви опережает его на те же четверть периода. Поэтому токи в ветвях в любой момент времени оказываются сдвинутыми по фазе один относительно другого на полупериода, т. е. находятся в противофазе. Таким образом токи в ветвях в любой момент времени направлены навстречу один другому, а общий ток в неразветвленной части цепи равен разности их.
Это дает нам право написать равенство I = IL — IC
где I — действующее значение общего тока в цепи, IL и IC — действующие значения токов в.ветвях.
Пользуясь законом Ома для определения действующих значений тока в ветвях, получим:
Il = U / XL и I C = U / XC
Если в цепи преобладает индуктивное сопротивление, т. е. XL больше XC , ток в катушке меньше тока в конденсаторе; следовательно, ток в неразветвленном участке цепи носит емкостный характер, и цепь в целом для генератора будет емкостной. И, наоборот, при ХC большем XL , ток в конденсаторе меньше тока в катушке; следовательно, ток в неразветвленном участке цепи имеет индуктивный характер, и цепь в целом для генератора будет индуктивной.
При этом не следует забывать, что в том и другом случае нагрузка реактивная, т. е. цепь не потребляет энергии генератора.
Рассмотрим теперь случай, когда у параллельно соединенных конденсатора и катушки оказались равными их реактивные сопротивления, т. е. X lL = X C .
Если мы, как и прежде, будем считать, что катушка и конденсатор не обладают активным сопротивлением, то при равенстве их реактивных сопротивлений (YL = Y C ) общий ток в неразветвленной части цепи окажется равным нулю, тогда как в ветвях будут протекать равные токи наибольшей величины. В цепи в этом случае наступает явление резонанса токов.
При резонансе токов действующие значения токов в каждом разветвлении, определяемые отношениями IL = U / XL и I C = U / X C будут равны между собой, так XL = ХC.
Вывод, к которому мы пришли, может показаться на первый взгляд довольно странным. Действительно, генератор нагружен двумя сопротивлениями, а тока в неразветвленной части цепи нет, тогда как в самих сопротивлениях протекают равные и притом наибольшие по величине токи.
Объясняется это поведением магнитного поля катушки и электрического поля конденсатора. При резонансе токов, как и при резонансе напряжений, происходит колебание энергии между полем катушки и полем конденсатора. Генератор, сообщив однажды энергию цепи, сказывается как бы изолированным. Его можно было бы совсем отключить, и ток в разветвленной части цепи поддерживался бы без генератора энергией, которую в самом начале запасла цепь. Равно и напряжение на зажимах цепи оставалось бы точно таким, какое развивал генератор.
Значения L, С и f , при которых наступает резонанс токов, определяются, как и при резонансе напряжений (если пренебречь активным сопротивлением контура), из равенства:
f рез = 1 / 2π√ LC
L рез = 1 / ω 2 С
Изменяя любую из этих трех величин, можно добиться равенства X l = X c , т. е. превратить цепь в колебательный контур.
Итак, мы получили замкнутый колебательный контур, в котором можно вызвать электрические колебания, т. е. переменный ток. И если бы не активное сопротивление, которым обладает всякий колебательный контур, в нем непрерывно мог бы существовать переменный ток. Наличие же активного сопротивления приводит к тому, что колебания в контуре постепенно затухают и, чтобы поддержать их, необходим источник энергии — генератор переменного тока.
В цепях несинусоидального тока резонансные режимы возможны для различных гармоничных состовляющих.
Резонанс токов широко используется в практике. Явление резонанса токов используется в полосовых фильтрах как электрическая «пробка», задерживающая определенную частоту. Так как току с частотой f оказывается значительное сопротивление, то и падение напряжения на контуре при частоте f будет максимальным. Это свойство контура получило название избирательность, оно используется в радиоприемниках для выделения сигнала конкретной радиостанции. Колебательный контур, работающий в режиме резонанса токов, является одним из основных узлов электронных генераторов.
Источник