Меню

Найти ток в контуре как функцию времени

Практикум 2-06. Колебательный контур. Характеристики электромагнитных колебаний

Практикум 2-06. Колебательный контур. Характеристики электромагнитных колебаний.

Гармонические электрические колебания в LC контуре – это колебания, при которых изменение состояния системы происходит по закону синуса или косинуса

Частота колебаний

— индуктивность катушки, — число витков на единицу длины; электроемкость конденсатора определяется

где — площадь обкладок, — расстояние между обкладками конденсатора.

Колебательный контур

Определим параметры и , тогда (7) принимает вид

Логарифмический декремент затухания колебательного контура есть

Добротность системы характеризует темп релаксации (затухания) в колебательном контуре и определяется как произведение на отношение энергии, запасенной системой в момент времени к убыли этой энергии на период колебания, (14)

Пример 6.1. Конденсатор электроемкостью пФ соединен параллельно с катушкой длиной м и площадью сечения провода см2. Катушка содержит витков. Сердечник катушки немагнитный. Определить период колебаний.

Период колебаний заряда (тока) в LC-контуре определяется формулой Томсона , где, согласно (5), индуктивность катушки равна Гн. Подставим численные значения величин в формулу Томсона, получим с.

Ответ: мкс.

Пример 6.2. Ток в колебательном контуре зависит от времени как , где мА, с-1. Электроемкость конденсатора равна мкФ. Найти индуктивность контура и напряжение на конденсаторе в момент времени .

Используем второе правило Кирхгофа для LC-контура и запишем , где ЭДС самоиндукции равна , таким образом . Индуктивность катушки найдем из (4): . Подставляем численные значения величин, получаем Гн, при разность потенциалов на обкладках конденсатора равна В.

Ответ: Гн, В.

Пример 6.3. В контуре левый конденсатор заряжен до напряжения В. В момент t = 0 замыкают ключ. Написать зависимость напряжения на конденсаторах от времени. Электроемкости конденсаторов равны 0.047 мкФ, индуктивность катушки 1 мГн.

В начальный момент времени левый конденсатор заряжен до напряжения , тогда электрический заряд в контуре равен . При замыкании заряд начнет перетекать из левого конденсатора в правый, этот процесс описывается уравнением, согласно правилу Кирхгофа, , где , и , знак «-» для правого конденсатора направление обхода противоположно направлению электрического поля в конденсаторе. Учитывая, что и , а , получаем следующее уравнение

, , где и . Решением этого уравнения является гармоническая функция , амплитуду и начальную фазу определим из начальных условий: и . Из последней записи следует что , тогда . Окончательно, заряд и напряжение на левом конденсаторе изменяется как и . Аналогично, заряд и напряжение на правом конденсаторе изменяется как и .

Ответ: 1) с-1; 2) .

Пример 6.4. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью мкГн и конденсатора электроемкостью нФ. Величина емкости может отклоняться от указанного значения на 2%. Вычислить в каких пределах может изменяться длина волны, на которой резонирует контур.

Со школьной скамьи известна связь частоты колебаний с длиной волны:

Циклическая частота колебательного контура равна . Величина емкости конденсатора известна с ошибкой , т. е. . Таким образом, длина волны лежит в диапазоне от до , где

. Тогда . Итак, м и м

Ответ: м и м

Пример 6.5. Ток в колебательном контуре зависит от времени как , где мА, с-1. Индуктивность контура равна Гн. Найти электроемкость конденсатора и максимальные энергии магнитного и электрического поля.

Используем второе правило Кирхгофа для LC-контура и запишем , где ЭДС самоиндукции равна , таким образом . Период колебаний найдем из (4): , электроемкость конденсатора также найдем из (4): , а максимальные значения магнитного поля: и электрического поля: . Подставляем численные значения величин, получаем мс, мкФ, мДж.

Ответ: мс, мкФ, мДж.

Пример 6.6. Колебательный контур имеет емкость нФ и катушку длиной м из медной проволоки диаметром мм. Найти логарифмический декремент затухания.

По умолчанию считается, что намотка катушки произведена плотно виток к витку в один слой.

Расчет логарифмического декремента затухания выполним по (13): , где — омическое сопротивление контура (катушки), — длина провода, — радиус поперечного сечения катушки, — площадь поперечного сечения медного провода, мкОм·м – удельное сопротивление меди, тогда .

Число витков плотной намотки рано , а . Индуктивность катушки равна и . Итак, логарифмический декремент затухания равен . Подставляем численные значения величин, получаем .

