Меню

Применение второго закона кирхгофа в цепях переменного тока

Правила (законы) Кирхгофа простыми словами

На практике часто встречаются задачи по расчётам параметров токов и напряжений в различных разветвлённых цепях. В качестве инструмента для расчётов используют правила Кирхгофа (в некоторой литературе их называют еще законами, хотя это не совсем корректно) – одни из фундаментальных правил, которые совместно с законами Ома позволяет определять параметры независимых контуров в самых сложных цепях.

Учёный Густав Киргхоф сформулировал два правила [1], для понимания которых введено понятие узла, ветви, контура. В нашей ситуации ветвью будем называть участок, по которому протекает один и тот же ток. Точки соединения ветвей образуют узлы. Ветви вместе с узлами образуют контуры – замкнутые пути, по которым течёт ток.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Густава Кирхгофа сформулировано исходя из закона сохранения заряда. Физик понимал, что заряд не может задерживаться в узле, а распределяется по ветвям контура, образующим это соединение.

На рисунке 1 изображена простая схема, состоящая из контуров. Точками A, B, C, D обозначены узлы контура в центре схемы.

Схема контура

Рис. 1. Схема контура

Ток I1 входит в узел A, образованный ветвями контура. На схеме электрический заряд распределяется в двух направлениях – по ветвям AB и AD. Согласно правилу Кирхгофа, входящий ток равен сумме выходящих: I1 = I2 + I3.

На рисунке 2 представлен абстрактный узел, по ветвям которого течёт ток в разных направлениях. Если сложить векторы i1, i2, i3, i4 то, согласно первому правилу Кирхгофа, векторная сумма будет равняться 0: i1 + i2 + i3 + i4 = 0. Ветвей может быть сколько угодно много, но равенство всегда будет справедливым, с учётом направления векторов.

Абстрактный узел

Рис. 2. Абстрактный узел

Запишем наши выводы в алгебраической форме, для общего случая:

Формула сумма токов

Для использования этой формулы, требуется учитывать знаки. Для этого необходимо выбрать направление одного из векторов тока (не важно, какого) и обозначить его знаком «плюс». При этом знаки всех других величин определить, исходя от их направления, по отношению к выбранному вектору.

Чтобы избежать путаницы, ток, направленный в точку узла, принято считать положительным, а векторы, направленные от узла – отрицательными.

Изложим первое правило Кирхгофа, выраженное приведённой выше формулой: «Алгебраическая сумма сходящихся в определённом узле токов, равна нулю, если считать входящие токи положительными, а отходящими – отрицательными».

Первое правило дополняет второе правило, сформулированное Кирхгофом. Перейдём к его рассмотрению.

Второе правило Киргхофа

Из третьего уравнения Максвелла вытекает правило Кирхгофа для напряжений. Его ещё называют вторым законом.

При этом токи и ЭДС, векторы которых совпадают с направлением (выбирается произвольно) обхода контура, считаются положительными, а встречные к обходу токи – отрицательными.

Иллюстрация второго правила Кирхгофа

Рис. 4. Иллюстрация второго правила Кирхгофа

Формулы, которые изображены на рисунке применяются в частных случаях для вычисления параметров простых схем.

Формулировки уравнений общего характера:

Формулы для второго правила киргхофа

, где где Lk и Ck – это индуктивности и ёмкости, соответственно.

Линейные уравнения справедливы как для линейных, так и для нелинейных линеаризованных цепей. Они применяются при любом характере временных изменений токов и напряжений, для разных источников ЭДС. При этом законы Кирхгофа справедливы и для магнитных цепей. Это позволяет выполнять вычисления для поиска соответствующие параметров.

Закон Кирхгофа для магнитной цепи

Применение независимых уравнений возможно и при расчётах магнитных цепей. Сформулированные выше правила Кирхгофа справедливы и для вычисления параметров магнитных потоков и намагничивающих сил.

Магнитные контуры цепей

Рис. 4. Магнитные контуры цепей

То есть, для магнитных потоков первое правило Кирхгофа можно выразить словами: «Алгебраическая сумма всевозможных магнитных потоков относительно узла магнитной цепи равняется нулю.

Сформулируем второе правило для намагничивающих сил F: «В замкнутом магнитном контуре алгебраическая сумма намагничивающих сил приравнивается к сумме магнитных напряжений». Данное утверждение выражается формулой: ∑F=∑U или ∑Iω = ∑НL, где ω – количество витков, H – напряжённость магнитного поля, символ L обозначает длину средней линии магнитопровода. ( Условно принимается, что каждая точка этой линии совпадает с линиями магнитной индукции).

