Меню

Плотность тока смещения плоская волна

Лекция №2. Плоские электромагнитные волны. Поляризация волн

Рассмотрим бесконечное трехмерное пространство, в котором отсутствуют свободные заряды r=0 и с заданными электродинамическими параметрами , одинаковыми во всех точках. Гармонически изменяющийся электромагнитный процесс будет описываться системой уравнений Максвелла. Из уравнений (1.2)-(1.5), путем математических преобразований, выводится уравнения Гельмгольца:

Уравнение (2.1) – однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Для простоты решения введем параметр:

и будем считать, что: . Кроме того, зависит только от координаты z, то есть: . Тогда решение уравнения (2.1) будет:

где и корни уравнения (2.2). Распишем их:

Отсюда: , и выражение (2.3) запишется в виде:

Выражение (2.4) – однородная плоская волна. Первое слагаемое – волна, распространяющаяся в сторону уменьшения z. Второе – в сторону увеличения. Отсюда величина g – коэффициент распространения.

Плоской называют волну, распространяющуюся вдоль какой-либо координаты и неизменную в каждый фиксированный момент времени в плоскости перпендикулярной этой координате:

Параметр b играет роль «пространственной» частоты процесса – коэффициент фазы (1/м). Её период: , где l — длина волны.

Поверхность, удовлетворяющая условию: называется волновой фронт (фазовый фронт, поверхность равных фаз), перемещающийся вдоль оси z с фазовой скоростью:

Величина a – коэффициент ослабления плоской волны в среде (1/м).

В расчетах чаще используют погонное затухание:

Используя второе уравнение Максвелла, найдем Н и подставим величину g:

– в однородной плоской волне векторы Е и Н перпендикулярны;

– и Е и Н перпендикулярны оси распространения – поперечная волна;

– комплексные амплитуды векторов Е и Н в любой точке пространства связаны коэффициентом пропорциональности Zc.

Zc — характеристическое (волновое) сопротивление:

Волновое сопротивление Zc характеризует среду и, в общем случае, не связано с тепловыми потерями.

Определим плотность потока мощности плоской ЭМВ:

или с учетом Zс:

Рассмотрим, как изменятся приведенные выше соотношения, если среда распространения – вакуум: .

Коэффициент распространения: чисто мнимый (потерь нет). Коэффициент фазы , тогда фазовая скорость не зависит от частоты.

Отсюда Z – действительное, и равно Ом. Векторы Е и Н колеблются в фазе. Отметим, что для атмосферного воздуха это тоже справедливо.

В среде без потерь, но с e>1, m>1:

На практике в СВЧ — диапазоне используют, как правило, диэлектрик с малыми потерями и m » 1. Для расчета основных характеристик плоских ЭМВ в этом случае используются следующие выражения:

то есть плотность токов проводимости значительно превышает плотность токов смещения и поляризационных токов.

Как следствие на низких частотах неидеальные диэлектрики и полупроводники становятся металлоподобными (сухая почва при частоте f=1МГц ведет себя как хорошо проводящая среда). Но даже на самых высоких частотах радиодиапазона неравенство (2.5) выполняется для металлов с большим запасом.

В хорошо проводящей среде можно приближенно считать:

Используя выражение, перейдем к a и b:

Обе величины сильно зависят от w, дисперсия ярко выражена:

Величина означает, что в проводнике вектор Н сдвинут по фазе относительно вектора Е на 45°.

Если a ¹ 0, то амплитуда плоской ЭМВ изменяется вдоль координаты распространения Z по закону .

Расстояние, на котором амплитуда уменьшается в е раз, называют глубиной проникновения или толщиной поверхностного слоя (d):

На СВЧ диапазоне глубина проникновения очень мала. Для меди на 10ГГц d = 0,6 мкм, это позволяет использовать тонкие (10-20 мкм) слои хороших проводников для уменьшения потерь.