Аудиторная работа 6.

А6.1. Катушка индуктивностью мГн и воздушный конденсатор, состоящий из двух круглых пластин диаметром см каждая, соединены параллельно. Расстояние между пластинами равно см. Определить период колебаний заряда в контуре.

А6.2. Катушка индуктивностью мГн и конденсатор электроемкостью пФ. Каково максимальное напряжение на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока мА?

А6.3. В колебательном контуре индуктивность катушки равна 2.5 мГн, а электроемкости конденсаторов и мкФ. Конденсаторы зарядили до напряжения 180 В и замкнули ключ К. Определить: 1) частоту собственных колебаний; 2) амплитудное значение тока через катушку (0.7 мс; 8.05 А).

А6.4. На какую длину волны будет резонировать контур, состоящий из катушки индуктивностью мкГн и конденсатора электроемкостью нФ ( м).

А6.5. В LC-контуре и при . Через какую долю периода, считая от начального момента , энергия впервые распределиться поровну между катушкой и конденсатором? Каким в этот момент будет заряд конденсатора? ( , )

А6.6. Катушка индуктивностью 5.07 мГн и воздушный конденсатор электроемкостью мкФ, соединены параллельно. При каком логарифмическом декременте затухания разность потенциалов на обкладках конденсатора за 1 миллисекунду уменьшится в три раза? ( ).

Задание на дом: [1]: 26.21, 26.18, 26.22;

В6.4. Колебательный контур состоит из конденсатора, электроемкостью мкФ, катушки индуктивности мГн с пренебрежимо малым сопротивлением и ключа. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили до напряжения В и затем в момент времени замкнули ключ. Найти: 1) ток в контуре как функцию времени; ЭДС самоиндукции в катушке в моменты, когда электрическая энергия конденсатора равна энергии тока в катушке.

В6.5. Найти отношение энергии магнитного поля колебательного контура к энергии его электрического поля для момента времени ( ).

В6.6. Колебательный контур состоит из конденсатора, электроемкостью нФ, катушки индуктивности мГн. Логарифмический декремент затухания равен За какое время вследствие затухания потеряется 99% энергии? (6.8 мс).

1. Г., А. Задачник по физике. Изд. 5-е. М. Высшая школа, 1988.

Источник



Определение постоянной времени. Переходные процессы в R-L-C-цепи.

Переходные процессы в цепи с одним накопителем
энергии и произвольным числом резисторов

Как отмечалось в предыдущей лекции, линейная цепь охвачена единым переходным процессом. Поэтому в рассматриваемых цепях с одним накопителем энергии (катушкой индуктивности или конденсатором) – цепях первого порядка – постоянная времени будет одной и той же для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение.

Общий подход к расчету переходных процессов в таких цепях основан на применении теоремы об активном двухполюснике: ветвь, содержащую накопитель, выделяют из цепи, а оставшуюся часть схемы рассматривают как активный двухполюсник А (эквивалентный генератор) (см. рис.1, а) со схемой замещения на рис. 1,б.

Совершенно очевидно, что постоянная времени здесь для цепей с индуктивным элементом определяется, как:

и с емкостным, как:

где — входное сопротивление цепи по отношению к зажимам 1-2 подключения ветви, содержащей накопитель энергии.

Например, для напряжения на конденсаторе в цепи на рис. 2 можно записать

где в соответствии с вышесказанным

Переходные процессы при подключении последовательной
R-L-C-цепи к источнику напряжения

Рассмотрим два случая:

Согласно изложенной в предыдущей лекции методике расчета переходных процессов классическим методом для напряжения на конденсаторе в цепи на рис. 3 можно записать

. (1)

Тогда для первого случая принужденная составляющая этого напряжения

. (2)

Характеристическое уравнение цепи

решая которое, получаем

В зависимости от соотношения параметров цепи возможны три типа корней и соответственно три варианта выражения для свободной составляющей:

1. или , где — критическое сопротивление контура, меньше которого свободный процесс носит колебательный характер.

В этом случае

. (3)

2. — предельный случай апериодического режима.

В этом случае и

. (4)

3. — периодический (колебательный) характер переходного процесса.

В этом случае и

, (5)

где — коэффициент затухания; — угловая частота собственных колебаний; — период собственных колебаний.