Второе правило, применяемое для вычисления магнитных цепей, есть не что иное, как альтернативная форма представления закона полного тока.

При совпадении векторов магнитного потока с направлениями обхода (на некоторых участках), падение напряжения на этих ветвях берём со знаком « + », а встречные ему – со знаком « – ».

Примеры расчета цепей

Рассмотрим ещё раз рисунок 3. На нём изображено 4 разнонаправленных вектора: i1, i2, i3, i4. Из них – два входящие ( i2, i3) и два исходящие из узла (i1, i4). Положительными будем считать те векторы, которые направлены в точку соединения ветвей, а остальные – отрицательными.

Читайте также:  Простые вольтметры переменного тока

Тогда, по формуле Кирхгофа, составим уравнение и запишем его в следующем виде: – i1 + i2 + i3 – i4 = 0.

На практике такие узлы являются частью контуров, обходя которые можно составить ещё несколько линейных уравнений с этими же неизвестными. Количество уравнений всегда достаточно для решения задачи.

Рассмотрим алгоритм решения на примере рис. 5.

Пример для расчёта

Рис. 5. Пример для расчёта

Схема содержит 3 ветви и два узла, которые образуют три пары по два независимых контура:

  1. 1 и 2.
  2. 1 и 3.
  3. 2 и 3.

Запишем независимое уравнение, выполняющееся, например, в точке а. Из первого правила Кирхгофа вытекает: I1 + I2 – I3 = 0.

Воспользуемся вторым правилом Кирхгофа. Для составления уравнений можно выбрать любой из контуров, но нам необходимы контуры с узлом а, так как для него мы уже составили уравнение. Это будут контуры 1 и 2.

Пишем уравнения:

Решаем систему уравнений:

Система уравнений

Так как значения R и E известны (см. рисунок 5), мы придём к системе уравнений:

Система уравнений

Решая эту систему, получим:

  1. I1 = 1,36 (значения в миллиамперах).
  2. I2 = 2,19 мА.;
  3. I3 = 3,55 мА.

Потенциал узла а равен: Ua = I3*R3 = 3,55 × 3 = 10,65 В. Чтобы убедиться в верности наших расчётов, проверим выполнение второго правила по отношению к контуру 3:

E1 – E2 + I1R1+ I2R2 = 12 – 15 + 1,36 – 4,38 = – 0,02 ≈ 0 (с учётом погрешностей, связанных с округлениями чисел при вычислениях).

Если проверка выполнения второго правила успешно завершена, то расчёты сделаны правильно, а полученные данные являются достоверными.

Применяя правила (законы) Кирхгофа можно вычислять параметры электрической энергии для магнитных цепей.

Источник



Второй закон Кирхгофа

Законы Кирхгофа являются важной частью электротехники, их можно использовать для теоретических расчетов и с практической пользой в случае электрических цепях разветвленного и произвольного типа. Первый закон и второй закон Кирхгофа пользуются особым спросом благодаря своего универсального применения и возможности решить различного рода задач. Они работают, так как для линейных цепей, так и для нелинейных, где ток может быть переменным или постоянным. В некоторых источниках законы Киргофа принято называть правилами, так как выводы были сделаны на основе длительного наблюдения за определенными процессами.

До того как понять, что собой представляет второй закон Кирхгофа стоит вспомнить, что именно гласит первый закон, так как между ними определенно должна быть какая-то связь, учитывая, в том числе последовательность их появления. Несмотря на то какая формулировка, первый закон Кирхгофа гласит одну истину:

Первая формулировка : Сумма всех токов, которые сводятся в один узел, равна нулю.

Вторая формулировка: Сумма тех токов, которые являются втекающими и вытекающими из единого узла представляет собой одно и то же значение, то есть эти два значения равны.

Речь именно об алгебраической сумме этих токов. Данный закон появился как производное от закона сохранения заряда. Другими словами первый закон указывает на непрерывность тока. Первый закон может быть сформулирован по-разному, но вне зависимости от этого он будет означать то же самое понятие. Если первый закон гласит, что сумма всех токов входящие в один узел равна сумме всех токов выходящих из этого узла, то не составит труда сформулировать на основе этого и второе неопровержимое правило Кирхгофа.

Понимание правил Кирхгофа можно упростить, если удостовериться, что такие простые понятия как ветвь, узел, контур и электрическая цепь являются понятными и доступными. Разъяснение можно начать с самого простого понятия – ветвь, что представляет собой некую часть электрической цепи с одинаковым током по всей длине. Узел более сложное понятие, так как он может состоять из определенного количества ветвей, которые объединены в одной точке. Понятие контур уже некий замкнутый электрический путь, который может состоять из разного количества ветвей и узлов. Путь обязательно закрытый и подразумевает возврат в исходную точку после прохождения всех элементов электрической цепи. Несколько контуров могут существовать бок о бок и делить между собой свои элементы, так как ветви и узлы. Все эти значения обозначают второй закон Кирхгофа.

