Меню

Расчет электрических цепей гармонического тока

Гармонические колебания. Комплексные токи и напряжения

СВОЙСТВА И МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

С ИСТОЧНИКАМИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА (37с.)

Гармонические колебания. Комплексные токи и напряжения

Гармоническими называются сигналы, ток и напряжение которых изменяются во времени по закону косинуса (или синуса) :

где — амплитуды тока и напряжения,

— начальные фазы тока и напряжения.

Угловая частота определяется через период и частоту колебаний

где — частота (Гц) .

В установившемся режиме начальная фаза гармонических колебаний не играет роли и выбирается из соображений удобства. Если рассматриваются одновременно несколько колебаний, то имеет значение разность их начальных фаз (сдвиг фаз). На рисунке 2. 1 показаны гармонические колебания тока и напряжения в некотором участке цепи, описываемые формулами (2. 1) .

Начальная фаза тока принята равной нулю, а начальная фаза напряжения равна — :

Угол сдвига фаз напряжения и тока в данном случае равен . Это значит, что напряжение отстает по фазе от тока на .

Часто пользуются понятием “действующее значение” периодического тока. Под действующим значением тока понимают такой постоянный ток, который в одном и том же сопротивлении за один период выделяет такое же количество тепла, как и периодический ток. Этому определению соответствует равенство

где i — мгновенное значение периодического тока,

I — действующее значение.

Из выражения (2. 2) находим

В частности, для гармонического тока, подставляя его формулу из (2. 1) в соотношение (2. 3), получим

Аналогично можно ввести понятие и величину действующего значения гармонического напряжения

В радиоэлектронике обычно приходится иметь дело с амплитудными значениями токов и напряжений. Но в ряде случаев, например, при проектировании источников питания, расчеты ведут, используя действующие значения, как это принято в электроэнергетике.

Если в линейных электрических цепях действуют гармонические источники, то в установившемся режиме токи и напряжения во всех участках цепи будут также гармоническими. В общем случае линейная цепь гармонического тока может содержать резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы, некоторые участки могут быть магнитно-связанными (взаимная индуктивность). Расчет цепи может заключаться в определении токов ветвей, напряжений на отдельных участках, а также в отыскании характеристических функций цепи (коэффициентов передачи, входного сопротивления и т. д.). Очевидно, что оперировать с токами и напряжениями в гармонической форме при составлении и решении уравнений по законам Кирхгофа крайне неудобно, отношения токов и напряжений (сопротивления, коэффициенты передачи и т. д.) и вовсе не имеют смысла, так как они изменяются во времени. Поэтому анализ электрических цепей при гармонических воздействиях ведется на основе так называемого символического, или комплексного метода, согласно которому гармонические функции времени (ток, напряжение и др. ) представляются векторами или комплексными числами.

Пусть ток изменится по гармоническому закону. Рассмотрим комплексную плоскость, заданную ортами — мнимая ось и +1 — вещественная ось. Поместим на плоскости вектор длиной под углом к вещественной оси и приведем его во вращение вокруг начала координат с угловой скоростью (рисунок 2. 2) .

По истечении времени t вектор займет положение. Угол, на который он повернется относительно вещественной оси, будет равен . Его проекция и на вещественную и мнимую оси будут соответственно равны

Таким образом, проекция вектора на вещественную ось является исходной гармонической функцией. Вектор можно записать и как комплексное число через его проекции

Используя формулу Эйлера , последнее выражение можно переписать в виде

Эта формула является комплексным изображением тока в любой момент времени. Однако в большинстве случаев достаточно знать положение вектора в начальный момент времени t = 0 . Тогда выражение (2. 6) приобретает вид

Это комплексное число (вектор) , модуль которого равен амплитуде тока , а угол- начальной фазе , называется комплексной амплитудой тока или комплексным током.

По аналогии можно ввести понятия и величины : комплексное напряжение , комплексная ЭДС , комплексный магнитный поток и т. д.

С помощью комплексного метода расчет цепей при гармонических воздействиях существенно упрощается.

Пример . Найти напряжение, приложенное ко входу цепи на рисунке 2. 3,

если напряжение на элементах изменяется по гармоническим законам

Для наглядности изобразим эти напряжения в виде векторов (векторная диаграмма, рисунок 2. 4) .

