Меню

Комплексное значение линейного тока

Комплексные амплитуды, комплексные действующие значения, комплексы действующих значений

Комплексные амплитуды напряжения

U ˙ m = U m e j α u

I ˙ m = I m e j α i

при анализе установившегося синусоидального режима соответствуют сигналам синусоидальной формы напряжения

u(t) = Umcos(ωt + αu)

i(t) = Imcos(ωt + αi).

Комплексные амплитуды представляют векторами на комплексной плоскости, как комплексное число (рис. 21)

A ˙ = A e j γ = A cos γ + j A sin γ = a + j b ,

где модуль (длина вектора)

A = | A ˙ | = a 2 + b 2 ,

γ = a r c t g b a ,

действительная часть комплексного числа

Re A ˙ = A cos γ = a ,

мнимая часть комплексного числа

Im A ˙ = A sin γ = b ,

j 2 = − 1, j ⋅ ( − j ) = − j 2 = − ( − 1 ) = 1, 1 j = j j 2 = j − 1 = − j .

Сопряженное комплексное число

A * = A e − j γ = A cos ( − γ ) + j A sin ( − γ ) = A cos γ − j A sin γ = a − j b ,

где положительный отсчет угла γ производят против часовой стрелки от «правого горизонта».

Комплексные амплитуды используют при обосновании метода комплексных амплитуд для расчета установившегося синусоидального режима

u ( t ) = Re U ˙ m e j ω t = Re U m e j α u e j ω t = Re U m e j ( ω t + α u ) = U m cos ( ω t + α u ) ; i ( t ) = Re I ˙ m e j ω t = Re I m e j α i e j ω t = Re I m e j ( ω t + α i ) = I m cos ( ω t + α i ) ,

где e j ω t – оператор вращения, U ˙ m e j ω t , I ˙ m e j ω t – вращающиеся векторы, поскольку их суммарная фаза γ = ωt + α равномерно увеличивается с увеличением времени t.

Комплексные действующие значения или комплексы действующих значений:

комплексное действующее напряжение или комплекс действующего напряжения

U ˙ = U e j α u = U ˙ m 2 = U m 2 e j α u ,

комплексный действующий ток или комплекс действующего тока

I ˙ = I e j α i = I ˙ m 2 = I m 2 e j α i .

Источник



Закон Ома в комплексной форме

В процессе расчетов электрических цепей переменного синусоидального тока часто бывает полезен Закон Ома в комплексной форме. Под электрической цепью здесь понимается линейная цепь в установившемся режиме работы, то есть такая цепь, в которой переходные процессы завершились и токи установились.

Падения напряжений, ЭДС источников и токи в ветвях такой цепи являются попросту тригонометрическими функциями времени. Ежели даже в установившемся режиме форма тока в цепи не является синусоидой (меандр, пила, импульсные помехи), то и Закон Ома в комплексной форме будет уже не применим.

Так или иначе, всюду в промышленности сегодня применяется система трехфазного переменного синусоидального тока. Напряжение в таких сетях имеет строго определенные частоту и действующее значение. Действующее значение «220 вольт» или «380 вольт» можно встретить в маркировках на разнообразном оборудовании, в технической документации на него. Именно по этой причине, по причине столь явной унификации, Закон Ома в комплексной форме и удобен во многих расчетах электрических цепей (где он применяется совместно с Правилами Кирхгофа).

Закон Ома в комплексной форме

Обычная форма записи Закона Ома отличается от комплексной формы его записи. В комплексной форме обозначения ЭДС, напряжений, токов, сопротивлений, — записываются как комплексные числа. Это необходимо для того, чтобы удобно учитывать и вести расчеты как с активными, так и с реактивными сопротивлениями, имеющими место в цепях переменного тока.

Не всегда можно просто взять и поделить падение напряжения на ток, иногда важно учесть характер участка цепи, и это вынуждает нас вносить в математику определенные дополнения.

Символьный метод (метод с комплексными числами) позволяет избавиться от надобности решать дифференциальные уравнения в процессе расчета электрической цепи синусоидального тока. Ибо в цепи переменного тока бывает такое, что ток например есть, а падения напряжения на участке цепи нет; или падение напряжения есть, а тока в цепи нет, в то время как цепь, казалось бы, замкнута.

В цепях постоянного тока такое просто невозможно. Вот почему для переменного тока и Закон Ома отличается. Разве что для чисто активной нагрузки в однофазной цепи он может применяться почти без отличий от расчетов с током постоянным.

