Меню

Интеграл определяющий силу тока

Применение интеграла для описания физических процессов. 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Тема и номер урока в теме: «Определенный интеграл» урок № 5 (из 6, отведенных на изучение данной темы).

Базовый учебник: Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. 11 кл./ А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. /М: Мнемозина, 2013.

Задачник: Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. 11. / А.Г.Мордкович и др. /М.: Мнемозина, 2013.

Цель урока: дать представление о возможностях применения интеграла в физике.

Формируемые предметные результаты: познакомиться с применением интеграла для решения физических задач.

Формируемые метапредметные результаты:

  • личностные универсальные учебные действия: формирование устойчивой мотивации к обучению, познавательного интереса; расширение кругозора.
  • регулятивные универсальные учебные действия: уметь выделять математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах в окружающей жизни, самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем, уметь действовать в соответствии с предложенным алгоритмом, контролировать процесс и результат учебной деятельности
  • познавательные универсальные учебные действия: уметь ориентироваться в своей системе знаний (отличать новое от уже известного, структурировать знания, преобразовывать информацию);

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.

Необходимое техническое оборудование: мультимедийный проектор, презентация или интерактивная доска с заготовками таблиц и заданий.

Структура и ход урока

I. Организационный момент. Приветствие, настрой на урок.

II. Проверка домашнего задания (обсуждение решения заданий, вызвавших затруднения)

III. Формулирование темы и цели урока.

— Какие применения интеграла вам уже известны? (Для введения понятия определенного интеграла мы рассмотрели три задачи, приводящие к этому понятию: вычисление площади криволинейной трапеции, вычисление массы стержня и вычисление перемещения точки за определенный промежуток времени. Таким образом, нам уже знакомы три примера применения интеграла в геометрии и физике. На прошлом занятии познакомились с применением интеграла для вычисления объемов геометрических тел).

— Однако, область применения интеграла этим не ограничивается. И цель урока — познакомиться с широким спектром применения интеграла в физике. Итак, запишите тему урока: «Применение интеграла для описания физических процессов».

IV. Изучение нового материала (подводящий диалог)

— Назовите, пожалуйста, действие, обратное интегрированию. (Дифференцирование, т.е. вычисление производной).

— Изучая некоторые применения производной в физике и технике, мы с вами составили обобщающую таблицу. Давайте вспомним её (рассматривают таблицу, заготовленную на слайде или на доске):

Величины

Физическая зависимость в простейшем случае

Вычисление производной

A – работа,
F – сила,
N – мощность,
x – пройденный путь,
t – время.

m – масса тонкого стержня,
ρ — линейная плотность,
x – линейный размер.

q – электрический заряд,
I – сила тока,
t – время.

S – перемещение,
v – скорость,
t – время.

Q – количество теплоты;
с – теплоемкость,
t – температура.

— Во всех этих случаях по заданной F(x) находили f(x) по формуле

— А теперь вернемся к интегралу. С каким действием ассоциируется у вас вычисление интеграла? (Вычисление первообразной)

— Верно, а вычисление первообразной – это восстановление функции по заданной производной. Т.е. по заданной f(x) находят F(x) по формуле

Следовательно, если переменная сила F (х)– это производная работы А по координате x, то как, по вашему, можно вычислить работу переменной силы по перемещению тела из положения х = а в точку с координатой х = в? (Как определенный интеграл .)

— Добавим в нашей таблице ещё один столбец справа, куда будем записывать формулы для вычисления величин с помощью определенного интеграла, и запишем туда эту формулу.
— Как же тогда связать работу и мощность? (Высказываются предположения, записывается формула ).

— Заполните остальные строки таблицы самостоятельно. (Самостоятельная работа учащихся с последующей самопроверкой. Формулу для вычисления координаты центра масс тонкого стержня учитель сообщает после проверки и учащиеся вписывают её.)

Величины

Физическая зависимость в простейшем случае

Вычисление производной

Вычисление интеграла

A – работа,
F – сила,
N – мощность,
x – пройденный путь,
t – время.

Источник



интеграл Джоуля

интеграл Джоуля: Условная величина, характеризующая тепловое действие тока короткого замыкания на рассматриваемый элемент электроустановки, численно равная интегралу от квадрата тока короткого замыкания по времени, в пределах от начального момента короткого замыкания до момента его отключения.

интеграл Джоуля (Joule integral): Условная величина, характеризующая тепловое действие тока короткого замыкания на рассматриваемый элемент электроустановки, численно равная интегралу от квадрата тока короткого замыкания по времени, в пределах от начального момента короткого замыкания до момента его отключения.