При вращении векторов их взаимное положение не будет изменяться. Поэтому достаточно указать их начальные положения. Согласно второму закону Кирхгофа

Сложение мгновенных значений можно заменить сложением векторов или комплексных чисел, изображающих эти напряжения. Такая замена основана на том, что проекция суммы векторов равна сумме проекций. В аналитической форме общее комплексное напряжение находится следующим образом

Амплитуда общего напряжения находится как модуль :

а начальная фаза с помощью соотношения

Аналогично можно находить и сумму гармонических токов. Вместо комплексных амплитуд напряжений и токов при анализе можно использовать комплексное действующее значение

Источник



Символический (комплексный) метод расчета цепей переменного тока

ads

Одним из способов расчета цепей переменного тока является комплексный, или еще как говорят, символический метод расчета. Этот метод применяется при анализе схем с гармоническими ЭДС, напряжениями и токами. В результате решения получают комплексное значение токов и напряжений, используя для решения любые методы (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и т.п.). Но для начала необходимо иметь понятие, в каких именно формах может представляться синусоидальная величина. 1. Одна из форм представления – это вращающийся вектор (см. рис.1):

Рис.1. Вращающийся вектор

С помощью рисунка ясно видно, как с течением времени меняется значение синусоидальной величины. В нашем случае – это величина а на графике, которая может быть, например, входным напряжением. Величина имеет некоторое начальное значение при t = 0 при начальной фазе φ

имеет положительное максимальное значение при угле ωt3, когда при времени t3 сумма ωt3 + φ = 90° и соответственно,

имеет отрицательное максимальное значение при угле ωt7, когда при времени t7 сумма углов ωt7 + φ = 270° и, соответственно,

и имеет два нулевых значения при ωtn + φ = 0, когда ωtn = —φ (на рис.1 эта область не показана и находится слева от начала координат)

и имеет нулевое значение при угле ωt11, когда при времени t11 сумма ωt11 + φ = 360° и соответственно,

Именно по такому закону и меняется привычное нам переменное напряжение 220 В, изменяясь по синусоидальному закону от значения 0 В до максимальных 311 В и обратно.

2. Другая форма представления – это комплексное число. Чтобы представить ранее рассмотренную форму представления синусоидальной величины, которая имеет некоторую начальную фазу φ, создают комплексную плоскость в виде графика зависимости двух величин (рис.2)

Комплексное число на комплексной плоскости

Рис.2. Комплексное число на комплексной плоскости

Длина вектора Am на такой комплексной плоскости равна амплитуде (максимальному значению) рассматриваемой величины. С учетом начальной фазы φ такое число записывают как .

На практике при использовании для расчетов символического (комплексного) метода расчета используют для некоторых удобств не амплитудное значение величины, а так называемое действующее значение. Его величина в корень из двух раз меньше амплитудного и обозначается без индекса m, т.е. равна

действующее значение

На рисунке выше этот вектор также показан.
Например, при том же нашем напряжении в сети, максимальное значение синусоидально изменяющегося напряжения равно 311 В, а действующее значение, к значению которого мы привыкли

Читайте также:  Измерение тока в электрических цепях назначение

Действующее значение напряжения

При работе с комплексными числами и расчетов применяют различные формы записи комплексного числа. Например, при сложении комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму записи таких чисел, а при умножении или делении – показательную форму записи. В некоторых случаях пишут тригонометрическую форму.
Итак, три формы записи комплексного числа:

1) показательная форма в виде

Показательная форма комплексного числа

2) тригонометрическая форма в виде

Тригонометрическая форма комплексного числа

3) алгебраическая форма

Алгебраическая форма комплексного числа

где ReA — это действительная составляющая комплексного числа, ImA — мнимая составляющая.

Например, имеем комплексное число в показательной форме вида

в тригонометрической форме записи это запишется как

при подсчете получим число, плавно переходящее в алгебраическую форму с учетом того, что

В итоге получим

При переходе от алгебраической формы к показательной комплексное число вида

переходит к показательному виду по следующим преобразованиям

Таким образом, и получим

Перейдем к рассмотрению несложных примеров использования символического, или по-другому, комплексного метода расчета электрических цепей. Составим небольшой алгоритм комплексного метода:

      • Составить комплексную схему, заменяя мгновенные значения ЭДС, напряжений и токов их комплексным видом
      • В полученной схеме произвольно выбирают направления токов в ветвях и обозначают их на схеме.
      • При необходимости составляют комплексные уравнения по выбранному методу решения.
      • Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины.
      • Если требуется, записывают мгновенные значения найденных комплексных величин.