Полное сопротивление

Комплексное число состоит из мнимой Im и вещественной Re части, при этом его можно представить вектором в полярных координатах. Для вектора будет характерен некий модуль и угол, на который он повернут вокруг начала координат относительно оси абсцисс. Модуль есть амплитуда, а угол — начальная фаза.

Запись данного вектора можно произвести в тригонометрической, показательной или алгебраической формах. Это и будет символьное изображение реальных физических явлений, ибо в реальности мнимых и вещественных характеристик в цепях на самом деле нет. Это лишь удобный метод решения электротехнических задач с цепями.

Комплексные числа можно делить, умножать, складывать, возводить в степень. Эти операции необходимо уметь выполнять чтобы мочь применять Закон Ома в комплексной форме.

Сопротивления в цепях переменного тока подразделяют на: активное, реактивное и полное. Кроме того следует отличать проводимость. Электроемкость и индуктивность обладают реактивными сопротивлениями переменному току. Реактивные сопротивления относятся к мнимой части, а активное сопротивление и проводимость — к части вещественной, то есть к вполне реальной.

Запись сопротивлений в символической форме несет за собой определенный физический смысл. На активном сопротивлении электроэнергия реально рассеивается в форме тепла по Закону Джоуля-Ленца, в то время как на емкости и индуктивности она преобразуется в энергию электрического и магнитного полей. И возможны преобразования энергии из одной из этих форм — в другую: из энергии магнитного поля — в тепловую или из энергии электрического поля частично в магнитную, а частично — в тепловую и т. д.

Читайте также:  Индекс сукпак салчак тока

Запись сопротивлений в символической форме

Традиционно токи, падения напряжений и ЭДС записывают в тригонометрическом виде, где учитываются как амплитуда, так и фаза, что вполне явно отражает физический смысл явления. Однако угловая частота у напряжений и токов может отличаться, поэтому практически более удобна алгебраическая форма записи.

Наличие угла между током и напряжением приводит к тому, что во время колебаний существуют такие моменты, когда ток (или падение напряжения) равен нулю, а падение напряжения (или ток) не равно нулю. Когда напряжение и ток находятся в одной фазе, то угол между ними кратен 180°, и тогда если падение напряжения равно нулю, то и ток в цепи равен нулю. Речь о мгновенных значениях.

Закон Ома в комплексной форме

Итак, понимая алгебраическую запись, можно записать теперь Закон Ома в комплексной форме. Вместо просо активного сопротивления (свойственного цепям постоянного тока) здесь будет записываться полное (комплексное) сопротивление Z, а действующие значения ЭДС, токов и напряжений — станут комплексными величинами.

Во время расчета электрической цепи с применением комплексных чисел, важно помнить, что данный метод применим только к цепям синусоидального тока и именно в установившемся режиме работы.

Источник

Приложение 1. Комплексный метод расчета электрических цепей синусоидального тока

Все графические методы расчета цепей синусоидального тока не обеспечивают точного расчета электрических цепей, кроме того, они сложны и трудоемки.

Наиболее простым и точным методом расчета электрических цепей синусоидального тока является комплексный метод, основанный на теории комплексных чисел.

Синусоидальная величина изображается вращающимся вектором на комплексной плоскости с осями ±1 и ±j, где мнимая единица, символ.

За положительное направление вращения вектора принято направление против часовой стрелки. За время, равное одному периоду, вектор совершает один оборот.

На рис.4.5 изображен вектор комплексного тока , которому соответствует комплексное число

Рис.4.5. Составляющие комплексного числа на комплексной плоскости

где I — модуль действующего значения тока, равный длине вектора;

где — действительная составляющая тока; — мнимая составляющая; yi = arctg ( ) – аргумент тока, равный начальной фазе, т. е. угол между вектором и действительной полуосью +1 при t = 0. Аргумент положительный, если вектор отложен в направлении против движения часовой стрелки, и отрицательный — если по часовой.

Комплексные значения синусоидальных величин обозначают несинусоидальных — z, S.

Над комплексными числами можно производить все алгебраические действия (при сложении и вычитании удобнее использовать алгебраическую форму, а при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня – показательную).

Алгебраическая форма записи:

Тригонометрическая форма записи:

İ = Icosyi + jsinyi .

Показательная форма записи:

İ = Ie j y i .

Переход из одной формы записи в другую осуществляется по формуле Эйлера через тригонометрическую форму записи

e ± j α =cosα±j sinα.

Например: İ = 10e j37º = 10cos37˚ + j10sin37º = 10 · 0,8 + j10 0,6 = = 8 + j6 = (8² + 6²) 1/2 e +jarctg6/8 = 10e +j37º (А).