Для апериодического характера переходного процесса после подстановки (2) и (3) в соотношение (1) можно записать

Для нахождения постоянных интегрирования, учитывая, что в общем случае и в соответствии с первым законом коммутации , запишем для t=0 два уравнения:

решая которые, получим

Тогда ток в цепи

и напряжение на катушке индуктивности

На рис. 4 представлены качественные кривые , и , соответствующие апериодическому переходному процессу при .

Читайте также:  Аккумуляторные батареи как источник постоянного тока

Для критического режима на основании (2) и (4) можно записать

Для колебательного переходного процесса в соответствии с (2) и (5) имеем

Для нахождения постоянных интегрирования запишем

На рис. 5представлены качественные кривые и , соответствующие колебательному переходному процессу при .

При подключении R-L-C-цепи к источнику синусоидального напряжения для нахождения принужденных составляющих тока в цепи и напряжения на конденсаторе следует воспользоваться символическим методом расчета, в соответствии с которым

Здесь также возможны три режима:

1. ; 2. 3.

Наибольший интерес представляет третий режим, связанный с появлением во время переходного процесса собственных колебаний с частотой . При этом возможны, в зависимости от соотношения частот собственных колебаний и напряжения источника, три характерные варианта: 1 — ; 2 — ; 3 — , — которые представлены на рис. 6,а…6,в соответственно.

Литература

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

  1. Как можно определить постоянную времени в цепи с одним накопителем энергии по осциллограмме тока или напряжения в какой-либо ветви?
  2. Определить, какой процесс: заряд или разряд конденсатора в цепи на рис. 2 – будет происходить быстрее?

  • Влияет ли на постоянную времени цепи тип питающего устройства: источник напряжения или источник тока?
  • В цепи на рис. 2 , С=10 мкФ. Чему должна быть равна индуктивность L катушки, устанавливаемой на место конденсатора, чтобы постоянная времени не изменилась?

  • Как влияет на характер переходного процесса в R-L-C-контуре величина сопротивления R и почему?
  • Определить ток через катушку индуктивности в цепи на рис. 7, если ; ; ; ; .

    Определить ток в ветви с конденсатором в цепи на рис. 8, если ; ; ; .

    Источник

    Электромагнитные колебания

    Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

    Темы кодификатора ЕГЭ: свободные электромагнитные колебания, колебательный контур, вынужденные электромагнитные колебания, резонанс, гармонические электромагнитные колебания.

    Электромагнитные колебания — это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи. Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный контур.

    Колебательный контур

    Колебательный контур — это замкнутый контур, образованный последовательно соединёнными конденсатором и катушкой.

    Зарядим конденсатор, подключим к нему катушку и замкнём цепь. Начнут происходить свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда на конденсаторе и тока в катушке. Свободными, напомним, эти колебания называются потому, что они совершаются без какого-либо внешнего воздействия — только за счёт энергии, запасённой в контуре.

    Период колебаний в контуре обозначим, как всегда, через . Сопротивление катушки будем считать равным нулю.

    Рассмотрим подробно все важные стадии процесса колебаний. Для большей наглядности будем проводить аналогию с колебаниями горизонтального пружинного маятника.

    Начальный момент: . Заряд конденсатора равен , ток через катушку отсутствует (рис. 1 ). Конденсатор сейчас начнёт разряжаться.

    Несмотря на то, что сопротивление катушки равно нулю, ток не возрастёт мгновенно. Как только ток начнёт увеличиваться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая возрастанию тока.

    Аналогия. Маятник оттянут вправо на величину и в начальный момент отпущен. Начальная скорость маятника равна нулю.

    Первая четверть периода : . Конденсатор разряжается, его заряд в данный момент равен . Ток через катушку нарастает (рис. 2 ).

    Увеличение тока происходит постепенно: вихревое электрическое поле катушки препятствует нарастанию тока и направлено против тока.

    Аналогия . Маятник движется влево к положению равновесия; скорость маятника постепенно увеличивается. Деформация пружины (она же — координата маятника) уменьшается.

    Конец первой четверти : . Конденсатор полностью разрядился. Сила тока достигла максимального значения (рис. 3 ). Сейчас начнётся перезарядка конденсатора.

    Напряжение на катушке равно нулю, но ток не исчезнет мгновенно. Как только ток начнёт уменьшаться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока.

    Аналогия. Маятник проходит положение равновесия. Его скорость достигает максимального значения . Деформация пружины равна нулю.

    Вторая четверть: . Конденсатор перезаряжается — на его обкладках появляется заряд противоположного знака по сравнению с тем, что был вначале (рис. 4 ).