Пример 1. В схеме рис.3 закон изменения ЭДС e = 141sin*ωt. Сопротивления R1 = 3 Ом, R2 = 2 Ом, L = 38,22 мГн, С = 1061,6 мкФ. Частота f = 50 Гц. Решить символическим методом. Найти ток и напряжения на элементах. Проверить 2-ой закон Кирхгофа для цепи.

Схема с последовательным соединением элементов

Рис.3. Схема с последовательным соединением элементов

Составляем комплексную схему, обозначив комплексные токи и напряжения (рис.4):

Схема с комплексными обозначениями

Рис.4. Схема с комплексными обозначениями

По закону Ома ток в цепи равен

Закон ома в комплексной форме

где U — комплексное входное напряжение, Z — полное сопротивление всей цепи. Комплекс входного напряжения находим как

Пояснение: здесь начальная фаза φ = 0°, так как общее выражение для мгновенного значения напряжение вида при φ = 0° равно

Соответственно, комплекс входного напряжения в показательной форме запишется как

Полное комплексное сопротивление цепи в общем виде

Находим комплексное сопротивление индуктивности

Находим комплексное сопротивление емкости

Соответственно, общее комплексное сопротивление цепи

Комплексные напряжения на элементах

Проверяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, т.е. должно выполняться равенство

С небольшим расхождением из-за округлений промежуточных вычислений всё верно.

Пример 2. В электрической цепи (рис.5) однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:
1) полное сопротивление электрической цепи и его характер;
2) действующие значения токов в ветвях;
3) показания вольтметра и ваттметра;

      Исходные данные: Е = 220 В, f = 50 Гц, L1 = 38,2 мГн, R2 = 6 Ом, С2 = 318 мкФ, L2 = 47,7 мГн, R3 = 10 Ом, С3 = 300 мкФ.

Рис.5.Цепь однофвзного синусоидального тока

Решение:
1. Находим комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
Учитываем, что

Комплексное сопротивление первой ветви:

Комплексное сопротивление второй ветви:

Комплексное сопротивление третьей ветви:

Общее сопротивление цепи

— нагрузка носит активно-индуктивный характер

2. Находим действующие значения токов в ветвях:

Рис.6. Схема с обозначенными комплексными токами

Действующие значения, соответственно,

3. Определим показания приборов:
Вольтметр подключен по схеме параллельно источнику питания. Соответственно его показание равно:
U=220 В
Ваттметр включен токовой обмоткой в разрыв третьей ветви, а обмоткой напряжения также к выводам третьей ветви, измеряя, таким образом, активную мощность третьей ветви. Эта мощность равна мощности на сопротивлении R3. Его показания:

Источник

Курсовая работа: Расчет сложных электрических цепей гармонического тока

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

Теоретические основы электротехники

Расчет сложных электрических цепей гармонического тока

1. Освоить применение метода комплексных амплитуд к расчёту сложных цепей гармонического тока;

2. Приобрести навыки расчёта комплексных величин и проверки баланса мощностей;

3. Научиться проводить построение векторных диаграмм токов и напряжений для цепей гармонического тока.

1.2 Решаемая задача

Для заданной цепи рассчитать методом контурных токов мгновенное значение токов в ветвях, проверить баланс мощностей, проверить векторную диаграмму токов и напряжений.

Для этого выполняем следующее:

а) выписываем индивидуальные исходные данные для выполнения контрольного домашнего задания;

б) изображаем граф и схему цепи и обозначаем её элементы;

в) подготавливаем схему цепи для расчёта методом контурных токов, для чего преобразовываем генераторы тока в эквивалентные генераторы напряжения;

г) произвольно выбираем положительное направление токов в ветвях и контурных токов;

д) составляем систему уравнений цепи относительно комплексных амплитуд контурных токов;

е) составляем таблицу числовых коэффициентов системы уравнений;

ж) производим расчёт комплексных амплитуд контурных токов;

з) определяем комплексные амплитуды и записываем мгновенные значения токов в ветвях;

и) проверяем баланс мощностей;

к) строим векторные диаграммы токов и напряжений для заданных узла и контура;

л) делаем выводы по результатам выполненного контрольного домашнего задания.

1.3 Исходные данные.

Задание №9, вариант схемы №1.

