Расчет разветвленных цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Расчет методом эквивалентного преобразования

Электрический расчет цепи с учетом найденной нагрузки.

Схема цепи в комплексной форме с учетом найденной нагрузки представлена на рис.5.

Электрический расчет схемы на рис.5 можно выполнить следующими тремя методами – методом эквивалентного преобразования, с помощью законов Кирхгофа и методом контурных токов. Выбор метода расчёта произволен. Чтобы иметь возможность сравнить эти методы ниже приводятся расчеты каждым из названных методов.

Прежде чем приступить к расчёту названным методом, рассмотрим основные положения этого метода и последовательность расчёта этим методом в соответствии с .

Основная идея метода состоит в том, что электрическая цепь последовательно преобразуется («сворачивается») до одного эквивалентного элемента, и определяется входной ток. Затем осуществляется постепенное возвращение к исходной схеме («разворачивание») с последовательным определением токов и напряжений.

Последовательность расчёта:

1. Расставляются условно–положительные направления токов и напряжений.

2. Поэтапно эквивалентно преобразуются участки цепи. При этом на каждом этапе во вновь полученной после преобразования схеме расставляются токи и напряжения.

3. В результате эквивалентного преобразования определяется величина эквивалентного сопротивления цепи.

4. Определяется входной ток цепи с помощью закона Ома.

5. Поэтапно возвращаясь к исходной схеме, последовательно находятся все токи и напряжения.

Для выполнения расчета методом эквивалентного преобразования представим исходную схему в комплексной форме и расставим условно- положительные направления токов и напряжений (рис.6).

Между параллельно соединенными элементами и находиться перемычка. Перемычка не рассматривается как самостоятельная ветвь, т.к. в ней нет элементов, поэтому ток в ней не вычисляется и не показан.

Первое эквивалентное преобразование целесообразно выполнить по объединению и , результат обозначим как (рис.7).

Второй этап эквивалентного преобразования состоит в объединении и , результат обозначим как (рис.8).

Третий этап эквивалентного преобразования состоит в объединении трех параллельно соединенных элементов , и и результат объединения обозначим как . В принципе на этом этапе можно определить полное сопротивление между выводами , просуммировав с результатом эквивалентного преобразования параллельно соединённых названных трё1х элементов схемы. Однако, это приведёт к пропуску одного этапа эквивалентного преобразования, что вызовет затруднение в расчёте при обратном переходе. Итак, объединив параллельно соединённые элементы, схема принимает вид, представленный на рис.9.

Эквивалентное сопротивление определяется по формуле:

При вычислении (7) выражения числителя и знаменателя будут принимать большие численные значения. Рекомендуется выполнить сокращения числителя и знаменателя на 10 3 , что делает более обозримым процесс вычисления. Итак, подставляя численные значения в (7) и, выполняя очевидные преобразования, получим:

Входное сопротивление цепи обозначим через и оно будет равно:

Подставляя численные значения и выполняя очевидные преобразования, находим :

Теперь можно определить входной ток . Входное напряжение в комплексной форме имеет вид:

Частоту в выражениях для электрических величин (токи и напряжения) принято не обозначать конкретным числом. Пользуясь законом Ома, находим:

В соответствии с требованиями последовательности расчёта данным методом возвращаемся к схеме на рис.9 и по закону Ома находим напряжения и :

В процессе предыдущих вычислений могла иметь место ошибка, которая будет проявляться в последующих вычислениях и обнаружится только на этапе определения погрешности всего расчёта. В случае, если погрешность будет больше допустимой, придётся проверять все расчёты с самого начала. Выяснить правильно ли идёт расчёт можно в процессе расчёта. Это можно сделать уже сейчас двумя способами. Первый состоит в следующем. Для схемы рис.9 определены и . В соответствии с вторым законом Кирхгофа должно выполняться равенство:

Входное напряжение известно:

Найдём сумму напряжений и , для этого, пользуясь результатами решений (8), алгебраически суммируем косинусные и синусные составляющие и находим:

Видно, что равенство для второго закона Кирхгофа выполняется с большой точностью.

Второй способ оценки правильности расчёта состоит в определении погрешности расчёта на данном этапе расчёта методом баланса мощностей .

Для определения потребляемой схемой мощности необходимо знать все её диссипативные элементы. Одним из них является резистор . Комплексное

сопротивление содержит диссипативную и реактивную составляющие, которые обозначим соответственно, как и :

Из этого соотношения видно, что диссипативная составляющая равна:

Тогда мощность, потребляемая всей схемой, будет определяться из выражения:

Мощность источника определяется из выражения:

Погрешность расчёта определяется по формуле:

Подставляем численные значения и находим, что погрешность расчёта составляет

Оба способа оценки точности расчёта показали, что расчёт выполняется с малой погрешностью и можно с уверенностью продолжать расчёт. Поэтапная проверка точности расчёта позволяет найти этап, где допущена ошибка и устранить её.

