Меню

Как проверить баланс мощностей в цепи синусоидального тока

Символический (комплексный) метод расчета цепей переменного тока

ads

Одним из способов расчета цепей переменного тока является комплексный, или еще как говорят, символический метод расчета. Этот метод применяется при анализе схем с гармоническими ЭДС, напряжениями и токами. В результате решения получают комплексное значение токов и напряжений, используя для решения любые методы (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и т.п.). Но для начала необходимо иметь понятие, в каких именно формах может представляться синусоидальная величина. 1. Одна из форм представления – это вращающийся вектор (см. рис.1):

Рис.1. Вращающийся вектор

С помощью рисунка ясно видно, как с течением времени меняется значение синусоидальной величины. В нашем случае – это величина а на графике, которая может быть, например, входным напряжением. Величина имеет некоторое начальное значение при t = 0 при начальной фазе φ

имеет положительное максимальное значение при угле ωt3, когда при времени t3 сумма ωt3 + φ = 90° и соответственно,

имеет отрицательное максимальное значение при угле ωt7, когда при времени t7 сумма углов ωt7 + φ = 270° и, соответственно,

и имеет два нулевых значения при ωtn + φ = 0, когда ωtn = —φ (на рис.1 эта область не показана и находится слева от начала координат)

и имеет нулевое значение при угле ωt11, когда при времени t11 сумма ωt11 + φ = 360° и соответственно,

Именно по такому закону и меняется привычное нам переменное напряжение 220 В, изменяясь по синусоидальному закону от значения 0 В до максимальных 311 В и обратно.

2. Другая форма представления – это комплексное число. Чтобы представить ранее рассмотренную форму представления синусоидальной величины, которая имеет некоторую начальную фазу φ, создают комплексную плоскость в виде графика зависимости двух величин (рис.2)

Комплексное число на комплексной плоскости

Рис.2. Комплексное число на комплексной плоскости

Длина вектора Am на такой комплексной плоскости равна амплитуде (максимальному значению) рассматриваемой величины. С учетом начальной фазы φ такое число записывают как .

На практике при использовании для расчетов символического (комплексного) метода расчета используют для некоторых удобств не амплитудное значение величины, а так называемое действующее значение. Его величина в корень из двух раз меньше амплитудного и обозначается без индекса m, т.е. равна

действующее значение

На рисунке выше этот вектор также показан.
Например, при том же нашем напряжении в сети, максимальное значение синусоидально изменяющегося напряжения равно 311 В, а действующее значение, к значению которого мы привыкли

Действующее значение напряжения

При работе с комплексными числами и расчетов применяют различные формы записи комплексного числа. Например, при сложении комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму записи таких чисел, а при умножении или делении – показательную форму записи. В некоторых случаях пишут тригонометрическую форму.
Итак, три формы записи комплексного числа:

1) показательная форма в виде

Показательная форма комплексного числа

2) тригонометрическая форма в виде

Тригонометрическая форма комплексного числа

3) алгебраическая форма

Алгебраическая форма комплексного числа

где ReA — это действительная составляющая комплексного числа, ImA — мнимая составляющая.

Например, имеем комплексное число в показательной форме вида

в тригонометрической форме записи это запишется как

при подсчете получим число, плавно переходящее в алгебраическую форму с учетом того, что

В итоге получим

При переходе от алгебраической формы к показательной комплексное число вида

переходит к показательному виду по следующим преобразованиям

Таким образом, и получим

Перейдем к рассмотрению несложных примеров использования символического, или по-другому, комплексного метода расчета электрических цепей. Составим небольшой алгоритм комплексного метода:

      • Составить комплексную схему, заменяя мгновенные значения ЭДС, напряжений и токов их комплексным видом
      • В полученной схеме произвольно выбирают направления токов в ветвях и обозначают их на схеме.
      • При необходимости составляют комплексные уравнения по выбранному методу решения.
      • Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины.
      • Если требуется, записывают мгновенные значения найденных комплексных величин.

Пример 1. В схеме рис.3 закон изменения ЭДС e = 141sin*ωt. Сопротивления R1 = 3 Ом, R2 = 2 Ом, L = 38,22 мГн, С = 1061,6 мкФ. Частота f = 50 Гц. Решить символическим методом. Найти ток и напряжения на элементах. Проверить 2-ой закон Кирхгофа для цепи.