2. Расчет цепи методом контурных токов

2.1 Подготовка схемы

При расчёте цепи используем метод контурных токов. Выбор этого метода объясняется тем, что количество независимых контуров в схеме меньше числа ветвей, что определяет количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа.

По данному графу изображаем принципиальную схему цепи, для чего, в соответствующие участки графа включаем заданные элементы.

Подготавливаем схему цепи для расчёта методом контурных токов, для чего преобразовываем генератор тока в эквивалентный генератор напряжения и далее рассматриваем цепь только с источниками э.д.с.

Пересчёт параметров генератора тока в эквивалентный генератор напряжения производим по формулам:

, .

2.2 Выбор токов в ветвях и контурных токов

Изображаем принципиальную схему цепи после проведения преобразований источников энергии.

Выбираем положительные направления токов в ветвях и контурных токов.

2.3 Система уравнений цепи относительно комплексных амплитуд контурных токов

Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:

2.4 Таблица числовых коэффициентов системы уравнений

Коэффициенты системы уравнений Левые части уравнений
K=1 K=2 K=3 K=4 K=5
Re Im Re Im Re Im Re Im Re Im
А(1, К) 9 2 -4 10 5 8
А(2, К) -4 10 15 -1 -5 -25 -23.3098 23.0159
А(3, К) 5 8 -5 23 4 10 7.3602 12.4752
А(4, К) -25 10 36 21 30.67 10.5407

2.5 Расчёт комплексных амплитуд контурных токов

Для расчета комплексных амплитуд контурных токов находим определители матриц и вычисляем искомые токи по методу Крамера:

После выполнения расчета проверим правильность полученного результата. Для этого найденные комплексные амплитуды контурных токов подставим в одно из уравнений системы, например, в третье:

()(5+j8)+()( — j5)+()(23+j4)+

+()(10)= 7.3593+j12.475 В;

7.3593+j12.475 В = 7.3602+j12.4752 В.

В результате проверки выяснилось, что появилась небольшая погрешность. Это говорит о том, что метод контурных токов дает практически точный результат.

2.6 Определение комплексных амплитуд и мгновенных значений токов в ветвях

Комплексная амплитуда тока в ветви определяется как алгебраическая сумма комплексных амплитуд контурных токов, протекающих в данной ветви. Если направление контурного тока совпадает с выбранным ранее направлением тока в ветви, то комплексная амплитуда контурного тока берется со знаком «+», если противоположно – со знаком «–».

Читайте также:  Найти объем водорода который выделиться при пропускании тока силой

После определения комплексных амплитуд токов в ветвях запишем их мгновенные значения по формуле:

,

2.7 Уравнение баланса мощностей

Для того, чтобы убедиться в правильности расчета токов, составляем уравнение баланса мощностей для заданной цепи гармонического тока:

.

Левая часть уравнения описывает полную мощность источников энергии, которая определяется как алгебраическая сумма мощностей, отдаваемых каждым источником. Со знаком «+» берется слагаемое при совпадении направлений э.д.с. и протекающего в этой ветви тока, в противном случае слагаемое берется со знаком «–».

Правая часть уравнения характеризует полную мощность, потребляемую всеми пассивными элементами цепи.

Комплексное уравнение баланса мощностей при расчетах распадается на два вещественных: и , где — активные мощности; — реактивные мощности.

Точность расчета токов должна обеспечить выполнение равенств с ошибкой не более 5%:

2.8 Векторная диаграмма комплексных амплитуд токов для заданного узла

Составляем уравнение баланса токов для узла В и строим векторную диаграмму комплексных амплитуд токов согласно первому закону Кирхгофа:

Аргументы токов узла В:

Модули токов узла В:

Im

Re

Im10

-0.5

Im9

2.9 Векторная диаграмма напряжений для заданного контура

Для построения векторной диаграммы напряжений рассчитаем комплексные амплитуды напряжений на всех элементах заданного контура. Затем, выбрав положительное направление обхода контура, составим уравнение по второму закону Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме э.д.с., действующих в этом контуре. Для II-го контура имеем:

-23.31+j23.016 = -23.31+j23.016.

Рассчитаем комплексные амплитуды напряжений на всех элементах контура:

Аргументы напряжений контура:

Модули напряжений контура:

Метод контурных токов удобно применять для расчёта сложных цепей гармонического тока, он позволяет определить токи в ветвях и определить баланс токов, напряжений и мощностей с большой степенью точности.