Частотная дисперсия характерна также для плазмы (ионизированный газ), для нее:

Где n– частота столкновений электронов с нейтральными молекулами,

wпл – собственная (плазменная) частота, при которой при n = 0, eа = 0.

где Ne – электронная концентрация.

Если потери отсутствуют, то фазовая скорость выражается:

Скорость переноса информации (скорость перемещения в пространстве энергии, или медленной огибающей, или группы волн):

Эта формула справедлива для узкополосных сигналов (можно применять для радиоимпульсов и т.д.). Такая частотная зависимость приводит к расплыванию (увеличению длительности) импульсов.

Рассмотрим поляризацию волн. Полагаем, что вектор Е имеет две составляющие, и . Найдем положение кривой, которая служит геометрическим местом концов вектора Е суммарного процесса. Перепишем составляющие в виде: , . Возводим их в квадрат и складываем:

Это уравнение эллипса, а про волну говорят, что это эллиптически поляризованная волна (см. рисунок 2.1).

Рисунок 2.1 – Эллиптически поляризованная волна

В этом случае вектор Е вращается против часовой стрелки, если смотреть с конца izлево поляризованная волна.

– Равна нулю одна из составляющих или сдвиг фаз между ними равен нулю. Тогда конец вектора Е перемещается вдоль линии произвольно, в общем случае, ориентированной относительно системы координат. Волна – линейно поляризованная.

Читайте также:  Как идет ток в цепи с транзистором

– Равны амплитуды Еm1 = Еm2, а сдвиг фаз — 90°. Тогда кривая окружность, волну называют волной с круговой поляризацией.

Легко заметить, что суперпозиция двух волн с линейными поляризациями, сдвинутых по фазе и пространственно на 90°, дают эллиптически поляризованную волну, две волны с круговыми поляризациями и противоположными направлениями вращения, в результате суперпозиции дают волну линейно поляризованную.

Лекция №3. Падение плоских электромагнитных волн на границу раздела двух сред

Граничные условия – соотношения, показывающие связь между значениями векторов ЭМП в разных средах, у поверхности раздела называют граничными условиями.

Полная система граничных условий состоит из четырех формул:

Формула (3.1) показывает, что нормальная компонента вектора D претерпевает скачек на величину поверхностного заряда . На самом деле поверхностных зарядов не бывает, толщина слоя конечна и D меняется постепенно. Но математическая модель удобнее.

Если свободные заряды на границе раздела сред отсутствуют , то для вектора Е:

Нормальная компонента вектора Е претерпевает разрыв.

Формула (3.2) показывает, что тангенсальная составляющая вектора Е, непрерывна при переходе через границу раздела двух сред.

Для вектора B нормальные составляющие непрерывны (3.3), а тангенсальные составляющие вектора Н претерпевает скачек на величину плотность поверхностного тока (3.4), направленного ортогонально вектору (или его составляющей).

На поверхности раздела с идеальным проводником , внутри которого поле отсутствует, согласно уравнению Максвелла будут справедливы следующие граничные условия:

Рассмотрим падение плоских электромагнитных волн на границу раздела двух сред. Границу раздела будем полагать бесконечно протяженной. Плоскость, проходящая через нормаль к границе раздела параллельно направлению распространения, называют плоскостью падения.

Если вектор Е перпендикулярен этой плоскости, то волна – нормально поляризованная, если параллелен, волна – параллельно поляризованная.

Любую другую ориентацию вектора Е следует рассматривать как суперпозицию .

Падение волны с нормальной поляризацией на границу раздела двух сред изображено на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 – Падение волны с нормальной поляризацией на границу раздела двух сред

Амплитуды напряженностей электрического и магнитного поля падающей, отраженной и преломленной волны определяются выражениями:

Падающая волна под углом j частично (или полностью) отражается от границы раздела сред под углом j” и частично (или полностью) проходит во вторую среду под углом θ. Амплитуды напряженности электрического поля отраженной и преломленной волны обозначены в этих выражениях как некоторые величины А и В соответственно. Можно считать, что ориентация векторов относительно направления распространения не меняется.