3.5.13 интеграл Джоуля (Ft): Интеграл квадрата силы тока по данному интервалу времени (МЭК 60050(441-18-23)

Смотри также родственные термины:

2.5.18 интеграл Джоуля ( I 2 t ): Интеграл квадрата силы тока по данному интервалу времени. МЭК 60050(441-18-23)

2.5.18 интеграл Джоуля ( I 2 t): Интеграл квадрата силы тока по данному интервалу времени.

3.5.13 интеграл Джоуля (I 2 t) [joule integral (I 2 t)]. Интеграл квадрата силы тока по данному интервалу времени

x003.png

3.24 интеграл Джоуля I 2 t ( Joule integral I 2 t): Интеграл квадрата тока в заданном интервале времени

1 Преддуговой интеграл I 2 t — это интеграл I 2 t в интервале времени до образования дуги.

Читайте также:  Природа индукционного тока это

2 Интеграл срабатывания I 2 t — это интеграл I 2 t в интервале времени срабатывания предохранителя.

3 Энергия в джоулях, выделяемая на 1 Ом сопротивления цепи, защищаемой предохранителем, равняется значению интеграла срабатывания I 2 t, выраженного в А 2 с.

Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации . academic.ru . 2015 .

Смотреть что такое «интеграл Джоуля» в других словарях:

интеграл Джоуля ( I 2 t ) — 2.5.18 интеграл Джоуля ( I 2 t ): Интеграл квадрата силы тока по данному интервалу времени. МЭК 60050(441 18 23) Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

интеграл Джоуля I2t — интеграл Джоуля Условная величина, характеризующая тепловое действие тока короткого замыкания на рассматриваемый элемент электроустановки, численно равная интегралу от квадрата тока короткого замыкания по времени, в пределах от начального момента … Справочник технического переводчика

интеграл Джоуля I 2 t ( — 3.24 интеграл Джоуля I2t ( Joule integral I2t): Интеграл квадрата тока в заданном интервале времени (1) Примечания 1 Преддуговой интеграл I2t это интеграл I2t в интервале времени до… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

интеграл Джоуля ( I 2 t) — 2.5.18 интеграл Джоуля ( I2t): Интеграл квадрата силы тока по данному интервалу времени. [МЭС 441 18 23] Источник: ГОСТ Р 50030.1 2007: Аппаратура распред … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

интеграл Джоуля (I 2 t) — 3.5.13 интеграл Джоуля (I2t) [joule integral (I2t)]. Интеграл квадрата силы тока по данному интервалу времени [МЭК 60050(441 18 23)]. Источник: ГОСТ Р 51731 2010: Контакторы электромеханические бытового и … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

I 2 t (интеграл Джоуля) — 3.4.11 I2t (интеграл Джоуля): Интеграл квадрата силы тока по данному интервалу времени (t0, t1): Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ГОСТ Р МЭК 60127-1-2005: Миниатюрные плавкие предохранители. Часть 1. Терминология для миниатюрных плавких предохранителей и общие требования к миниатюрным плавким вставкам — Терминология ГОСТ Р МЭК 60127 1 2005: Миниатюрные плавкие предохранители. Часть 1. Терминология для миниатюрных плавких предохранителей и общие требования к миниатюрным плавким вставкам оригинал документа: 3.17 ампер секундные характеристики… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ГОСТ Р МЭК 60269-1-2010: Предохранители низковольтные плавкие. Часть 1. Общие требования — Терминология ГОСТ Р МЭК 60269 1 2010: Предохранители низковольтные плавкие. Часть 1. Общие требования оригинал документа: 2.3.12 I2t (интеграл Джоуля) (I2t; Joule integral): Интеграл квадрата тока за определенный период времени Примечание 1… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ГОСТ Р 51326.1-99: Выключатели автоматические, управляемые дифференциальным током, бытового и аналогичного назначения без встроенной защиты от сверхтоков. Часть 1. Общие требования и методы испытаний — Терминология ГОСТ Р 51326.1 99: Выключатели автоматические, управляемые дифференциальным током, бытового и аналогичного назначения без встроенной защиты от сверхтоков. Часть 1. Общие требования и методы испытаний оригинал документа: 3.4.11 I2t… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ГОСТ Р 50345-99: Аппаратура малогабаритная электрическая. Автоматические выключатели для защиты от сверхтоков бытового и аналогичного назначения — Терминология ГОСТ Р 50345 99: Аппаратура малогабаритная электрическая. Автоматические выключатели для защиты от сверхтоков бытового и аналогичного назначения оригинал документа: 3.5.12 I2t (интеграл Джоуля): Интеграл квадрата силы тока по данному … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Источник

Как найти силу тока?