При работе с комплексными числами используют и сопряженные комплексные величины, имеющие одинаковые модули и одинаковые по величине, но противоположные по знаку аргументы:

İ = 10e j 37º , А; I* =10ej37º , А.

Произведение İ I* = 10e j 37º 10ej 37º = 100e j 0° , À.

Приложение 2.

Таблица Основные свойства элементов цепей переменного тока

Двухполюсник Резистор (резистивное сопротивление Катушка (индуктивное реактивное сопротивление Конденсатор (емкостное реактивное сопротивление)
Обозначение
Связь между мгновенными значениями u и i i= uR/R uL = Ldi/dt i = CduC/dt
Если задано uR = maxsinωt uL = Umaxsinωt uC = Umaxsinωt
То имеем i = maxsinωt/R i = Umaxsin(ωt – – π/2)/ωL = = Imax sin(ωt – π/2) i= ωCUmaxcosωt= = Imax sin(ωt +π/2)
Действующее значение тока I = UR/R I = ULL ICUC
Сопротивление (или соответственно реактивное сопротивление) R XL = ωL XC = 1/ωC
Сдвиг фаз φ = ψU – ψi = 0 φ = ψU – ψi =+90 ͦ φ = ψU – ψi = –90 ͦ
Сдвиг по фазе
Комплексное сопротивление
Расчет комплексным методом
Зависимость сопротивления от частоты R R ω XL ωL ω XC 1/ωC ω

Приложение 3.Расчет электрических цепей комплексным методом

Задача 1.

Определить ток и напряжения на участках цепи рис.1, если известны следующие данные:

R = 8 Ом; XL =6 Ом

Рис.1. Пример к расчету цепи с последовательным включением R и XL

Решение.

Комплексное сопротивление цепи, Ом:

где = arctqXL/R = 37°

Начальная фаза тока ψi = –37°.

Напряжения участков цепи, В :

Задача 2.

Определить ток, напряжения на участках цепи и мощности электрической цепи при последовательном соединении R, L и С рис.2, если известны следующие данные:

R = 8 Ом; XL =6 Ом, ХС = 12 Ом.

Рис. 2. Последовательное соединение R, L и С.

Решение.

Определяем комплексное сопротивление цепи, Ом:

где = arctq(XLС)/R = arctq (6 12)/8 = 37°

Определяем комплексный ток, А:

Определяем комплексные напряжения на участках цепи, В:

= 3872 – j2904

Определяем комплексную полную мощность цепи, ВА:

= = = =4840cos37º – j4840sin37 º = 3872 – j2904

Активная мощность, Вт:Р = 3872

Читайте также:  Нет возбуждения генератора постоянного тока

Реактивная (емкостная) мощность, вар:

Задача 3.

Определить токи ветвей для схемы рис. 3, если известны следующие данные:

u(t) = 183sin314t; R1 = 8 Ом; R2 = 12 Ом; XL =6 Ом; XC = 5 Ом.

Рис. 3. Параллельное соединение ветвей с R-L и R-C

Решение.

Комплексное действующее входное напряжение цепи, В:

Комплексные токи параллельных ветвей, А:

Сумма комплексных токов параллельных ветвей, А:

Полученному комплексному току соответствует синусоидальный ток, А:

i(t) = 20

Задача 4.

В четырехпроводную сеть с линейным напряжением Uл =220 В, включен трехфазный приемник, соединенный по схеме «звезда» (рис.4). Комплексные сопротивления фаз приемника:

Найти комплексные токи в линейных и нейтральном проводах.

Решение.

Фазное напряжение, В:

Комплексные фазные напряжения, В:

Комплексные линейные токи равны соответственно комплексным фазным токам, А:

Комплексный ток в нейтральном проводе, А:

+ + + = ˗˗ 2,81 + j4,9 =5,9e j 120

Приложение 4. Техника безопасности при работе с электротехническими установками. Опасность поражения

Лабораторные стенды являются действующими электроустановками и при определенных условиях могут стать источником опасности поражения электрическим током. Дело в том, что тело человека обладает свойством электропроводности и при соприкосновении с неизолированными элементами установки, находящейся под напряжением, становится звеном электрической цепи. Возникший вследствие этого в теле человека электрический ток может вызвать ожог кожи (электрическую травму) или нанести тяжелые поражения нервной, сердечной и дыхательной системам организма (электрический удар).

Установлено, что как постоянный, так и переменный электрические токи при величине ),05 А являются опасными, а при величине 1 А – смертельными.