    Сила тока убывает постепенно: вихревое электрическое поле катушки, поддерживая убывающий ток, сонаправлено с током.

    Аналогия. Маятник продолжает двигаться влево — от положения равновесия к правой крайней точке. Скорость его постепенно убывает, деформация пружины увеличивается.

    Конец второй четверти . Конденсатор полностью перезарядился, его заряд опять равен (но полярность другая). Сила тока равна нулю (рис. 5 ). Сейчас начнётся обратная перезарядка конденсатора.

    Аналогия. Маятник достиг крайней правой точки. Скорость маятника равна нулю. Деформация пружины максимальна и равна .

    Третья четверть: . Началась вторая половина периода колебаний; процессы пошли в обратном направлении. Конденсатор разряжается (рис. 6 ).

    Аналогия. Маятник двигается обратно: от правой крайней точки к положению равновесия.

    Конец третьей четверти: . Конденсатор полностью разрядился. Ток максимален и снова равен , но на сей раз имеет другое направление (рис. 7 ).

    Аналогия. Маятник снова проходит положение равновесия с максимальной скоростью , но на сей раз в обратном направлении.

    Четвёртая четверть: . Ток убывает, конденсатор заряжается (рис. 8 ).

    Аналогия. Маятник продолжает двигаться вправо — от положения равновесия к крайней левой точке.

    Конец четвёртой четверти и всего периода: . Обратная перезарядка конденсатора завершена, ток равен нулю (рис. 9 ).

    Данный момент идентичен моменту , а данный рисунок — рисунку 1 . Совершилось одно полное колебание. Сейчас начнётся следующее колебание, в течение которого процессы будут происходить точно так же, как описано выше.

    Аналогия. Маятник вернулся в исходное положение.

    Рассмотренные электромагнитные колебания являются незатухающими — они будут продолжаться бесконечно долго. Ведь мы предположили, что сопротивление катушки равно нулю!

    Точно так же будут незатухающими колебания пружинного маятника при отсутствии трения.

    В реальности катушка обладает некоторым сопротивлением. Поэтому колебания в реальном колебательном контуре будут затухающими. Так, спустя одно полное колебание заряд на конденсаторе окажется меньше исходного значения. Со временем колебания и вовсе исчезнут: вся энергия, запасённая изначально в контуре, выделится в виде тепла на сопротивлении катушки и соединительных проводов.

    Точно так же будут затухающими колебания реального пружинного маятника: вся энергия маятника постепенно превратится в тепло из-за неизбежного наличия трения.

    Энергетические превращения в колебательном контуре

    Продолжаем рассматривать незатухающие колебания в контуре, считая сопротивление катушки нулевым. Конденсатор имеет ёмкость , индуктивность катушки равна .

    Поскольку тепловых потерь нет, энергия из контура не уходит: она постоянно перераспределяется между конденсатором и катушкой.

    Возьмём момент времени, когда заряд конденсатора максимален и равен , а ток отсутствует. Энергия магнитного поля катушки в этот момент равна нулю. Вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе:

    Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен , а конденсатор разряжен. Энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия контура запасена в катушке:

    В произвольный момент времени, когда заряд конденсатора равен и через катушку течёт ток , энергия контура равна:

    Соотношение (1) применяется при решении многих задач.

    Электромеханические аналогии

    В предыдущем листке про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и массой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими и механическими величинами.

    Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (1) :

    Здесь, как вы уже поняли, — жёсткость пружины, — масса маятника, и — текущие значения координаты и скорости маятника, и — их наибольшие значения.

    Сопоставляя друг с другом равенства (1) и (2) , мы видим следующие соответствия:

    Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.

    В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен:

    B соответствии с аналогиями (5) и (6) заменяем здесь массу на индуктивность , а жёсткость на обратную ёмкость . Получим:

    Электромеханические аналогии не подводят: формула (7) даёт верное выражение для периода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона. Мы вскоре приведём её более строгий вывод.

    Гармонический закон колебаний в контуре

    Напомним, что колебания называются гармоническими, если колеблющаяся величина меняется со временем по закону синуса или косинуса. Если вы успели забыть эти вещи, обязательно повторите листок «Механические колебания».

    Колебания заряда на конденсаторе и силы тока в контуре оказываются гармоническими. Мы сейчас это докажем. Но прежде нам надо установить правила выбора знака для заряда конденсатора и для силы тока — ведь при колебаниях эти величины будут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

    Сначала мы выбираем положительное направление обхода контура. Выбор роли не играет; пусть это будет направление против часовой стрелки (рис. 10 ).