1.В.А. Сергеев «Теоретические основы электротехники» Москва 1985 год

2. В.В. Сурков «Статистический анализ расчета цепей постоянного тока» Москва 1971 год

Источник

Расчёт сложной электрической цепи гармонического тока методом контурных токов. Составление баланса мощности

20. Расчёт сложной электрической цепи гармонического тока методом узловых потенциалов (напряжений). Составление баланса мощности.

Метод узловых потенциалов
Уравнения, составляемые по этому методу, называются узловыми уравнениями. В качестве неизвестных они содержат потенциалы узлов, причем один из них задается заранее – обычно принимается равным нулю.
Рис. 1.9. Сложная электрическая цепь

Пусть таким узлом будет узел d: ф d=0. Равенство нулю какой-то точки схемы обычно показывается как ее заземление.
Запишем для каждой ветви выражение закона Ома:

Подставляя формулы (1.8) в систему (1.6) после несложных преобразований получаем следующие уравнения, количество которых на единицу меньше числа узлов:

При решении практических задач указанный вывод не делают, а узловые уравнения записывают сразу, пользуясь следующим правилом.
Потенциал узла, для которого составляется уравнение (например, в первом уравнении последней системы – это узел а), умножается на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к этому узлу: ф а (G1+G2+G3).Это произведение записывается в левой части уравнения со знаком плюс. Потенциал каждого соседнего узла (bи с) умножается на проводимости ветвей, лежащих между этим (соседним) узлом и узлом, для которого составляется уравнение.
Эти произведения ф b (G1 + G2) и ф сG3 записываются со знаком минус. В правой части уравнения стоит алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимости тех ветвей, которые присоединены к рассматриваемому узлу: E1G1, E2G2 иE3G3. Эти произведения записываются с плюсом, если ЭДС направлены к узлу, и с минусом, если от узла.
Найдя из (1.9) потенциалы узлов и подставляя их в (1.8), определяем токи ветвей.

21. Расчёт сложной электрической цепи гармонического тока методом эквивалентного генератора. Составление баланса мощности.

Метод эквивалентного генератора
Этот метод основан на сформулированной выше теореме (см. подразд. 1.4) и применяется в тех случаях, когда требуется рассчитать ток в какой-либо одной ветви при нескольких значениях ее параметров (сопротивления и ЭДС) и неизменных параметрах всей остальной цепи.
Сущность метода заключается в следующем. Вся цепь относительно зажимов интересующей нас ветви представляется как активный двухполюсник, который заменяется эквивалентным генератором, к зажимам которого подключается интересующая нас ветвь. В итоге получается простая неразветвленная цепь, ток в которой определяется по закону Ома.
ЭДС ЕЭэквивалентного генератора и его внутреннее сопротивление находятся из режимов холостого хода и короткого замыкания двухполюсника.
Порядок решения задачи этим методом рассмотрим на конкретном числовом примере.
Пример 1.5.В цепи, показанной на рис. 1.20, а, требуется рассчитать ток I3 при шести различных значениях сопротивленияR3 и по результатам расчета построить график зависимостиI3(R3).
Числовые значения параметров цепи: Е1 = 225 В; Е3 = 30 В;R1 = 3 Ом; R2 = 6 Ом.
а) б)

Рис. 1.20. Схема решения задачи
Р е ш е н и е. а) Расчет режима холостого хода.
Убираем третью ветвь, оставляя зажимы m и n разомкнутыми (рис. 1.21, а). Напряжение между ними, равное UX, находится как падение напряжения на сопротивлении R2:
150 В; 150 В.
б) Расчет режима короткого замыкания. Замыкаем накоротко зажимы m и n (рис. 1.21, б). Ток короткого замыкания 75 А.
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора
2 Ом.

Рис. 1.21. Режимы холостого хода (а) и короткого замыкания (б)
Величину можно найти и другим способом. Оно равно входному сопротивлению двухполюсника при равенстве нулю всех его ЭДС. Если на рис. 1.21, а мысленно закоротить зажимы ЭДСЕ1, то сопротивления R1 и R2 окажутся соединенными параллельно, и входное сопротивление цепи относительно зажимов m и n будет равно 2 Ом.
Ток в полученной неразветвленной цепи (рис. 1.20, б) определяется по закону Ома:
(1.13)
Подставляя в последнюю формулу требуемые значения сопротивления R3, вычисляем ток и строим график (рис. 1.22).