Продолжим расчёт. Для этого перейдём к схеме на рис.8. Из схемы видно, что

Учитывая (9) и (8),определяем токи в параллельных ветвях:

На этом этапе так же можно проверить на сколько точно ведётся расчёт. Одним из методов, с помощью которого можно это выполнить является проверка выполнения первого закона Кирхгофа. В соответствии с ним должно выполняться равенство:

Проверить выполнение этого равенства можно построением прикидочной векторной диаграммы. Выполненный анализ показал, что на последнем этапе расчета ошибок не было. Читателю предлагается выполнить это самостоятельно.

Возвращаемся к схеме на рис.7 и определяем напряжения на конденсаторе и на нагрузке .

Так как сопротивление нагрузки состоит из двух элементов (рис.6), то необходимо определить напряжения на каждом элементе цепи нагрузки:

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Основными законами, определяющими расчет электрической цепи, являются законы Кирхгофа.

На основе законов Кирхгофа разработан ряд практических методов расчета электрических цепей постоянного тока, позволяющих сократить вычисления при расчете сложных схем.

Существенно упростить вычисления, а в некоторых случаях и снизить трудоемкость расчета, возможно с помощью эквивалентных преобразований схемы.

Преобразуют параллельные и последовательные соединения элементов, соединение «звезда » в эквивалентный «треугольник » и наоборот. Осуществляют замену источника тока эквивалентным источником ЭДС. Методом эквивалентных преобразований теоретически можно рассчитать любую цепь, и при этом использовать простые вычислительные средства. Или же определить ток в какой-либо одной ветви, без расчета токов других участков цепи.

В данной статье по теоретическим основам электротехники рассмотрены примеры расчета линейных электрических цепей постоянного тока с использованием метода эквивалентных преобразований типовых схем соединения источников и потребителей энергии, приведены расчетные формулы.

Решение задач Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Задача 1. Для цепи (рис . 1), определить эквивалентное сопротивление относительно входных зажимов a−g, если известно: R₁ = R₂ = 0,5 Ом, R₃ = 8 Ом, R₄ = R₅ = 1 Ом, R₆ = 12 Ом, R₇ = 15 Ом, R₈ = 2 Ом, R₉ = 10 Ом, R₁₀= 20 Ом.

Начнем эквивалентные преобразования схемы с ветви наиболее удаленной от источника, т.е. от зажимов a−g:

Задача 2. Для цепи (рис . 2, а), определить входное сопротивление если известно: R₁ = R₂ = R₃ = R₄= 40 Ом.

Исходную схему можно перечертить относительно входных зажимов (рис . 2, б), из чего видно, что все сопротивления включены параллельно. Так как величины сопротивлений равны, то для определения величины эквивалентного сопротивленияможно воспользоваться формулой:

где R – величина сопротивления, Ом;

n – количество параллельно соединенных сопротивлений.

Преобразуем соединение «треугольник » f−d−c в эквивалентную «звезду ». Определяем величины преобразованных сопротивлений (рис . 3, б):

По условию задачи величины всех сопротивлений равны, а значит:

На преобразованной схеме получили параллельное соединение ветвей между узлами e–b, тогда эквивалентное сопротивление равно:

И тогда эквивалентное сопротивление исходной схемы представляет последовательное соединение сопротивлений:

Задача 4. В заданной цепи (рис . 4, а) определить методом эквивалентных преобразований входные сопротивления ветвей a−b, c–d и f−b, если известно, что: R₁ = 4 Ом, R₂ = 8 Ом, R₃ =4 Ом, R₄ = 8 Ом, R₅ = 2 Ом, R₆ = 8 Ом, R₇ = 6 Ом, R₈ =8 Ом.

Для определения входного сопротивления ветвей исключают из схемы все источники ЭДС. При этом точки c и d, а также b и f соединяются накоротко, т.к. внутренние сопротивления идеальных источников напряжения равны нулю.

Ветвь a−b разрывают, и т.к. сопротивление R_a_–b = 0, то входное сопротивление ветви равно эквивалентному сопротивлению схемы относительно точек a и b (рис . 4, б):

Аналогично методом эквивалентных преобразований определяются входные сопротивления ветвей R_cd и R_bf. Причем, при вычислении сопротивлений учтено, что соединение накоротко точек a и b исключает ( «закорачивает ») из схемы сопротивления R₁, R₂, R₃, R₄ в первом случае, и R₅, R₆, R₇, R₈ во втором случае.