Второй закон Кирхгофа и его определение

В едином замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС будет равняться на значение, которое суммирует изменения напряжения на всеобщее количество резистивных элементов данного контура.

Второе правило Кирхгофа актуально в сетях с постоянным и/или переменным током. В формулировке закона используется именно понятие алгебраическая сумма, так как она может быть указана со знаком плюс или минус. Точное определение возможно в таком случае только посредством простого, но эффективного алгоритма. Для начала надо подобрать какое-то направление для обхода контура, по/против часовой стрелке, на собственное усмотрение. Само направление тока подбирается только через элементы цепи. После следует определить знаки «+» и «-» для напряжениях и ЭДС. Напряжения нужно записывать с отрицательным знаком, когда ток не соответствует обходу контура в плане направления и с плюсом в случае совпадения. То же самое правило нужно использовать и в том случае, когда необходимо отметить ЭДС.

Читайте также:  Зачем нужны машины постоянного тока

Второй закон Кирхгофа — практическое применение

На практике второй закон Кирхгофа применяется успешно для расчета электрических цепей. Благодаря его разъяснению можно рассчитать необходимые параметры в сложных электрических цепях. Когда присутствует необходимость рассчитать значение тока и/или направление всегда выручит второй закон Кирхгофа. Невзирая на то, что правила Кирхгофа были сформулированы в далеком 1845 году, они показали себя как рабочие и не вызывают вопросы ни у кого. Теория электрических цепей была бы неполной без наличия этих законов, которые так хорошо подходят для решения различных уравнений в этой области.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Источник

№18 Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей синусоидального тока.

Для мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений остаются справедливыми сформулированные ранее законы Кирхгофа.

Первый: в любой момент времени алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю:

где n — число ветвей, сходящихся в узле

Второй: в любой момент времени в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах контура:

где m — число ветвей, образующих контур

Токи, напряжения и ЭДС, входящие в уравнения (2.8) и (2.9), есть синусоидальные функции времени, которые мы рассматриваем как проекции некоторых векторов на оси координат. Так как сложению проекций соответствует сложение векторов и соответствующих им комплексных чисел, то справедливыми будут следующие уравнения, которые можно записывать как для действующих, так и для амплитудных значений.

Законы Киргофа в векторной форме

Законы Киргофа в символической форме

Из сказанного вытекают три возможных подхода к расчету цепей синусоидального тока: выполнение операций непосредственно над синусоидальными функциями времени по уравнениям выше; применение метода векторных диаграмм, использование в расчетах комплексных чисел и уравнений, являющихся основой символического метода.

Пример 2.4. В узле электрической цепи сходятся три ветви (рис. 18.1).

Токи первых двух ветвей известны:

Требуется записать выражение тока i3 и определить показания амперметров электромагнитной системы

Рис. 18.1 — Узел электрической цепи

Непосредственное сложение синусоид:

Сумма двух синусоид одинаковой чыстоты есть тоже синусоида той же частоты. Ее амплитуда и начальная фаза могут быть найдены по известным из математики формулам:

2. Применение метода векторных диаграмм.

В соответствии с первым законом Киргофа в векторной форме для цепи на рис. 18.1 имеем:

В прямоугольной системе координат строим векторы I1m и I2m и находим вектор I3m, равный их сумме (рис. 18.2)

Так как треугольник oab прямоугольный, а сторона ab равна длине вектора I2m, то:

Если треугольник получается не прямоугольным, то применяется теорема косинусов.

Начальная фаза третьего тока равна углу наклона: вектора I3m к горизонтальной оси:

Рис. 18.2 — Векторная диаграмма токов

3. Решение символическим методом

Записываем комплексные амплитуды первого и второго токов:

По первому закону Киргофа в символической форме

Модуль последнего комплексного числа равен амплитуде третьего тока, а агрумент — начальной фазе.

Определяем показания амперметров. Приборы электромагнитной системы показывают действующие значения токов и напряжений, потому:

Обращаем внимание на то, что I1+I2≠I3. Это не ошибка. В цепях синусоидального тока для показаний приборов законы Кирхгофа не справедливы. Можно складывать мгновенные значения токов (синусоидальные функции времени), векторы и комплексные числа, но не численные значения токов и напряжений, не показания приборов.