Схема с последовательным соединением элементов

Рис.3. Схема с последовательным соединением элементов

Составляем комплексную схему, обозначив комплексные токи и напряжения (рис.4):

Читайте также:  Электротехника сила тока в проводнике

Схема с комплексными обозначениями

Рис.4. Схема с комплексными обозначениями

По закону Ома ток в цепи равен

Закон ома в комплексной форме

где U — комплексное входное напряжение, Z — полное сопротивление всей цепи. Комплекс входного напряжения находим как

Пояснение: здесь начальная фаза φ = 0°, так как общее выражение для мгновенного значения напряжение вида при φ = 0° равно

Соответственно, комплекс входного напряжения в показательной форме запишется как

Полное комплексное сопротивление цепи в общем виде

Находим комплексное сопротивление индуктивности

Находим комплексное сопротивление емкости

Соответственно, общее комплексное сопротивление цепи

Комплексные напряжения на элементах

Проверяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, т.е. должно выполняться равенство

С небольшим расхождением из-за округлений промежуточных вычислений всё верно.

Пример 2. В электрической цепи (рис.5) однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:
1) полное сопротивление электрической цепи и его характер;
2) действующие значения токов в ветвях;
3) показания вольтметра и ваттметра;

      Исходные данные: Е = 220 В, f = 50 Гц, L1 = 38,2 мГн, R2 = 6 Ом, С2 = 318 мкФ, L2 = 47,7 мГн, R3 = 10 Ом, С3 = 300 мкФ.

Рис.5.Цепь однофвзного синусоидального тока

Решение:
1. Находим комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
Учитываем, что

Комплексное сопротивление первой ветви:

Комплексное сопротивление второй ветви:

Комплексное сопротивление третьей ветви:

Общее сопротивление цепи

— нагрузка носит активно-индуктивный характер

2. Находим действующие значения токов в ветвях:

Рис.6. Схема с обозначенными комплексными токами

Действующие значения, соответственно,

3. Определим показания приборов:
Вольтметр подключен по схеме параллельно источнику питания. Соответственно его показание равно:
U=220 В
Ваттметр включен токовой обмоткой в разрыв третьей ветви, а обмоткой напряжения также к выводам третьей ветви, измеряя, таким образом, активную мощность третьей ветви. Эта мощность равна мощности на сопротивлении R3. Его показания:

Источник



Как проверить баланс мощностей в цепи синусоидального тока

Мгновенной мощностью называют произведение мгновенного напряжения на входе цепи на мгновенный ток.
Пусть мгновенные напряжение и ток определяются по формулам:

Среднее значение мгновенной мощности за период

Из треугольника сопротивлений , а .

Получим еще одну формулу:

Среднее арифметическое значение мощности за период называют активной мощностью и обозначают буквой P.
Эта мощность измеряется в ваттах и характеризует необратимое преобразование электрической энергии в другой вид энергии, например, в тепловую, световую и механическую энергию.
Возьмем реактивный элемент (индуктивность или емкость). Активная мощность в этом элементе , так как напряжение и ток в индуктивности или емкости различаются по фазе на 90 o . В реактивных элементах отсутствуют необратимые потери электрической энергии, не происходит нагрева элементов.
Происходит обратимый процесс в виде обмена электрической энергией между источником и приемником. Для качественной оценки интенсивности обмена энергией вводится понятие реактивной мощности Q.
Преобразуем выражение (6.23):

где — мгновенная мощность в активном сопротивлении;

— мгновенная мощность в реактивном элементе (в индуктивности или в емкости).
Максимальное или амплитудное значение мощности p2 называется реактивной мощностью

где x — реактивное сопротивление (индуктивное или емкостное).
Реактивная мощность, измеряемая в вольтамперах реактивных, расходуется на создание магнитного поля в индуктивности или электрического поля в емкости. Энергия, накопленная в емкости или в индуктивности, периодически возвращается источнику питания.
Амплитудное значение суммарной мощности p = p1 + p2 называется полной мощностью.
Полная мощность, измеряемая в вольтамперах, равна произведению действующих значений напряжения и тока:

где z — полное сопротивление цепи.
Полная мощность характеризует предельные возможности источника энергии. В электрической цепи можно использовать часть полной мощности

где — коэффициент мощности или «косинус «фи».

Коэффициент мощности является одной из важнейших характеристик электротехнических устройств. Принимают специальные меры к увеличению коэффициента мощности.
Возьмем треугольник сопротивлений и умножим его стороны на квадрат тока в цепи. Получим подобный треугольник мощностей (рис. 6.18).

Из треугольника мощностей получим ряд формул:

Рис.6.18
, .
При анализе электрических цепей символическим методом используют выражение комплексной мощности, равное произведению комплексного напряжения на сопряженный комплекс тока.
Для цепи, имеющей индуктивный характер (R-L цепи)

где
— комплекс напряжения;
— комплекс тока;
— сопряженный комплекс тока;
— сдвиг по фазе между напряжением и током.
, ток как в R-L цепи, напряжение опережает по фазе ток.