Задача 5. В цепи (рис . 5) определить методом эквивалентных преобразований токи I₁, I₂, I₃ и составить баланс мощностей, если известно: R₁ = 12 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 30 Ом, U = 120 В.

Эквивалентное сопротивлениедля параллельно включенных сопротивлений:

Эквивалентное сопротивление всей цепи:

Ток в неразветвленной части схемы:

Напряжение на параллельных сопротивлениях:

Токи в параллельных ветвях:

Баланс мощностей:

Задача 6. В цепи (рис . 6, а), определить методом эквивалентных преобразований показания амперметра, если известно: R₁ = 2 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 30 Ом, R₄ = 40 Ом, R₅ = 10 Ом, R₆ = 20 Ом, E = 48 В. Сопротивление амперметра можно считать равным нулю.

Если сопротивления R₂, R₃, R₄, R₅ заменить одним эквивалентным сопротивлением R_Э, то исходную схему можно представить в упрощенном виде (рис . 6, б).

Величина эквивалентного сопротивления:

Преобразовав параллельное соединение сопротивлений R_Э и R₆ схемы (рис . 6, б), получим замкнутый контур, для которого по второму закону Кирхгофа можно записать уравнение:

Напряжение на зажимах параллельных ветвей U_ab выразим из уравнения по закону Ома для пассивной ветви, полученной преобразованием R_Э и R₆:

Тогда амперметр покажет ток:

Задача 7. Определить токи ветвей схемы методом эквивалентных преобразований (рис . 7, а), если R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = 3 Ом, J = 5 А, R₅ = 5 Ом.

Преобразуем «треугольник » сопротивлений R₁, R₂, R₃ в эквивалентную «звезду » R₆, R₇, R₈ (рис . 7, б) и определим величины полученных сопротивлений:

Преобразуем параллельное соединение ветвей между узлами 4 и 5

Ток в контуре, полученном в результате преобразований, считаем равным току источника тока J, и тогда напряжение:

Возвращаясь к исходной схеме, определим напряжение U₃₂ из уравнения по второму закону Кирхгофа:

Тогда ток в ветви с сопротивлением R₃ определится:

Величины оставшихся неизвестными токов можно определить из уравнений по первому закону Кирхгофа для узлов 3 и 1:

Источник

Решение задач Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Задача 1. Для цепи (рис. 1), определить эквивалентное сопротивление относительно входных зажимов a−g, если известно: R₁ = R₂ = 0,5 Ом, R₃ = 8 Ом, R₄ = R₅ = 1 Ом, R₆ = 12 Ом, R₇ = 15 Ом, R₈ = 2 Ом,R₉ = 10 Ом, R₁₀= 20 Ом.

Начнем эквивалентные преобразования схемы с ветви наиболее удаленной от источника, т.е. от зажимовa−g:

Задача 2. Для цепи (рис. 2, а), определить входное сопротивление если известно: R₁ = R₂ = R₃ =R₄= 40 Ом.

Рис. 2

Исходную схему можно перечертить относительно входных зажимов (рис. 2, б), из чего видно, что все сопротивления включены параллельно. Так как величины сопротивлений равны, то для определения величины эквивалентного сопротивленияможно воспользоваться формулой:

где R – величина сопротивления, Ом;

n – количество параллельно соединенных сопротивлений.

Задача 3. Определить эквивалентное сопротивление относительно зажимов a–b, если R₁ = R₂ =R₃ = R₄ = R₅ = R₆ = 10 Ом (рис. 3, а).

Преобразуем соединение «треугольник» f−d−c в эквивалентную «звезду». Определяем величины преобразованных сопротивлений (рис. 3, б):

По условию задачи величины всех сопротивлений равны, а значит:

На преобразованной схеме получили параллельное соединение ветвей между узлами e–b, тогдаэквивалентное сопротивление равно:

Задача 4. В заданной цепи (рис. 4, а) определить методом эквивалентных преобразованийвходные сопротивления ветвей a−b, c–d и f−b, если известно, что: R₁ = 4 Ом, R₂ = 8 Ом, R₃ =4 Ом, R₄ = 8 Ом, R₅ = 2 Ом, R₆ = 8 Ом, R₇ = 6 Ом, R₈ =8 Ом.

Ветвь a−b разрывают, и т.к. сопротивление R_a–b = 0, то входное сопротивление ветви равно эквивалентному сопротивлению схемы относительно точек a и b (рис. 4, б):

Аналогично методом эквивалентных преобразований определяются входные сопротивления ветвей R_cdи R_bf. Причем, при вычислении сопротивлений учтено, что соединение накоротко точек a и b исключает («закорачивает») из схемы сопротивления R₁, R₂, R₃, R₄ в первом случае, и R₅, R₆, R₇, R₈ во втором случае.