Волновое сопротивление первой среды:

Волновое сопротивление второй среды:

Из граничных условий следует равенство тангенсальных составляющих: . Граничные условия должны выполняться при любых z. Это возможно только, если зависимость от z для всех трех векторов напряженности электрического поля одинаковы. Отсюда вытекают два закона:

– угол падения равен углу отражения

где n — показатель преломления среды

Из закона сохранения энергии определим постоянные А и В на границе раздела (А и В амплитуды отражённой и преломлённой волн соответственно):

где R — коэффициент отражения, T — коэффициент преломления (коэффициенты Френеля).

В случае нормальной поляризации:

Модуль R характеризует соотношение между амплитудами падающей и отражённой волны, а аргумент — сдвиг фаз между этими полями:

Вывод при параллельной поляризации аналогичен, получаем:

При нормальном падении ЭМВ, когда j = 0, плоскость падения становится неопределённой и различие поляризаций пропадает:

Знак ’’минус’’ за счёт того, чтоR^ и T^ коэффициенты по электрическому полю, Rêê и Têê по магнитному.

Для обычных диэлектриков существует угол падения, при котором падающая волна целиком проходит во вторую среду называемый – Угол Брюстера.Это возможно в следующих случаях:

необходимо, чтобы R^ и Rêê равнялись 0 для любого угла падения j, что для реального диэлектрика означает , т.е. электромагнитные свойства вещества неотличимы от свойств вакуума, если он – первая среда, или (m/e = 1): ZС2 = ZС1;

для параллельной поляризации, когда :

для нормальной поляризации, когда :

От границы раздела обычных диэлектриков волна с нормальной поляризацией отражается всегда.

Волна с эллиптической поляризацией отражается от границы всегда.

Отметим условия, при которых вещество полностью отражает падающие на него электромагнитные волны:

если при конечном значении m, то коэффициенты отражения стремятся к предельным значениям: Rêê = — 1; R^ = 1. К этому предельному случаю очень близко подходят металлы, у них e имеет большую мнимую часть. Металлы почти идеальные зеркала для электромагнитных волн.

Читайте также:  Синхронные машины переменного тока устройство принцип действия

вещества, у которых при конечной значение e, величина магнитной проницаемости m была бы весьма велика, то для них: Rêê=1; R^= -1. Например,÷Rç стремится к 1 для критической плазмы (e £ 0);

в случае, когда волна распространяется из оптически плотной среды в менее плотную оптическую среду (n2

| следующая лекция ==>
Лекция №1. Общие положения теории электромагнитного поля. Основные законы электродинамики | Лекция №5. Прямоугольный металлический волновод

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник



46. Ток смещения. Плотность тока смещеня.

Согласно Максвеллу, если всякое пере­менное магнитное поле возбуждает в окру­жающем пространстве вихревое электри­ческое поле, то должно существовать и об­ратное явление: всякое изменение элек­трического поля должно вызывать появле­ние в окружающем пространстве вихрево­го магнитного поля. Для установления количественных соотношений между изме­няющимся электрическим полем и вызыва­емым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток сме­щения.

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор (рис. 196). Между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденсатора имеется переменное электрическое поле, поэтому, согласно Максвеллу, через конденсатор

«протекают» токи смещения, причем в тех участках, где отсутствуют проводники.

Найдем количественную связь между изменяющимся электрическим и вызывае­мым им магнитным полями. По Максвел­лу, переменное электрическое поле в кон­денсаторе в каждый момент времени со­здает такое магнитное поле, как если бы между обкладками конденсатора су­ществовал ток проводимости, равный току в подводящих проводах. Тогда можно утвер­ждать, что токи проводимости (I) и сме­щения (Iсм) равны: Iсм=I. Ток проводи­мости вблизи обкладок конденсатора

(поверхностная плотность заряда  на обкладках равна электрическому смещению D в конденсаторе (см. (92.1)). Подынтег­ральное выражение в (138.1) можно рас­сматривать как частный случай скалярного произведения (дD/дt)dS, когда дD/дt и dS взаимно параллельны. Поэтому для обще­го случая можно записать

Сравнивая это выражение с I=Iсм = (см. (96.2)), имеем

Выражение (138.2) и было названо Мак­свеллом плотностью тока смещения.