    Рис. 10. Положительное направление обхода

    Сила тока считается положительной 0)’ alt='(I > 0)’/> , если ток течёт в положительном направлении. В противном случае сила тока будет отрицательной .

    Заряд конденсатора — это заряд той его пластины, на которую течёт положительный ток (т. е. той пластины, на которую указывает стрелка направления обхода). В данном случае — заряд левой пластины конденсатора.

    При таком выборе знаков тока и заряда справедливо соотношение: (при ином выборе знаков могло случиться ). Действительно, знаки обеих частей совпадают: если 0′ alt=’I > 0′/> , то заряд левой пластины возрастает, и потому 0′ alt=’\dot > 0′/> .

    Величины и меняются со временем, но энергия контура остаётся неизменной:

    Стало быть, производная энергии по времени обращается в нуль: . Берём производную по времени от обеих частей соотношения (8) ; не забываем, что слева дифференцируются сложные функции (Если — функция от , то по правилу дифференцирования сложной функции производная от квадрата нашей функции будет равна: ):

    Подставляя сюда и , получим:

    Но сила тока не является функцией, тождественно равной нулю; поэтому

    Перепишем это в виде:

    Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида , где . Это доказывает, что заряд конденсатора колеблется по гармоническому закону (т.е. по закону синуса или косинуса). Циклическая частота этих колебаний равна:

    Эта величина называется ещё собственной частотой контура; именно с этой частотой в контуре совершаются свободные (или, как ещё говорят, собственные колебания). Период колебаний равен:

    Мы снова пришли к формуле Томсона.

    Гармоническая зависимость заряда от времени в общем случае имеет вид:

    Циклическая частота находится по формуле (10) ; амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий.

    Мы рассмотрим ситуацию, подробно изученную в начале этого листка. Пусть при заряд конденсатора максимален и равен (как на рис. 1 ); ток в контуре отсутствует. Тогда начальная фаза , так что заряд меняется по закону косинуса с амплитудой :

    Найдём закон изменения силы тока. Для этого дифференцируем по времени соотношение (12) , опять-таки не забывая о правиле нахождения производной сложной функции:

    Мы видим, что и сила тока меняется по гармоническому закону, на сей раз — по закону синуса:

    Амплитуда силы тока равна:

    Наличие «минуса» в законе изменения тока (13) понять не сложно. Возьмём, к примеру, интервал времени (рис. 2 ).

    Ток течёт в отрицательном направлении: . Поскольку , фаза колебаний находится в первой четверти: . Синус в первой четверти положителен; стало быть, синус в (13) будет положительным на рассматриваемом интервале времени. Поэтому для обеспечения отрицательности тока действительно необходим знак «минус» в формуле (13) .

    А теперь посмотрите на рис. 8 . Ток течёт в положительном направлении. Как же работает наш «минус» в этом случае? Разберитесь-ка, в чём тут дело!

    Изобразим графики колебаний заряда и тока, т.е. графики функций (12) и (13) . Для наглядности представим эти графики в одних координатных осях (рис. 11 ).

    Рис. 11. Графики колебаний заряда и тока

    Обратите внимание: нули заряда приходятся на максимумы или минимумы тока; и наоборот, нули тока соответствуют максимумам или минимумам заряда.

    Используя формулу приведения

    запишем закон изменения тока (13) в виде:

    Сопоставляя это выражение с законом изменения заряда , мы видим, что фаза тока, равная , больше фазы заряда на величину . В таком случае говорят, что ток опережает по фазе заряд на ; или сдвиг фаз между током и зарядом равен ; или разность фаз между током и зарядом равна .

    Опережение током заряда по фазе на графически проявляется в том, что график тока сдвинут влево на относительно графика заряда. Сила тока достигает, например, своего максимума на четверть периода раньше, чем достигает максимума заряд (а четверть периода как раз и соответствует разности фаз ).

    Вынужденные электромагнитные колебания

    Как вы помните, вынужденные колебания возникают в системе под действием периодической вынуждающей силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы.

    Вынужденные электромагнитные колебания будут совершаться в контуре, поключённом к источнику синусоидального напряжения (рис. 12 ).

    Рис. 12. Вынужденные колебания

    Если напряжение источника меняется по закону:

    то в контуре происходят колебания заряда и тока с циклической частотой (и с периодом, соответственно, ). Источник переменного напряжения как бы «навязывает» контуру свою частоту колебаний, заставляя забыть о собственной частоте .