Расчет электрических параметров необходим для правильных построений цепей. Поскольку целью использования электричества в электротехнике является задача по выполнению током работы, то встает вопрос о том, как найти силу тока. Данный параметр используют при вычислениях мощности и в расчетах потребления электрической энергии.

Существуют разные способы определения этого важного параметра, которые мы рассмотрим в данной статье.

Формулами

Параметры электрического тока всегда взаимосвязаны. Например, изменение величины нагрузки отображается на показателях других величин. Причем эти изменения подчиняются соответствующим законам, которые выражаются через формулы. Поэтому на практике для нахождения силы тока часто используют соответствующие формулы.

Через заряд и время

Вспомним определение (рис.1): электричество – это величина заряда, движимого силами электрического поля, преодолевающего за единицу времени условную плоскость проводника, называемую поперечным сечением проводника.

Определение понятия сила тока

Рис. 1. Определение понятия сила тока

Таким образом, если известен электрический заряд, прошедший через проводник за определенное время, то не трудно найти величину этого заряда прошедшего за единицу времени, то есть: I = q/t

Через мощность и напряжение

В паспорте электроприбора обычно указывается его номинальная мощность и параметры электрической сети, для работы с которой он предназначен. Имея в распоряжении эти данные, можно вычислить силу тока по формуле: I = P/U.

Данное выражение вытекает из формулы для расчета мощности: P = IU.

Через напряжение или мощность и сопротивление

Силу электричества на участке цепи определяют по закону Ома. Для этого необходимо знать следующие параметры: сопротивление и напряжение на этом участке. Тогда I = U/R. Если известна мощность нагрузки, то ее можно выразить через квадрат силы тока умноженной на сопротивление участка: P = I 2 R, откуда

Ток через мощность и сопротивление

Для полной цепи эту величину вычисляют по закону Ома, но с учетом параметров источника питания.

Через ЭДС, внутреннее сопротивление и нагрузку R

Применяя закон Ома, адаптированный для полной цепи, вы можете вычислить максимальный ток по формуле I = ε / (R+r′), если известны параметры:

  • внешнее сопротивление проводников (R);
  • ЭДС источника питания (ε);
  • внутреннее сопротивление источника, обладающего ЭДС (r′).
Читайте также:  Контрольная работа по физике 8 класс 2 вариант источник тока в цепи электрического

Закон Джоуля-Ленца

Казалось бы, что расчет силы тока по количеству тепла, выделяющегося в результате нагревания проводника, не имеет практического применения. Однако это не так. Рассмотрим это на примере.

Пусть требуется найти силу тока во время работы электрочайника. Для этого доведите до кипения 1 кг воды и засеките время в секундах. Предположим, начальная температура составляла 10 ºС. Тогда Q = Cm(τ – τ) = 4200 Дж/кг× 1 кг (100 – 10) = 378 000 Дж.

Закон Джоуля-Ленца

Рис. 2. Закон Джоуля-Ленца

Из закона Джоуля-Ленца (изображение на рис. 2) вытекает формула:

Ток из закона джоуля ленца

Измерив сопротивление электроприбора и подставив значения в формулу, получим величину потребляемого тока.

Измерительными приборами

Если под руками имеются измерительные приборы, то с их помощью довольно просто найти силу тока. Необходимо лишь соблюдать правила измерений и не забывать о правилах безопасности.

Амперметром

Пользуясь приборами для измерения ампеража, следует помнить, что они подключаются в цепи последовательно. Внутреннее сопротивление амперметра очень маленькое, поэтому прибор легко выводится из строя, если проводить измерения пределами значений, для которых он рассчитан.

Схема подключения амперметра показана на рисунке 3. Обратите внимание на то, что на участке измеряемой электрической цепи обязательно должна быть нагрузка.

Схема подключения амперметра

Рис. 3. Схема подключения амперметра

Большинство аналоговых амперметров, например, таких, как на рисунке 4, предназначены для измерений параметров в цепях с постоянными токами.

Рис. 4. Аналоговый амперметр

Обратите внимание распределение шкалы амперметра. Цена первого деления 50 А, а всех последующих – 10 А. Максимальная величина, которую можно измерить данным амперметром не должна превышать 300 А. Для измерений электрической величины в меньших либо в больших пределах следует применять соответствующие приборы, предназначенные для таких диапазонов. В этом смысле универсальность амперметра ограничена.