Рассмотрим, каково же направление векторов плотностей токов проводимости и смещения j и jсм. При зарядке конденса­тора (рис. 197, а) через проводник, соеди­няющий обкладки, ток течет от правой обкладки к левой; поле в конденсаторе усиливается, вектор D растет со временем;

следовательно, дD/дt>0, т.е. вектор дD/дt

направлен в ту же сторону, что и D. Из рисунка видно, что направления векторов

дD/дt и j совпадают. При разрядке конденсатора (рис. 197, б) через проводник, сое­диняющий обкладки, ток течет от левой обкладки к правой; поле в конденсаторе ослабляется, вектор D убывает со временем; следовательно, дD/дt 32 / 35 32 33 34 35 > Следующая > >>

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Источник

§25. Ток смещения и система уравнений Максвелла

Мы установили, что изменяющееся магнитное поле порождает изменяющееся электрическое поле, которое в свою очередь порождает изменяющееся магнитное поле и т. д. В результате образуются сцепленные между собой электрическое и магнитное поля, составляющие электромагнитную волну. Она “отрывается” от зарядов и токов, которые ее породи­ли. Способ существования электромагнитной волны делает невозможным ее неподвижность в пространстве и постоянство напряженности во времени.

Постоянный ток не протекает в цепи с конденсатором, а в случае переменного напряжения в цепи ток протекает через конденсатор. Для постоянного тока конденсатор – разрыв в цепи, а для переменного этого разрыва нет. Поэтому необходимо заключить, что между обкладками конденсатора происходит некоторый процесс, который как бы замыкает ток проводимости. Этот процесс между обкладками конденсатора был назван током смещения. Напряженность поля между обкладками конденсатора . Из граничного условия для вектора следует, что диэлектрическое смещение между обкладками , а сила тока в цепи равна . Тогда

, (25.1)

А значит процессом, замыкающим ток проводимости в цепи, является изменение электрического смещения во времени. Плотность тока

. (25.2)

Существование тока смещения было постулировано Максвеллом в 1864 г. и затем экспериментально подтверждено другими учеными.

Почему скорость изменения вектора смещения называется плотностью тока? Само по себе математическое равенство величины , характеризующей процесс между обкладками конденсатора, т. е. равенство двух величин, относящихся к разным областям пространства и имеющим различную физическую природу, не содержит в себе, вообще говоря, какого-то физического закона. Поэтому называть ”током” можно только формально. Для того чтобы придать этому названию физический смысл, необходимо доказать, что обладает наиболее характерными свойствами тока, хотя и не представляет движения электрических зарядов, подобного току проводимости. Главным свойством тока проводимости является его способность порождать магнитное поле. Поэтому решающим является вопрос о том, порождает ли ток смещения магнитное поле так же, как его порождают ток проводимости, или, более точно, порождает ли величина (25.2) такое же магнитное поле, как равная ей объемная плотность тока проводимости? Максвелл дал утвердительный ответ на этот вопрос. Однако наиболее ярким подтверждением порождения магнитного поля током смещения является существование электромагнитных волн. Если бы ток смещения не создавал магнитного поля, то не могли бы существовать электромагнитные волны.

Читайте также:  Почему начало пробивать током

Уравнение Максвелла с током смещения.

Порождение магнитного поля токами проводимости описывается уравнением

(25.3)

Учитывая порождение поля током смещения, необходимо обобщить это уравнение в виде

(25.4)

Тогда, принимая во внимание (25.2), окончательно получаем уравнение

, (25.5)

Являющееся одним из уравнений Максвелла.

