Меню

Контур с током в неоднородной магнитной индукции

§ 38.КОНТУР С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Рассмотрим действие магнитного поля на замкнутый контур с током. Для характеристики плоского контура с током вводят вектор магнитного момента , где S – площадь, ограниченная контуром, а направление нормали связано правилом правого винта с направлением тока в контуре (рис.84).

Рассмотрим плоский контур в однородном магнитном поле. Сила, действующая со стороны магнитного поля на весь контур на основании закона Ампера равна: .

Так как сила тока и магнитная индукция при указанных условиях постоянны, то их можно вынести из-под знака суммы, а сумма элементарных векторов , в виде цепочки которых можно представить контур, равна нулю (рис.85).

Если результирующая сила равна нулю, то центр масс контура будет оставаться неподвижным, т. е. контур не будет двигаться поступательно, но возможно вращательное движение. Найдем вращающий момент сил, действующих на контур.

Рассмотрим простейший случай – линии вектора магнитной индукции лежат в плоскости контура. Разобьем контур на бесконечно узкие полоски шириной , параллельные линиям индукции.

Каждая полоска ограничена элементами тока, на которые со стороны магнитного поля действуют силы

и

перпендикулярные плоскости чертежа и противоположные по направлению.

, .

Величина момента этой пары сил (равные по величине и противоположные по направлению):

РИС.84 РИС.85 РИС.86

Моменты сил действующих на все пары элементов тока контура направлены в одну строну и величина момента, действующего на весь контур .

Следовательно, в этом случае при , величина вращающего момента равна .

В общем случае и .

Вращающий момент равен нулю при и . В первом случае и положение контура устойчивое.

Во втором случае и положение контура неустойчивое. На рис.86 представлено возникновение вращающего момента для прямоугольного контура с током.

Свободный контур в магнитном поле будет вращаться до устойчивого положения и, при достаточно малых размерах, может быть использован для исследования магнитного поля, а также определения вектора магнитной индукции: .

Магнитная индукция – векторная физическая величина, численно равная максимальному вращающему моменту, действующему со стороны магнитного поля на контур с единичным магнитным моментом в данной точке поля.

В устойчивом положении силы Ампера будут растягивать контур, а в неустойчивом положении эти силы будут вызывать сжатие контура (рис.87). В сильных магнитных полях возможна деформация замкнутых контуров, разрыв витков катушек.

Если контур с током не плоский, то каждый элемент контура можно представить в виде двух векторов, параллельных и перпендикулярных вектору индукции . Вращающий момент будет определяться «проекцией» контура на плоскость параллельную линиям индукции.

При повороте контура на малый угол совершается работа

, которая определяет изменение энергии контура при этом. Пусть контур жесткий (pm=const).

Введем условие нормировки. При .

— энергия жесткого контура в магнитном поле при условии, что его энергия принята нулевой в положении, когда магнитный момент контура перпендикулярен вектору магнитной индукции.

Энергия контура минимальна, если магнитный момент параллелен вектору магнитной индукции, т. е. в этом случае контур находится в устойчивом положении равновесия. В неустойчивом положении энергия контура будет максимальна.

В общем случае неоднородного поля описать поведение контура достаточно сложно. Поэтому рассмотрим случай, когда поле неоднородно, но величина магнитной индукции существенно изменяется в направлении линий магнитной индукции и практически не изменяется в перпендикулярных к ним направлениях (рис.88а).

В этом случае также возникает момент сил, ориентирующий магнитный момент в направлении вектора магнитной индукции. В отличие от однородного поля результирующая сила, действующая на контур не равна нулю, так каждую силу можно представить в виде двух слагаемых

.

Сумма сил, лежащих в плоскости контура, определяет деформацию контура, а силы, перпендикулярные плоскости контура определяют втягивание контура в область более сильного поля (рис.88б).

Для элементарного контура (малых размеров) и в случае указанного неоднородного поля сила, действующая на него, может быть определена по следующей формуле

, т. е. для жесткого контура направление силы обусловлено изменением вектора магнитной индукции вдоль направления нормали к контуру.