    Амплитуда вынужденных колебаний заряда и тока зависит от частоты : амплитуда тем больше,чем ближе к собственной частоте контура .При наступает резонанс — резкое возрастание амплитуды колебаний. Мы поговорим о резонансе более подробно в следующем листке, посвящённом переменному току.

    Источник

    Учебники

    Разделы физики

    Журнал «Квант»

    Лауреаты премий по физике

    Общие

    Слободянюк А.И. Физика 10/18.8

    §18. Переменный электрический ток

    18.8 Колебательный контур.

    18.8.1 Свободные колебания в контуре.

    Img Slob-10-18-262.jpg

    Рассмотренные в предыдущих разделах цепи переменного тока наводят на мысль, что пара элементов – конденсатор и катушка индуктивности образуют своеобразную колебательную систему. Сейчас мы покажем, что это действительно так, в цепи состоящей только из этих элементов (рис. 262) возможны даже свободные колебания, то есть без внешнего источника ЭДС. Поэтому цепь (или часть другой цепи), состоящая из конденсатора и катушки индуктивности называется колебательным контуром.

    Img Slob-10-18-263.jpg

    Пусть конденсатор зарядили до заряда q и затем подключили к нему катушку индуктивности. Такую процедуру легко осуществить с помощью цепи, схема которой показана на рис. 263: сначала ключ К замыкают в положении 1, при этом конденсатор заряжается до напряжения, равного ЭДС источника, после чего ключ перебрасывают в положения 2, после чего начинается разрядка конденсатора через катушку.

    Для определения зависимости заряда конденсатора от времени q(t) применим закон Ома, согласно которому напряжение на конденсаторе \(

    U_C = \frac\) равно ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке \(

    \varepsilon_ = -L \frac<\Delta I> <\Delta t>= LI’\) (здесь, «штрих» означает производную по времени). Таким образом, оказывается справедливым уравнение

    В этом уравнении содержится две неизвестных функции – зависимости от времени заряда q(t) и силы тока I(t), поэтому его решить нельзя. Однако сила тока является производной от заряда конденсатора q′(t) = I(t), поэтому производная от силы тока является второй производной от заряда

    С учетом этого соотношения, перепишем уравнение (1) в виде

    Поразительно, но это уравнение полностью совпадает с хорошо изученным нами уравнением гармонических колебаний (вторая производная от неизвестной функции пропорциональна самой этой функции с отрицательным коэффициентом пропорциональности \(x» = -\omega^2_0 x\))! Следовательно, решением этого уравнения будет гармоническая функция

    q = A \cos (\omega_0 t + \varphi)\) (4)

    с круговой частотой

    Эта формула определяет собственную частоту колебательного контура. Соответственно период колебаний заряда конденсатора (и силы тока в контуре) равен

    T = 2 \pi \sqrt\) . (6)

    Полученное выражение для периода колебаний называется формулой Дж. Томпсона.

    Как обычно, для определения произвольных параметров A, φ в общем решении (4) необходимо задать начальные условия – заряд и силу тока в начальный момент времени. В частности, для рассмотренного примера цепи рис. 263, начальные условия имеют вид: при t = 0 q = q, I = 0, поэтому зависимость заряда конденсатора от времени будет описываться функцией

    q = q_0 \cos \omega_0 t\) , (7)

    а сила тока изменяется со временем по закону

    I = — \omega_0 q_0 \sin \omega_0 t\) . (8)

    Img Slob-10-18-264.jpg

    Следует отметить, что приведенное рассмотрение колебательного контура является приближенным – любой реальный контур обладает активным сопротивлением (соединительных проводов и обмотки катушки). Поэтому в уравнении (1) следует учесть падение напряжения на этом активном сопротивлении, поэтому это уравнение приобретет вид

    который с учетом связи между зарядом и силой тока, преобразуется к форме

    Это уравнение нам также знакомо – это уравнение затухающих колебаний \(x» = -\omega^2_0 x — \beta x’\), причем коэффициент затухания, как и следовало ожидать, пропорционален активному сопротивлению цепи \(

    Процессы, происходящие в колебательном контуре, могут быть также описаны и с помощью закона сохранения энергии. Если пренебречь активным сопротивлением контура, то сумма энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки остается постоянной, что выражается уравнением

    которое также является уравнением гармонических колебаний с частотой, определяемой формулой (5). По свое форме это уравнение также совпадает уравнениями, следующими из закона сохранения энергии при механических колебаниях. Так как, уравнения, описывающие колебания электрического заряда конденсатора, аналогичны уравнениям, описывающим механические колебания, то можно провести аналогию между процессами, протекающими в колебательном контуре, и процессами в любой механической системе.