Чтобы оценить, при каком напряжении может быть нанесен серьезный ущерб здоровью человека или какое напряжение считать опасным для жизни, надо знать величину сопротивления тела человека. Однако, это чрезвычайно изменчивая величина, зависящая от свойств кожи человека, его душевного состояния и ряда других величин. Как показывают измерения, сопротивление тела человека может изменяться в широких пределах – от 700 до нескольких десятков тысяч Ом. Нетрудно посчитать, что напряжение даже в несколько десятков вольт (40 ÷ 60 В) может при неблагоприятном стечении обстоятельств создать условия, когда возможен электрический удар. Поэтому следует всегда помнить о возможности поражения электрическим током и соблюдать меры предосторожности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алиев, И. И. Электротехнический справочник / И. И. Алиев. – М.: Радио Софт, 2004. – 384 с.

2. Беневоленский С.Б. Основы электротехники /Беневоленский С.Б., Марченко С. Л. – Москва: Физматлит, 2006. – 566 с.

3. Горошко, В. И. Электротехника, основы электроники и электрооборудование химических производств / В. И. Горошко, И. О. Оробей, Л. М. Давидович. – Минск: БГТУ, 2006. – 246 с.

4. Григораш О. В. Электротехника и электроника /О. В. Григораш, Г. А. Султанов, Д. А. Нормов. – Ростов-на-Дону; Краснодар: Феникс: Неоглари, 2008. – 462с.

5. Данилов И. А. Общая электротехника / И. А. Данилов. – Москва: Высшее образование, 2009. – 673с.

6. Жаворонков М. А. Электротехника и электроника / Жаворонков М. А., Кузин А.В. – Москва: Академия, 2005. – 394с.

7. Иванов, И. И. Электротехника /Иванов И. И., Соловьев В. И, Равдоник В. С. – Изд. 3-е, Санкт-Петербург: Лань, 2005. – 496 с.

8. Касаткин, А. С. Электротехника / А. С. Касаткин, М. В. Немцов. 10-изд; – Москва: Академия, 2007. – 538 с.

9. Кононенко В. В. Электротехника и электроника / В. В. Кононенко и др; под ред. Кононенко В. В. 4-е изд. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2008. – 778 с.

10. Коровкина Н. П. Электротехника и основы электроники [Электронный ресурс]: Тексты лекций для студентов спец.1-36 07 01. 01, 1-36 07 01.02, 1-36 01 08, 62,8 мБ, формат pdt -2012г. Кафедра автоматизации производственных процессов и электротехники

11. Рекус, Г. Г. Основы электротехники и электроники в задачах с решениями / Рекус Г. Г. – Москва: Высшая школа, 2005. — 343с.

12. Электрические цепи. – Минск: БГТУ. 2005. – 56 с.

Источник

Символический (комплексный) метод расчета цепей переменного тока

ads

Одним из способов расчета цепей переменного тока является комплексный, или еще как говорят, символический метод расчета. Этот метод применяется при анализе схем с гармоническими ЭДС, напряжениями и токами. В результате решения получают комплексное значение токов и напряжений, используя для решения любые методы (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и т.п.). Но для начала необходимо иметь понятие, в каких именно формах может представляться синусоидальная величина. 1. Одна из форм представления – это вращающийся вектор (см. рис.1):

Рис.1. Вращающийся вектор

С помощью рисунка ясно видно, как с течением времени меняется значение синусоидальной величины. В нашем случае – это величина а на графике, которая может быть, например, входным напряжением. Величина имеет некоторое начальное значение при t = 0 при начальной фазе φ

имеет положительное максимальное значение при угле ωt3, когда при времени t3 сумма ωt3 + φ = 90° и соответственно,

имеет отрицательное максимальное значение при угле ωt7, когда при времени t7 сумма углов ωt7 + φ = 270° и, соответственно,

Читайте также:  Работа транзистора усилителем переменного тока

и имеет два нулевых значения при ωtn + φ = 0, когда ωtn = —φ (на рис.1 эта область не показана и находится слева от начала координат)

и имеет нулевое значение при угле ωt11, когда при времени t11 сумма ωt11 + φ = 360° и соответственно,

Именно по такому закону и меняется привычное нам переменное напряжение 220 В, изменяясь по синусоидальному закону от значения 0 В до максимальных 311 В и обратно.

2. Другая форма представления – это комплексное число. Чтобы представить ранее рассмотренную форму представления синусоидальной величины, которая имеет некоторую начальную фазу φ, создают комплексную плоскость в виде графика зависимости двух величин (рис.2)

Комплексное число на комплексной плоскости

Рис.2. Комплексное число на комплексной плоскости

Длина вектора Am на такой комплексной плоскости равна амплитуде (максимальному значению) рассматриваемой величины. С учетом начальной фазы φ такое число записывают как .