Рис. 1.22. Зависимость тока от сопротивления

Данную задачу целесообразно решать именно методом эквивалентного генератора. Применение другого метода, например метода контурных токов, потребует решать систему уравнений столько раз, сколько значений тока необходимо найти. Здесь же всю цепь мы рассчитываем только два раза, определяяЕЭ и , а многократно используем лишь одну простую формулу (1.13).

22. Электрические цепи с взаимной индуктивностью. Индуктивно связанные элементы цепи. Потоки самоиндукции и взаимной индукции. Коэффициент связи.

23. Расчёт электрических цепей с последовательным соединением индуктивно­связанных элементов при согласном и встречном включении. Составление уравнений по закону Кирхгофа. Построение векторных диаграмм.

24. Резонанс в последовательной цепи гармонического тока. Частотные характеристики последовательного резонансного контура.

Лекция №11.

25. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Основные понятия. Условия возникновения переходных процессов. Законы коммутации. Характеристическое уравнение электрической цепи.

26. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Определение начальных условий и постоянных интегрирования в классическом методе расчета. Принужденная и свободная составляющие.

27. Анализ переходных процессов в последовательнойLR-цепи классическим методом. Анализ переходных процессов в цепи R, L

Исследуем, как изменяется ток в цепи с резистором R и катушкой L в пере­ходном режиме. В качестве примера рассмотрим переходной процесс при включении цепи R, L к источнику а) постоянной ЭДС =const и б) переменной ЭДС (рис. 140).
Расчет переходного процесса выполним классическим методом.

Читайте также:  Что такое круговые молекулярные токи

а) Включение цепи R, L к источнику постоянной ЭДС .
Общий вид решения для тока:
Установившаяся составляющая тока: .
Характеристическое уравнение и его корни:
.
Независимое начальное условие: .
Постоянная интегрирования: .
Окончательное решение для искомой функции:
, где − постоянная времени, численно равная времени, за которое ам­плитуда сво­бодной составляющей затухает в раза. Чем больше , тем медленнее затухает переходной процесс. Теоретически затуха­ние свободной составляющей про­должается до бесконечности. Техническое время переходного процесса определя­ется из условия, что за это время свободная составляющая уменьшается до 0,01 от ее первоначального значения:
, откуда .
На рис. 141 представлена графическая диаграмма искомой функции

Для приближенного построения графической диаграммы свободной составляю­щей можно воспользоваться таблицей значений этой функции в интервале времени :

t 0,5 1,0 1,5
0,61 0,37 0,22 0,14 0,05 0,02

Постоянная времени может быть определена из графической диа­граммы функции как отрезок времени , по краям которого от­ношение значений функции равно раза (рис. 141).
б) Включение цепи R, L к источнику синусоидальной ЭДС
Общий вид решения для тока:

Характеристическое уравнение и его корни:

Установившаяся составляющая тока:
, откуда следует ,
где , , .
Независимое начальное условие:
Постоянная интегрирования:
, откуда
Окончательное решение для искомой функции:

Из анализа решения видно, что амплитуда свободной составляющей А зависит от начальной фазы источника ЭДС. При эта ам­плитуда имеет макси­мальное значение , при этом переходной процесс протекает с максималь­ной интенсивностью. При ампли­туда свободной составляющей равна нулю, и переходной процесс в цепи вообще отсутствует. На рис. 142 представлена графическая диаграмма иско­мой функции при , .

28. Анализ переходных процессов в последовательнойRC-цепи классическим методом.

Под переходным (динамическим, нестационарным) процессом или режимом в электрических цепях понимается процесс перехода цепи из одного установившегося состояния (режима) в другое. При установившихся, или стационарных, режимах в цепях постоянного тока напряжения и токи неизменны во времени, а в цепях переменного тока они представляют собой периодические функции времени. Установившиеся режимы при заданных и неизменных параметрах цепи полностью определяются только источником энергии. Следовательно, источники постоянного напряжения (или тока) создают в цепи постоянный ток, а источники переменного напряжения (или тока) – переменный ток той же частоты, что и частота источника энергии.

Переходные процессы возникают при любых изменениях режима электрической цепи: при подключении и отключении цепи, при изменении нагрузки, при возникновении аварийных режимов (короткое замыкание, обрыв провода и т.д.). Изменения в электрической цепи можно представить в виде тех или иных переключений, называемых в общем случае коммутацией. Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода от энергетического состояния, соответствующего до коммутационному режиму, к энергетическому состоянию, соответствующему после коммутационному режиму.