    Img Slob-10-18-265.jpg

    На рис. 265 такая аналогия проведена для колебаний математического маятника. В этом случае аналогами являются «заряд конденсатора q(t) – угол отклонения маятника φ(t)» и «сила тока I(t) = q′(t) – скорость движения маятника V(t)».

    Пользуясь этой аналогией, качественно опишем процесс колебаний заряда и электрического тока в контуре. В начальный момент времени конденсатор заряжен, сила электрического тока равна нулю, вся энергия заключена в энергии электрического поля конденсатора (что аналогично максимальному отклонения маятника от положения равновесия). Затем конденсатор начинает разряжаться, сила тока возрастает, при этом в катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая препятствует возрастанию тока; энергия конденсатора уменьшается, переходя в энергию магнитного поля катушки (аналогия – маятник движется к нижней точки с возрастанием скорости движения). Когда заряд на конденсаторе становится равным нулю, сила тока достигает максимального значения, при этом вся энергия превращается в энергию магнитного поля (маятник достиг нижней точки, скорость его максимальна). Затем магнитное поле начинает убывать, при этом ЭДС самоиндукции поддерживает ток в прежнем направлении, при этом конденсатор начинает заряжаться, причем знаки зарядов на обкладках конденсатора противоположны начальному распределению (аналог – маятник движется к противоположному начальному максимальному отклонению). Затем ток в цепи прекращается, при этом заряд конденсатора становится опять максимальным, но противоположным по знаку (маятник достиг максимального отклонения), после чего процесс повторятся в противоположном направлении.

    18.8.2 Вынужденные колебания в контуре.

    Как уже было сказано, в реальном колебательном контуре колебания будут затухающими [1] из-за неизбежного выделения теплоты на активном сопротивлении (которым мы пренебрегли). Поэтому для поддержания незатухающих колебаний в контуре необходим внешний источник энергии, иными словами нам необходимо рассмотреть вынужденные колебания. Один из возможных вариантов осуществления таких колебаний мы уже рассмотрели при изучении темы «Резонанс напряжений», где мы фактически изучили колебания в контуре, внутрь которого включен источник переменной ЭДС, который может считаться аналогом внешней вынуждающей силы.

    Чтобы явным образом показать, что явление резонанса напряжений можно рассматривать как вынужденные колебания, перепишем использованное уравнение закона Ома

    \varepsilon(t) = U_R(t) + U_C(t) + U_L(t)\) .

    Для чего подставим в него явные выражения для напряжений на элементах цепи \(

    U_L = -\varepsilon_ = LI’ = Lq»\) и ЭДС источника \(\varepsilon = U_0 \cos \omega t\):

    Lq» + \frac + Rq’ = U_0 \cos \omega t\)

    и перепишем его в виде

    q» = -\frac<1> q — \frac q’ + \frac \cos \omega t\) ,

    который полностью совпадает с уравнением вынужденных колебаний \(x» = -\omega^2_0 x — \beta x’ + f_0 \cos \omega t\).

    Img Slob-10-18-266.jpg

    Рассмотрим теперь возможность возникновения вынужденных колебаний в контуре, когда источник переменной ЭДС находится вне контура [2] , как показано на рис. 266. Расчет данной цепи проведем, используя метод векторных диаграмм (которая также представлена на рис. 266). В данном случае нас, прежде всего, будет интересовать сила тока в колебательном контуре.

    Так как конденсатор и катушка индуктивности соединены параллельно, то мгновенные напряжения (UC, UL) на этих элементах одинаковы. Обозначим это напряжение U1. Построение диаграммы следует начинать с построения вектора, изображающего колебания этого напряжения. Далее построим векторы, изображающие колебания сил токов через конденсатор IC и катушку индуктивности IL — эти векторы перпендикулярны вектору напряжения U1 и противоположны друг другу. Как обычно, колебания токов через конденсатор и через катушку индуктивности происходят в противофазе. Колебательный контур соединен последовательно с резистором, поэтому сумма токов IC и IL (конечно, их мгновенных значений) равна силе тока через резистор IR. Вектор изображающий напряжение на резисторе UR, сонаправлен с вектором суммарного тока. Наконец сумма векторов напряжения на резисторе UR и напряжения на контуре U1 равна ЭДС источника.