Задача 5. В цепи (рис. 5) определить методом эквивалентных преобразований токи I₁, I₂, I₃и составить баланс мощностей, если известно: R₁ = 12 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 30 Ом, U = 120 В.

Эквивалентное сопротивлениедля параллельно включенных сопротивлений:

Эквивалентное сопротивление всей цепи:

Ток в неразветвленной части схемы:

Напряжение на параллельных сопротивлениях:

Токи в параллельных ветвях:

Баланс мощностей:

Задача 6. В цепи (рис. 6, а), определить методом эквивалентных преобразований показания амперметра, если известно: R₁ = 2 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 30 Ом, R₄ = 40 Ом, R₅ = 10 Ом, R₆ = 20 Ом, E = 48 В. Сопротивление амперметра можно считать равным нулю.

Величина эквивалентного сопротивления:

Преобразовав параллельное соединение сопротивлений R_Э и R₆ схемы (рис. 6, б), получим замкнутый контур, для которого по второму закону Кирхгофа можно записать уравнение:

откуда ток I₁:

Напряжение на зажимах параллельных ветвей U_ab выразим из уравнения по закону Ома для пассивной ветви, полученной преобразованием R_Э и R₆:

Тогда амперметр покажет ток:

Задача 7. Определить токи ветвей схемы методом эквивалентных преобразований (рис. 7,а), если R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = 3 Ом, J = 5 А, R₅ = 5 Ом.

Преобразуем «треугольник» сопротивлений R₁, R₂, R₃ в эквивалентную «звезду» R₆, R₇, R₈ (рис. 7, б) и определим величины полученных сопротивлений:

Преобразуем параллельное соединение ветвей между узлами 4 и 5

И теперь можно определить токи I₄ и I₅:

Возвращаясь к исходной схеме, определим напряжение U₃₂ из уравнения по второму закону Кирхгофа:

Тогда ток в ветви с сопротивлением R₃ определится:

Источник

ГЛАВА 1 РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Тема1 Метод эквивалентных преобразований

Изучение этой темы очень важно, так как в ней подробно рассматриваются вопросы, необходимые для решения задач всех последующих разделов курса. Учебной программой предусмотрены три практических занятия по данной теме.

1. Научиться применять законы Ома и Кирхгофа для расчета цепей

с одним источником ЭДС.

2. Научиться рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи при последовательно-параллельном соединении приемников.

3. Научиться использовать формулу для определения тока в одной из двух пассивных параллельных ветвей, когда общий ток известен.

Рассмотрим первую целевую задачу занятия.

В настоящее время под законом Ома понимают соотношения, связывающие напряжение и ток. В схемах замещения цепей постоянного тока имеется один вид приемников – резистор, обладающий сопротивлением R. По закону Ома напряжение на резисторе пропорционально току в нем.

Коэффициент пропорциональности и назван сопротивлением: U R = R I .

Первый закон Кирхгофа сформулирован для узла. Узел – это точка в схеме, где сходятся не менее трех ветвей. В настоящее время при использовании ЭВМ для ввода исходных данных узлами выделяют каждый элемент схемы замещения. Эти узлы называют ложными или устранимыми. В дальнейшем речь будет идти о неустранимых узлах.

Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

Второй закон Кирхгофа относится к контуру. Алгебраическая сумма напряжений на приемниках в любом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом же контуре:

 Теоретические основы электротехники. Практикум

ГЛАВА 1 РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Тема 1 Метод эквивалентных преобразований

При непосредственном использовании законов Ома и Кирхгофа решение получается громоздким. Расчет схемы с одним источником энергии и несколькими приемниками существенно упрощается при применении метода эквивалентных преобразований. Все приемники заменяют одним с эквивалентным сопротивлением. При этом токи и напряжения в частях схемы, не затронутых преобразованием, должны оставаться неизменными. Находят токи в свернутой схеме. Затем постепенно возвращаются к исходной схеме с определением остальных токов.

Перейдем ко второй целевой задаче.

Преобразование схемы проводят постепенно, выявляя участки с последовательными и параллельными соединениями приемников. Предварительно нужно выявить узлы и ветви. Узел – точка в схеме, где сходятся не менее трех ветвей. Ветвь – участок с одним током между двумя узлами. Элементы, принадлежащие одной ветви, соединены между собой последовательно. В них один ток. Эквивалентное сопротивление последовательно соединенных резисторов равно сумме их сопротивлений:

При параллельном соединении элементы схемы замещения находятся под одним напряжением и соединены между собой двумя выходными зажимами. Эквивалентная проводимость параллельно соединенных резисторов равна сумме их проводимостей:

Источник