Следует заметить, что первый из рассмотренных в примере методов из-за громоздкости вычислительных операций с синусоидами практически не применяется.

Метод векторных диаграмм удобен при решении относительно несложных задач.

В символической форме, как будет показано ниже, можно рассчитать сколь угодно сложную линейную цепь.

Источник

Законы Кирхгофа — формулы и примеры использования

Законы Кирхгофа устанавливают соотношения между токами и напряжениями в разветвленных электрических цепях произвольного типа. Законы Кирхгофа имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения любых электротехнических задач. Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при постоянных и переменных напряжениях и токах.

Читайте также:  Щитовые амперметры вольтметры постоянного тока

Первый закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда. Он состоит в том, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле, равна нулю.

где – число токов, сходящихся в данном узле. Например, для узла электрической цепи (рис. 1) уравнение по первому закону Кирхгофа можно записать в виде I1 — I2 + I3 — I4 + I5 = 0

Первый закон Кирхгофа

В этом уравнении токи, направленные к узлу, приняты положительными.

Физически первый закон Кирхгофа – это закон непрерывности электрического тока.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре

где k – число источников ЭДС; m – число ветвей в замкнутом контуре; Ii , Ri – ток и сопротивление i -й ветви.

Второй закон Кирхгофа

Так, для замкнутого контура схемы (рис. 2 ) Е1 — Е2 + Е3 = I1R1 — I2R2 + I3R3 — I4R4

Замечание о знаках полученного уравнения:

1) ЭДС положительна, если ее направление совпадает с направлением произвольно выбранного обхода контура;

2) падение напряжения на резисторе положительно, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

Физически второй закон Кирхгофа характеризует равновесие напряжений в любом контуре цепи.

Расчет разветвленной электрической цепи с помощью законов Кирхгофа

Метод законов Кирхгофа заключается в решении системы уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.

Метод заключается в составлении уравнений по первому и второму законам Кирхгофа для узлов и контуров электрической цепи и решении этих уравнений с целью определения неизвестных токов в ветвях и по ним – напряжений. Поэтому число неизвестных равно числу ветвей b , следовательно, столько же независимых уравнений необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

Число уравнений, которые можно составить на основании первого закона, равно числу узлов цепи, причем только ( y – 1) уравнений являются независимыми друг от друга.

Независимость уравнений обеспечивается выбором узлов. Узлы обычно выбирают так, чтобы каждый последующий узел отличался от смежных узлов хотя бы одной ветвью. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, т.е. число уравнений b — (y — 1) = b — y +1 .

Контур называется независимым, если он содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры.

Составим систему уравнений Кирхгофа для электрической цепи (рис. 3 ). Схема содержит четыре узла и шесть ветвей.

Поэтому по первому закону Кирхгофа составим y — 1 = 4 — 1 = 3 уравнения, а по второму b — y + 1 = 6 — 4 + 1 = 3 , также три уравнения.

Произвольно выберем положительные направления токов во всех ветвях (рис. 4 ). Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

Расчет разветвленной электрической цепи с помощью законов Кирхгофа

Составляем необходимое число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа

Полученная система уравнений решается относительно токов. Если при расчете ток в ветви получился с минусом, то его направление противоположно принятому направлению.
Потенциальная диаграмма – это графическое изображение второго закона Кирхгофа, которая применяется для проверки правильности расчетов в линейных резистивных цепях. Потенциальная диаграмма строится для контура без источников тока, причем потенциалы точек начала и конца диаграммы должны получиться одинаковыми.

Рассмотрим контур abcda схемы, изображенной на рис. 4. В ветке ab между резистором R1 и ЭДС E1 обозначим дополнительную точку k.

Контур для построения потенциальной диаграммы

Рис. 4. Контур для построения потенциальной диаграммы

Потенциал любого узла принимаем равным нулю (например, ?а= 0), выбираем обход контура и определяем потенциалы точек контура: ?а = 0, ?к = ?а — I1R1 , ? b = ? к + Е1, ?с = ? b — I2R2 , ? d = ?c — Е2, ? a = ?d + I3R3 = 0

При построении потенциальной диаграммы необходимо учитывать, что сопротивление ЭДС равно нулю (рис. 5 ).

Потенциальная диаграмма

Рис. 5. Потенциальная диаграмма

Законы Кирхгофа в комплексной форме

Для цепей синусоидального тока законы Кирхгофа формулируются так же, как и для цепей постоянного тока, но только для комплексных значений токов и напряжений.

Первый закон Кирхгофа : «алгебраическая сумма комплексов тока в узле электрической цепи равна нулю»

Второй закон Кирхгофа : «в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех пассивных элементах этого контура».

Источник