На практике при использовании для расчетов символического (комплексного) метода расчета используют для некоторых удобств не амплитудное значение величины, а так называемое действующее значение. Его величина в корень из двух раз меньше амплитудного и обозначается без индекса m, т.е. равна

действующее значение

На рисунке выше этот вектор также показан.
Например, при том же нашем напряжении в сети, максимальное значение синусоидально изменяющегося напряжения равно 311 В, а действующее значение, к значению которого мы привыкли

Действующее значение напряжения

При работе с комплексными числами и расчетов применяют различные формы записи комплексного числа. Например, при сложении комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму записи таких чисел, а при умножении или делении – показательную форму записи. В некоторых случаях пишут тригонометрическую форму.
Итак, три формы записи комплексного числа:

1) показательная форма в виде

Показательная форма комплексного числа

2) тригонометрическая форма в виде

Тригонометрическая форма комплексного числа

3) алгебраическая форма

Алгебраическая форма комплексного числа

где ReA — это действительная составляющая комплексного числа, ImA — мнимая составляющая.

Например, имеем комплексное число в показательной форме вида

в тригонометрической форме записи это запишется как

при подсчете получим число, плавно переходящее в алгебраическую форму с учетом того, что

В итоге получим

При переходе от алгебраической формы к показательной комплексное число вида

переходит к показательному виду по следующим преобразованиям

Таким образом, и получим

Перейдем к рассмотрению несложных примеров использования символического, или по-другому, комплексного метода расчета электрических цепей. Составим небольшой алгоритм комплексного метода:

      • Составить комплексную схему, заменяя мгновенные значения ЭДС, напряжений и токов их комплексным видом
      • В полученной схеме произвольно выбирают направления токов в ветвях и обозначают их на схеме.
      • При необходимости составляют комплексные уравнения по выбранному методу решения.
      • Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины.
      • Если требуется, записывают мгновенные значения найденных комплексных величин.

Пример 1. В схеме рис.3 закон изменения ЭДС e = 141sin*ωt. Сопротивления R1 = 3 Ом, R2 = 2 Ом, L = 38,22 мГн, С = 1061,6 мкФ. Частота f = 50 Гц. Решить символическим методом. Найти ток и напряжения на элементах. Проверить 2-ой закон Кирхгофа для цепи.

Схема с последовательным соединением элементов

Рис.3. Схема с последовательным соединением элементов

Составляем комплексную схему, обозначив комплексные токи и напряжения (рис.4):

Схема с комплексными обозначениями

Рис.4. Схема с комплексными обозначениями

По закону Ома ток в цепи равен

Закон ома в комплексной форме

где U — комплексное входное напряжение, Z — полное сопротивление всей цепи. Комплекс входного напряжения находим как

Пояснение: здесь начальная фаза φ = 0°, так как общее выражение для мгновенного значения напряжение вида при φ = 0° равно

Соответственно, комплекс входного напряжения в показательной форме запишется как

Полное комплексное сопротивление цепи в общем виде

Находим комплексное сопротивление индуктивности

Находим комплексное сопротивление емкости

Соответственно, общее комплексное сопротивление цепи

Комплексные напряжения на элементах

Проверяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, т.е. должно выполняться равенство

С небольшим расхождением из-за округлений промежуточных вычислений всё верно.

Пример 2. В электрической цепи (рис.5) однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:
1) полное сопротивление электрической цепи и его характер;
2) действующие значения токов в ветвях;
3) показания вольтметра и ваттметра;

      Исходные данные: Е = 220 В, f = 50 Гц, L1 = 38,2 мГн, R2 = 6 Ом, С2 = 318 мкФ, L2 = 47,7 мГн, R3 = 10 Ом, С3 = 300 мкФ.

Рис.5.Цепь однофвзного синусоидального тока

Решение:
1. Находим комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
Учитываем, что

Комплексное сопротивление первой ветви:

Комплексное сопротивление второй ветви:

Комплексное сопротивление третьей ветви:

Общее сопротивление цепи

— нагрузка носит активно-индуктивный характер

2. Находим действующие значения токов в ветвях:

Рис.6. Схема с обозначенными комплексными токами

Действующие значения, соответственно,

3. Определим показания приборов:
Вольтметр подключен по схеме параллельно источнику питания. Соответственно его показание равно:
U=220 В
Ваттметр включен токовой обмоткой в разрыв третьей ветви, а обмоткой напряжения также к выводам третьей ветви, измеряя, таким образом, активную мощность третьей ветви. Эта мощность равна мощности на сопротивлении R3. Его показания:

Источник