Читайте также:  Безопасность обслуживающего персонала от поражения электрическим током

Вещественной частью полной комплексной мощности является активная мощность.
Мнимой частью комплексной мощности — реактивная мощность.
Для цепи, имеющей емкостной характер (R-С цепи), . Ток опережает по фазе напряжение.

Активная мощность всегда положительна. Реактивная мощность в цепи, имеющей индуктивный характер, — положительна, а в цепи с емкостным характером — отрицательна.

6.11. Баланс мощностей

Для схемы на рис. 6.19 запишем уравнение по второму закону Кирхгофа. Умножим левую и правую части уравнения на сопряженный комплекс тока

где — результирующее реактивное сопротивление;
I 2 — квадрат модуля тока.

где — полная комплексная, активная и реактивная мощности источника питания.

где — активная и реактивная мощности, потребляемые элементами схемы.

Два комплексных числа равны, если равны по отдельности их вещественные и мнимые части, следовательно уравнение (6.24) распадается на два:

Полученные равенства выражают законы сохранения активных и реактивных мощностей.

6.12. Согласованный режим работы электрической цепи.
Согласование нагрузки с источником

В схеме на рис. 6.20
— полное, активное и реактивное сопротивления источника ЭДС,
— полное, активное и реактивное сопротивления нагрузки.
Активная мощность может выделяться только в активных сопротивлениях цепи переменного тока.
Активная мощность, выделяемая в нагрузке,

Активная мощность, развиваемая генератором

.
Коэффициент полезного действия для данной схемы:

Из формулы (6.26) видно, что выделяемая в нагрузке мощность будет максимальной, когда знаменатель минимален. Последнее имеет место при , т.е. при . Это означает, что реактивные сопротивления источника и нагрузки должны быть одинаковы по модулю и иметь разнородный характер. При индуктивном характере реактивного сопротивления источника реактивное сопротивление нагрузки должно быть емкостным и наоборот.

Установим условие, при котором от источника к нагрузке будет передаваться наибольшая мощность.

От источника к нагрузке передается наибольшая мощность, когда

Величина наибольшей мощности

Режим передачи наибольшей мощности от источника к нагрузке называется согласованным режимом, а подбор сопротивлений согласно равенствам (6.28) — согласованием нагрузки с источником.

Источник

Баланс мощностей в цепях синусоидального тока

Уравнение баланса мощностей в цепях синусоидального тока очевидно должно учитывать как мощность, необратимо преобразующуюся в другие виды энергии (активную мощность), так и мощность обратимых преобразований энергии (реактивную мощность). Поэтому уравнения баланса мощностей в цепях синусоидального тока выглядят следующим образом:

Сумма активных мощностей источников энергии равна сумме активных мощностей преемников энергии.

Алгебраическая сумма реактивных мощностей источников энергии равна алгебраической сумме реактивных мощностей преемников энергии. Реактивная мощность может быть положительной (индуктивный элемент) и отрицательной (емкостной элемент).

Пример 9

Составить уравнения баланса мощностей для цепи согласно условию примера 7 (рис.1.18).

Решение

Активная и реактивная мощности, отдаваемые источником энергии, нами найдены (см. пример 8) и так как источник энергии всего один, то:

Напряжения и токи на всех участках цепи нами также найдены ранее (см. пример 7).

Найдем комплексно сопряженные токи

Определим комплексные мощности на каждом из элементов заданной по условию цепи.

Комплексная мощность на резисторе R1:

Комплексная мощность на резисторе R2:

Комплексная мощность на катушке индуктивности L:

Комплексная мощность на резисторе R3:

Комплексная мощность на конденсаторе С:

Определим сумму активных мощностей приемников.

Определим сумму реактивных мощностей приемников.

Очевидно, что баланс активных и реактивных мощностей выполняется т.е.

Задание

2.1 Начертить схему замещения электрической цепи с обозначением характера сопротивлений всех ветвей.

2.2 Указать на схеме условные положительные направления токов в ветвях. Определить токи всех ветвей в комплексной форме.

2.3 Определить показания приборов.

2.4 Построить векторную диаграмму токов и напряжений на комплексной плоскости.

2.5 Построить осциллограмму тока в ветви или напряжения на участке, определенном в задании.

2.6 Составить баланс активных и реактивных мощностей.

Исходные данные приведены в таблице 1. Номер схемы для расчётов выбирается из таблицы 1 исходных данных. Номер варианта выбирается согласно номеру по списку в журнале преподавателя.

Значения индуктивностей заданы в микрофарадах (мкФ), емкостей – в милигенри (мГн). Частота тока f = 50 (Гц).

Значения индуктивных и емкостных сопротивлений элементов окркуглять до целого числа.