Источник



Контур с током в неоднородном магнитном поле

date image2014-02-02
views image9774

Читайте также:  Как можно преобразовать постоянный ток в переменный ток

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Если контур с током находится в неоднородном магнитном поле, то на него, помимо вращающего момента , действует также сила , обусловленная наличием градиента магнитного поля. Проекция этой силы на направление касательной к силовой лини поля в данной точке определяется по формуле:

Рисунок 4.10. Контур с током в неоднородном магнитном поле.

Согласно написанной формуле, сила, действующая на контур в неоднородном магнитном поле, зависит от взаимной ориентации векторов и . Если эти векторы параллельны, то сила положительна и контур будет втягиваться в область более сильного поля; если векторы и антипараллельны, то сила отрицательна и контур будет выталкиваться из поля.

Работа, совершаемая при перемещении контура с током в магнитном поле .

Рассмотрим отрезок проводника с током, способный свободно перемещаться по двум направляющим во внешнем магнитном поле. Магнитное поле будем считать однородным и направленным под углом α по отношению к нормали к плоскости перемещения проводника.

Рисунок 4.11. Отрезок проводника с током в однородном магнитном поле.

Как видно из рисунка, вектор имеет две составляющие и , из которых только составляющая создает силу, действующую в плоскости перемещения проводника. По абсолютной величине эта сила равна: ,

где I – сила тока в проводнике; l – длина проводника; B – индукция магнитного поля.

Работа этой силы на элементарном пути перемещения ds есть:

Произведение lds равно площади dS, заметанной проводником при движении, а величина BdScosα равна потоку магнитной индукции через эту площадь. Следовательно, можем написать: dA=IdФ.

Рассматривая отрезок проводника с током как часть замкнутого контура и интегрируя это соотношение, найдем работу при перемещении контура с током в магнитном поле: A=I(Ф21), где Ф1 и Ф2 обозначают поток индукции магнитного поля через площадь контура соответственно в начальном и конечном положениях.

Вопросы для самоконтроля

2) Какую форму и ориентацию имеют линии магнитной индукции поля, создаваемого током в прямолинейном проводе?

1. Детлаф, А.А. Курс физики учеб. пособие / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский.-7-е изд. Стер.-М. : ИЦ «Академия».-2008.-720 с.

2. Савельев, И.В. Курс физики: в 3т.:учеб.пособие/И.В. Савельев.-4-е изд. стер. – СПб.; М. Краснодар: Лань.-2008

Т.1: Электричество. Колебания и волны. Волновая оптика. – 480 с.

3. Трофимова, Т.И. курс физики: учеб. пособие/ Т.И. Трофимова.- 15-е изд., стер.- М.: ИЦ «Академия», 2007.-560 с.

1. Фейнман, Р.Фейнмановские лекции по физике / Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс.– М.: Мир.

Т.1. Современная наука о природе. Законы механики. – 1965. –232 с.

Т. 2. Пространство, время, движение. – 1965. – 168 с.

Т. 3. Излучение. Волны. Кванты. – 1965. – 240 с.

2. Берклеевский курс физики. Т.1,2,3. – М.: Наука, 1984

Т. 1. Китель, Ч. Механика / Ч. Китель, У. Найт, М. Рудерман. – 480 с.

Т. 2. Парселл, Э. Электричество и магнетизм / Э. Парселл. – 448 с.

Т. 3. Крауфорд, Ф. Волны / Ф. Крауфорд – 512 с.

3. Фриш, С.Э. Курс общей физики: в 3 т.: учеб. / С.Э. Фриш, А.В. Тиморева.- СПб.: М.; Краснодар: Лань.-2009.

Т. 1. Физические основы механики. Молекулярная физика. Колебания и волны: учебник — 480 с.

Т.2: Электрические и электромагнитные явления: учебник. – 518 с.

Т. 3. Оптика. Атомная физика : учебник– 656 с.

Источник

Контур с током в неоднородном магнитном поле

Рассмотрим плоский контур с током в неоднородном магнитном поле (рис. 35). Пусть (для простоты) контур имеет форму окружности. Предположим также, что магнитная индукция увеличивается в положительном направлении оси х, совпадающем с направлением вектора магнитной индукции . Сила Ампера , действующая на элемент контура , перпендикулярна к вектору (рис. 35, а). Так что силы, приложенные к различным элементам контура, образуют симметричный конический «веер» (рис. 35, б, в).