Система уравнений Максвелла.

Полученная в результате обобщения экспериментальных данных, эта система имеет вид:

, (25.6)

Эти уравнения называются полевыми и справедливы при описании всех макроскопических электромагнитных явлений. Учет свойств среды достигается уравнениями

, (25.7)

Называемыми обычно Материальными уравнениями среды. Среды линейны, если и нелинейны если . Материальные уравнения, как правило, имеют вид функционалов.

Рассмотрим физический смысл уравнений.

Уравнение I выражает закон, по которому магнитное поле порождается токами проводимости и смещения, являющимися двумя возможными источниками магнитного поля. Уравнение II выражает закон электромагнитной индукции и указывает на изменяющееся магнитное поле как на один из возможных источников, порождающих электрическое поле. Вторым источником электрического поля являются электрические заряды (уравнение IV). Уравнение III говорит о том, что в природе нет магнитных зарядов.

Полнота и совместность системы. Единственность решения.

В случае линейной среды можно исключить из полевых уравнений (25.6) величины в результате чего они становятся уравнениями относительно векторов и , т. е. относительно шести неизвестных (у каждого вектора по 3 проекции). С другой стороны число скалярных уравнений в (25.6) равно восьми. Получается, что система состоит из 8 уравнений для 6 неизвестных. Однако в действительности система не переполнена. Это обусловлено тем, что уравнения I и IV, а также II и III имеют одинаковые дифференциальные следствия и поэтому связаны между собой.

Чтобы в этом убедиться возьмем от уравнения II и производную по времени от уравнения III. Получим:

,

Т. е. получили одинаковые дифференциальные следствия. Аналогично возьмем от уравнения I:

.

С из уравнения непрерывности следует, что . Тогда

или . Из IV следует, что

Наличие двух дифференциальных связей и делает систему уравнений Максвелла совместной. Более подробный анализ показывает, что система является полной, а ее решение однозначно при заданных начальных и граничных условиях.

Доказательство единственности решения в общих чертах сводится к следующему. Если имеется два различных решения, то их разность вследствие линейности системы тоже является решением, но при нулевых зарядах и токах и нулевых начальных и граничных условиях. Отсюда, пользуясь выражением для энергии электромагнитного поля и законом сохранения энергии заключаем, что разность решений тождественно равна нулю, т. е. решения одинаковы. Тем самым единственность решения уравнений Максвелла доказана.

Источник

Волновые процессы. Электромагнитные волны

date image2018-02-14
views image2542

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Объемная плотность энергии электромагнитного поля:

Плотность потока электромагнитной энергии, равная среднему значению модуля вектора Пойнтинга:

227. Плоская электромагнитная волна с частотой 300 МГц распространяется в среде с диэлектрической проницаемостью 3 и удельной проводимостью 0,1 (Ом∙м) –1 . Найдите отношение амплитуды плотности тока проводимости к амплитуде плотности тока смещения в этой волне.

Амплитуда плотности тока проводимости:

амплитуда плотности тока смещения:

228. В некотором немагнитном веществе распространяется электромагнитная волна, амплитуда напряженности магнитного поля которой составляет 10,6 мА/м, а амплитуда напряженности электрического поля равна 2 В/м. Найдите диэлектрическую проницаемость этого вещества.

В электромагнитной волне

232. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна с интенсивностью (средним значением вектора Пойнтинга), равной 0,2 мВ/м 2 . Найдите амплитуду напряженности магнитного поля в волне.

Среднее значение модуля вектора Пойнтинга равно

233. Точечный источник излучает свет равномерно по всем направлениям. Найдите амплитуду напряженности электрического поля в волне на расстоянии 15 м от источника, если его полезная мощность равна 240 Вт.

Среднее значение модуля вектора Пойнтинга равно

Амплитуда напряженности электрического поля в сферической волне убывает пропорционально расстоянию от источника:

Источник