При составлении баланса активных и реактивных мощностей погрешность вычислений оценить согласно формулам:

Читайте также:  Как изготовить катушку с током 8 класс

Относительная погрешность не должна превышать 5%.

Источник

11. Баланс мощности в цепи синусоидального тока

Баланс мощности в электрической цепи синусоидального тока, содержащей произвольное число источников энергии, т.е. источников тока и э.д.с., и приемников энергии, т.е. активных, индуктивных и емкостных элементов, складывается из двух составляющих: активной и реактивной.

Активная составляющая: алгебраическая сумма активных мощностей всех источников энергии равна арифметической сумме мощностей всех активных элементов:

Реактивная составляющая: алгебраическая сумма реактивных мощностей всех источников энергии равна алгебраической сумме реактивных мощностей всех индуктивных и всех емкостных элементов:

13. Резонанс в электрических цепях переменного тока

Идеальное активное сопротивление от частоты не зависит, индуктивное сопротивление линейно зависит от частоты, емкостное сопротивление зависит от частоты по гиперболическому закону.

R = const, XL = ωL, XC =

Графики зависимости сопротивлений R, XL, XC от частоты

Колебательный контур – электрическая цепь, содержащая катушку индуктивности, конденсатор и источник электрической энергии. Это простейшая система, в которой могут происходить электромагнитные колебания.

Резонансом называют такой режим в электрической цепи, содержащей катушки индуктивности и конденсаторы, при котором ее реактивное сопротивление равно нулю. При резонансе I и U совпадают по фазе.

Различают резонанс напряжений и резонанс токов.

Резонанс напряжений

Резонанс напряжений может быть в цепи при последовательном соединении элементов RLC.

Резонанс наступает в случае, когда ХL = ХС, следовательно, полное реактивное сопротивление цепи равно нулю.

– угловая резонансная частота.

Так как , то – формула Томсона.

Добиться резонанса можно, изменяя f или L или С.

Т.к. реактивное сопротивление последовательного контура в режиме резонанса равно нулю, то его полное сопротивление минимально и равно активному сопротивлению:

Вследствие этого входной ток при резонансе максимален и ограничен только активным сопротивлением контура:

По максимуму тока можно обнаружить момент резонанса. В режиме резонанса напряжения на отдельных элементах контура составляют:

Из последнего равенства следует, что и входное напряжение контура становится равным напряжению на активном сопротивлении:

При этом индуктивное и емкостное сопротивления могут быть больше активного . Тогда напряжения на реактивных элементах будут больше входного напряжения.

Коэффициент усиления напряжения равен добротности контура:

Всякий реальный колебательный контур обладает сопротивлением. Энергия электрических колебаний в таком контуре постепенно расходуется на нагрев сопротивления, переходя в Джоулеву теплоту, вследствие чего колебания затухают. Резонансные свойства контура характеризует добротность.

Добротность Q есть отношение величины электромагнитной энергии, запасенной в реактивных элементах контура, к энергии, рассеиваемой на активном сопротивлении контура за один период:

При резонансе индуктивное и емкостное сопротивления равны:

Величина называется характеристическим (или волновым) сопротивлением. Отношение характеристического сопротивления к активному сопротивлению называется добротностью резонансного контура:

Добротность характеризует «избирательные» свойства резонансного контура, в частности, его полосу пропускания: .

Другим параметром резонансного контура является волновое (характеристическое) сопротивление контура :

Характеристическое сопротивление связано с добротностью: .

Признаки резонанса напряжений:

а) сопротивление цепи Z=R минимальное и чисто активное;

б) ток цепи совпадает по фазе с напряжением источника и достигает максимального значения;

в) UL = UC и каждое в отдельности может во много раз превышать напряжение на зажимах цепи.

Т.О, резонанс напряжений считается аварийным режимом и может быть опасным для электроустановок. Тем не менее, резонанс напряжений широко используется в радиотехнике и электронике.

Резонансом токов называют такое явление в цепи с параллельным соединением реактивных элементов, когда ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника.

Рассмотрим данный колебательный контур.

В режиме резонанса реактивные проводимости обеих ветвей равны (BL=BC), поэтому и реактивные составляющие токов будут равны по значению и противоположны по направлению.

Ток в неразветвленной части цепи будет только активный, равный сумме активных составляющих токов в ветвях:

Так как BL = BC, то

Состояние резонанса можно получить изменением f, L, C, R1, R2.

Признаки резонанса токов:

а) сопротивление Z контура максимальное и чисто активное;

б) ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника и достигает практически минимального значения;

в) реактивная составляющая тока в катушке равна емкостному току, причем эти токи могут во много раз превышать ток источника.

Резонанс токов широко применяется в электронных устройствах, а в силовых электроустановках используется для увеличения их коэффициента мощности (cos φ).

Источник