Если магнитный момент контура ориентирован по полю ( ) (рис. 35, б), то результирующая всех сил направлена в сторону увеличения густоты линий магнитной индукции, т. е. контур будет втягиваться в область более сильного поля. Втягивание будет тем сильнее, чем больше модуль градиента поля . Докажем это утверждение.

Читайте также:  Уравнительные соединения в электрических машинах постоянного тока

С учетом (2.23) элементарная работа сил поля

Для контура малых размеров, когда магнитную индукцию в точках плоскости, ограниченной контуром, можно считать одинаковой, согласно (2.21) в случае имеем выражение

после подстановки его в (2.24) получаем

что и требовалось доказать: сила пропорциональна градиенту магнитной индукции.

В случае, когда магнитный момент контура ориентирован в направлении, противоположном полю ( ) (рис. 34, в), контур будет выталкиваться в область более слабого поля.

В общем случае неоднородного поля, когда не перпендикулярен плоскости контура ( ), на контур с током будут действовать пара сил, стремящихся повернуть контур, и сила, приводящая к его поступательному движению. Величина последней будет зависеть не только от градиента поля, но и от ориентации контура в пространстве.

Когда зависит только от одной координаты, подстановка (2.21) в (2.24) дает величину силы, обусловливающей поступательное перемещение контура:

В общем случае неоднородного поля, когда есть функция всех координат, сила, действующая на контур с током, определяется выражением

Подставив выражение (2.21) в (2.26), получаем выражение для силы, действующей на малый по размерам контур с током:

Соотношение (2.27) показывает, что действие магнитного поля на контур с током зависит от магнитной индукции, от свойств контура ( ) и от его ориентации в пространстве ( ).

2.6. Работа, совершаемая при перемещении проводника с током
в магнитном поле. Магнитный поток

Рассмотрим простейшую замкнутую цепь, изображенную на рис. 36, в которой наряду с источником постоянного тока имеется прямолинейный проводник, который может свободно перемещаться в горизонтальной плоскости. Проводник находится в хорошем электрическом контакте с другими проводниками цепи. Пусть I – сила тока в цепи, магнитное поле однородно, а вектор магнитной индукции перпендикулярен к плоскости проводящего

контура. Для указанных на рисунке направлений тока и поля на подвижный проводник длиной l будет действовать сила Ампера , направленная вправо вдоль оси OX. Согласно (2.13)

Для элементарной работы силы Ампера справедливо выражение

где dx – элементарное перемещение подвижного проводника вдоль оси OX, а dS = l dx – площадь, пересекаемая проводником с током при его движении.

Полученный результат (2.28) легко обобщить на случай неоднородного поля и проводника произвольной формы. Для этого нужно разбить проводник на отдельные участки и сложить элементарные работы, совершаемые при перемещении каждого из них (рис. 37). В пределах малой площадки dS магнитную индукцию B можно считать постоянной. Найдем работу, совершаемую при произвольном бесконечно малом перемещении элемента тока вдоль оси ОХ (рис. 37). Пусть элемент тока переместился на , где – единичный вектор направления ОХ. При этом сила Ампера совершит работу:

Осуществив в (2.29) циклическую перестановку сомножителей, получим

Векторное произведение равно по модулю площади параллелограмма, построенного на векторах и :

т. е. площади, пересекаемой элементом тока при его перемещении. Направление векторного произведения по правилу правого винта совпадает с направлением нормали к площадке dS (рис. 37). Таким образом, (2.30) можно записать в виде

где – угол между вектором магнитной индукции и вектором нормали к поверхности dS; – проекция вектора магнитной индукции на направление нормали к поверхности dS.

Полученный результат (2.31) можно представить в более удобном виде, если ввести понятие потока вектора магнитной индукции (магнитного потока) аналогично тому, как вводилось понятие потока вектора напряженности в электростатике [3]. В общем случае неоднородного магнитного поля произвольную поверхность S можно разбить на бесконечно малые элементы dS (рис. 38). Каждый элемент поверхности можно рассматривать как плоскую площадку, а поле в пределах ее – как однородное. Пусть – единичный вектор нормали к площадке dS. Для потока вектора магнитной индукции через элемент поверхности dS справедливо выражение

а для потока через всю рассматриваемую поверхность –

Заметим, что поток вектора –величина алгебраическая, знак которой зависит от знака проекции , который, в свою очередь, зависит от выбора направления нормали . Принято связывать направление нормали с направлением тока в проводящем контуре правилом правого винта (подразд. 1.1).