    Построенная векторная диаграмма позволяет рассчитать амплитудные значения токов и напряжений на элементах данной цепи. Выразим традиционным образом амплитудные значения сил токов через конденсатор и катушку через амплитуду напряжения на контуре

    Амплитуда силы тока через резистор (и через источник) определяется из векторной диаграммы и равна

    I_ = (I_ — I_) = U_ <10>\left( \omega C — \frac<1> <\omega L>\right)\) . (2)

    Теперь можно записать выражение для амплитуды напряжения на резисторе

    U_ = I_R = U_ <10>\left( \omega C — \frac<1> <\omega L>\right) R\) . (3)

    Далее, глядя на диаграмму напряжений, запишем теорему Пифагора для вектора ЭДС источника ⎟ ⎟

    U^2_0 = U^2_ + U^2_ <10>= U^2_ <10>\left( 1 + \left( \omega C — \frac<1> <\omega L>\right)^2 R^2 \right) = U^2_ <10>R^2 \left( \frac<1> + \left( \omega C — \frac<1> <\omega L>\right)^2 \right)\) , (4)

    здесь U — амплитуда ЭДС источника.

    Из этого уравнения легко определить напряжение на резисторе

    Наконец, с помощью формул (1), (2), (3), запишем выражения для сил токов в рассматриваемой цепи

    Проанализируем зависимость этих величин от частоты источника ЭДС. Во всех формулах под корнем имеется два положительных слагаемых, причем только второе зависит от частоты. При частоте

    равной собственной частоте колебательного контура второе слагаемое под корнем обращается в ноль, поэтому можно ожидать, что вблизи этой частоты силы токов через конденсатор и катушку достигают максимального значения. Понятно, что максимумы функций IL0(ω) и IC0(ω) несколько смещены от частоты ω, потому, что частота источника ω присутствует и вне корня. Однако, если первое слагаемое под корнем (\(\frac<1>\)), мало, то сдвиг максимума от значения ω = ω будет незначительным. Отметим, также, что при \(

    \omega = \omega_0 = \frac<1><\sqrt>\) амплитуды токов через конденсатор и катушку оказываются равными. Действительно, в этом случае

    Img Slob-10-18-267.jpg

    Но самое неожиданное, что при ω = ω сила тока через резистор обращается в нуль! Соответственно, напряжение на колебательном контуре становится равным ЭДС источника, что также следует и из полученных формул для токов в контуре. Схематические графики зависимостей [3] амплитуд токов от частоты источника показаны на рис.267. Понятно, что при ω → 0 и ω → ∞ сопротивление контура стремится к нуля и в этом случае сила тока через резистор стремится к своему предельному значению \(

    Таким образом, мы показали, что в рассмотренной цепи при частоте источника стремящейся к собственной частоте контура амплитуда силы тока в контуре резко возрастает, наблюдается явление резонанса, следовательно, колебательный контур можно использовать для выделения колебаний требуемой частоты. Интересно, отметить, что острота пика возрастает с ростом сопротивления резистора, находящегося вне контура.

    В заключение данного раздела, обсудим, почему при ω = ω сила тока во внешней для контура цепи обращается в нуль. Колебания токов через конденсатор IC и через катушку индуктивности происходят в противофазе IL, а в случае ω = ω амплитуды этих токов сравниваются, в результате чего формально и получается нулевое значение для суммарного тока. Фактически в этом случае электрический ток циркулирует в колебательном контуре, не выходя из него. Подчеркнем, что наш анализ проведен для установившегося режима колебаний – в переходном режиме ток через резистор (и через источник идет) обеспечивая контур энергией. Когда колебания установятся, подкачка энергии становится излишней, так как мы пренебрегли потерями энергии в контуре. Обратите внимание, что при ω = ω сила тока в контуре не зависит сопротивления внешнего резистора, а полностью определяется параметрами контура.

    Вспомните, что вынужденные колебания механических систем обладают тем же свойством – при точном резонансе и при отсутствии сил сопротивления работа внешней силы также обращается в нуль.

    Если же рассмотреть реальный контур, обладающий активным сопротивлением, то между током в контуре и напряжением на нем разность фаз будет отлична от нуля, поэтому энергия источника будет поступать в контур, компенсируя потери. В этом случае также будет отличен от нуля и ток во внешней цепи.

    Источник