Переходные процессы обычно быстро протекающие: длительность их составляет десятые, сотые, а иногда и миллиардные доли секунды. Сравнительно редко длительность переходных процессов достигает секунд и десятков секунд. Тем не менее изучение переходных процессов весьма важно, так как позволяет установить, как деформируется по форме и амплитуде сигнал, выявить превышения напряжения на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изоляции установки, увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать амплитуду тока установившегося периодического процесса, а также определять продолжительность переходного процесса. С другой стороны, работа многих электротехнических устройств, особенно устройств промышленной электроники, основана на переходных процессах. Например, в электрических нагревательных печах качество выпускаемого материала зависит от характера протекания переходного процесса. Чрезмерно быстрое нагревание может стать причиной брака, а чрезмерно медленное отрицательно оказывается на качестве материала и приводит к снижению производительности.

5.1 Причины возникновения переходных процессов.
Законы коммутации

В общем случае в электрической цепи переходные процессы могут возникать, если в цепи имеются индуктивные и емкостные элементы, обладающие способностью накапливать или отдавать энергию магнитного или электрического поля. В момент коммутации, когда начинается переходный процесс, происходит перераспределение энергии между индуктивными, емкостными элементами цепи и внешними источниками энергии, подключенными к цепи. При этом часть энергия безвозвратно преобразуется в другие виды энергий (например, в тепловую на активном сопротивлении).

После окончания переходного процесса устанавливается новый установившийся режим, который определяется только внешними источниками энергии. При отключении внешних источников энергии переходный процесс может возникать за счет энергии электромагнитного поля, накопленной до начала переходного режима в индуктивных и емкостных элементах цепи.

Изменения энергии магнитного и электрического полей не могут происходить мгновенно, и, следовательно, не могут мгновенно протекать процессы в момент коммутации. В самом деле, скачкообразное (мгновенное) изменение энергии в индуктивном и емкостном элементе приводит к необходимости иметь бесконечно большие мощности p = dW/dt, что практически невозможно, ибо в реальных электрических цепях бесконечно большой мощности не существует.

Таким образом, переходные процессы не могут протекать мгновенно, так как невозможно в принципе мгновенно изменять энергию, накопленную в электромагнитном поле цепи. Теоретически переходные процессы заканчиваются за время t→∞. Практически же переходные процессы являются быстропротекающими, и их длительность обычно составляет доли секунды. Так как энергия магнитного WМ и электрического полей WЭ описывается выражениями

то ток в индуктивности и напряжение на емкости не могут изменяться мгновенно. На этом основаны законы коммутации.

Первый закон коммутации состоит в том, что ток в ветви с индуктивным элементом в начальный момент времени после коммутации имеет то же значение, какое он имел непосредственно перед коммутацией, а затем с этого значения он начинает плавно изменяться. Сказанное обычно записывают в виде iL(0) = iL(0+), считая, что коммутация происходит мгновенно в момент t = 0.

Второй закон коммутации состоит в том, что напряжение на емкостном элементе в начальный момент после коммутации имеет то же значение, какое оно имело непосредственно перед коммутацией, а затем с этого значения оно начинает плавно изменяться: UC(0) = UC(0+).

Следовательно, наличие ветви, содержащей индуктивность, в цепи, включаемой под напряжение, равносильно разрыву цепи в этом месте в момент коммутации, так как iL(0) = iL(0+). Наличие в цепи, включаемой под напряжение, ветви, содержащей разряженный конденсатор, равносильно короткому замыканию в этом месте в момент коммутации, так как UC(0) = UC(0+).

Однако в электрической цепи возможны скачки напряжений на индуктивностях и токов на емкостях.

В электрических цепях с резистивными элементами энергия электромагнитного поля не запасается, вследствие чего в них переходные процессы не возникают, т.е. в таких цепях стационарные режимы устанавливаются мгновенно, скачком.

В действительности любой элемент цепи обладает каким-то сопротивлением r, индуктивностью L и емкостью С, т.е. в реальных электротехнических устройствах существуют тепловые потери, обусловленные прохождением тока и наличием сопротивления r, а также магнитные и электрические поля.

Переходные процессы в реальных электротехнических устройствах можно ускорять или замедлять путем подбора соответствующих параметров элементов цепей, а также за счет применения специальных устройств.

Источник