Читайте также:  От чего не зависит величина тока короткого замыкания

Введение понятия потока позволяет переписать выражение (2.31) для элементарной работы в виде

Если контур с постоянным током совершает конечное перемещение, то

где и – потоки магнитной индукции, сцепленные с контуром в начале и в конце его перемещения соответственно.

Если контур состоит из N последовательно соединенных одинаковых витков, то вводится величина

которая называется потокосцеплением или полным потоком магнитной индукции. В этом случае выражение (2.33) для работы, совершаемой силами магнитного поля по перемещению контура с током, имеет вид

В заключение отметим, что работа силы Ампера во всех рассмотренных выше случаях совершается не за счет энергии магнитного поля, а за счет энергии источника, поддерживающего ток в контуре постоянным. Далее в курсе общей физики будет показано, что любое изменение магнитного потока, сцепленного с проводящим контуром, сопровождается возникновением в нем эдс индукции:

При этом источник совершает дополнительную работу против эдс индукции, определяемую выражением

Источник

5.7. Контур с током в магнитном поле

Пусть контур с током помещен в магнитное поле, причем он может вращаться вокруг вертикальной оси OO’ (рис. 5.30-1). Силы Ампера, действующие на стороны контура длиной l, перпендикулярны к ним и к магнитному полю и поэтому направлены вертикально: они лишь деформируют контур, стремясь растянуть его. Стороны, имеющие длину a, перпендикулярны B, так что на каждую из них действует сила F = BIa. Эти силы стремятся повернуть контур таким образом, чтобы его плоскость стала ортогональной B.

Рис. 5.30. Силы, действующие на контур с током в магнитном поле:
1 — вид сбоку; 2 — вид сверху (масштаб увеличен)

Видео 5.7. Контур с током в однородном магнитном поле.

Момент пары сил (рис. 5.30-2) равен

где — плечо пары сил, а — угол между вектором B и стороной l.

Величина, численно равная произведению силы тока I, протекающего в контуре, на площадь контура S = al называется магнитным моментом Pm плоского контура стоком

Таким образом, мы можем записать момент пары сил в виде

Магнитный момент контура с током — векторная величина. Направление Рm совпадает с положительным направлением нормали к плоскости контура, которое определяется правилом винта: если рукоятка вращается по направлению тока в контуре, то поступательное движение винта показывает направление вектора Pm . Введем в формулу (15.36) угол a между векторами Pm и B. Справедливо соотношение

то есть момент сил , действующий на виток с током в однородном магнитном поле, равен векторному произведению магнитного момента витка на вектор индукции магнитного поля (рис. 5.31). При величина момента сил максимальна

Рис. 5.31. Силы, действующие на прямоугольный контур с током в магнитном поле.
Магнитное поле вертикально, а магнитный момент перпендикулярен плоскости контура

Опять-таки прозрачна аналогия с электростатикой: говоря об электрическом диполе, мы получили выражение для момента сил, действующих на него со стороны электрического поля в виде

где — электрический дипольный момент.

В системе СИ единицей измерения магнитного момента контура является ампер на квадратный метр (А · м 2 )

Видео 5.10. «Сознательные катушки»: отталкивание и притяжение параллельных токов и поворот магнитного момента по магнитному полю.

Пример. По тонкому проводу в виде кольца радиусом 30 см течет ток 100 A. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено однородное магнитное поле с магнитной индукцией 20 мТл (рис. 5.32). Найти силу, растягивающую кольцо.

Рис. 5.32. Силы, растягивающие кольцо с током в магнитном поле

Решение. Пусть магнитное поле направлено от нас за плоскость рис. 5.32 (показано крестиками), а ток идет по часовой стрелке. Выделим элемент длины dl, видный из центра под углом На этот элемент действует сила Ампера направленная по радиусу кольца. Кроме того, из-за растяжения кольца на концы элемента действуют силы натяжения F, которые и требуется найти в задаче. Проекция этих сила на радиальное направление равна

Приравнивая эту проекцию силе Ампера, находим

Источник