При измерениях постоянных токов необходимо соблюдать полярность щупов при подключении амперметра. Для подключения прибора требуется разрывать цепь. Это не всегда удобно. Иногда вычисление силы тока по формуле является предпочтительней, особенно если приходится проводить измерения в сложных электротехнических схемах.

Мультиметром

Преимущество мультиметра в том, что этот прибор многофункциональный. Современные мультиметры цифровые. У них есть режимы для измерений в цепях постоянных и переменных токов. В режиме измерения силы тока этот измерительный прибор подключается в цепь аналогично амперметру.

Перед включением мультиметра в цепь, всегда проверяйте режим измерений, а пределы измерения выбирайте заведомо большие предполагаемой силы тока. После первого измерения можно перейти в режим с меньшим диапазоном.

Для работы с переменным напряжением переводите прибор в соответствующий режим. Считывайте значения с дисплея после того, как цифры перестанут мелькать.

Примеры

Покажем на простых примерах, как решать задачи на вычисление силы тока по формуле.

Задача 1.

Пример 1

Рис. 5. Пример 1

Решение: При параллельном соединении нагрузочных элементов U = const, то есть, напряжение одинаково на всех резисторах и составляет 100 В. Тогда, по закону Ома I = U/R

Для вычисления искомого параметра на всем участке цепи, нам необходимо знать общее сопротивление этого участка. Учитывая тот факт, что при параллельном соединении нагрузочных элементов в цепи их общее сопротивление равно:

Паралельное соединение резисторов

Имеем: 1/R= 1/5 + 1/25 + 1/50 = 13/50; R = 50/13 ≈ 3.85 (Ом)

Тогда: I = U/R = 100 В/3,85 Ом ≈26 А.

Ответ:

  • Сила тока на сопротивлениях: I1 =20 А; I2 = 4А; I3 = 2 А.
  • Сила тока, поступающего на рассматриваемый участок цепи равна 26 А.

Задача 2.

Решение:

Воспользуемся формулой для нахождения силы тока, включающей напряжение и мощность: I = P/U.

  • 2 кВт преобразим в ватты: 2 кВт = 2000 Вт.
  • Подставляем данные: I = 2 000 Вт/ 220 В ≈ 9 А
  • Ответ: Нагревательный элемент электрочайника рассчитан на 9 А.

Задача 3.

Решение.

Применяя закон Ома для полной цепи, запишем: I = ε / (R+r′)

I = 6 В / (5 Ом + 1 Ом) = 1 А.

Ответ: сила тока 1 А.

Задача 4.

Решение:

За время t электричество выполнит работу A = U*I*t.

Напряжение сети известно – оно составляет 220 В.Силу тока находим по формуле: I = U/R, тогда A = (U 2 /R)*t или

A = ((220 В) 2 / 40 Ом) * 2 ч = 2420 Втч = 2,42 кВтч

Ответ: За 2 часа работы электроплита потребляет 2,42 кВт часов электроэнергии.

Применяя формулы для вычисления параметров электричества, пользуясь фундаментальными законами физики можно находить неизвестные данные для составных элементов цепей и электроприборов с целью оценки их состояния. В каждом отдельном случае необходимо определить известные параметры тока, которые можно использовать в дальнейших вычислениях. Обычно, это напряжение, мощность или сопротивление нагрузки.

Если можно обойтись без измерений амперметром – лучше прибегнуть к вычислениям, даже если при этом потребуется измерить напряжение. Такое измерение можно проводить без разрыва электрической цепи, чего нельзя сделать при помощи амперметра.

Источник

Решение задач физики и техники с применением интеграла

п.1. От ускорения к скорости и координате

Рассматривая применение производной в физике и технике (см. §51 данного справочника), мы во второй производной от уравнения прямолинейного равномерного движения \(x(t)\) пришли к постоянному ускорению \(a=const\).
С помощью интегрирования можно пройти обратный путь.
Начнем с постоянного ускорения \(a=const\).
Интеграл от ускорения по времени – это скорость: $$ v(t)=\int adt=a\int dt=at+C $$ Физический смысл постоянной интегрирования \(C\) в этом случае – начальная скорость \(v_0\). Получаем: $$ v(t)=at+v_0 $$ Интеграл от скорости по времени – это координата: $$ x(t)=\int v(t)dt=\int (at+v_0)dt=\frac<2>+v_0 t+C $$ Физический смысл постоянной интегрирования \(C\) в этом случае – начальная координата \(x_0\). Получаем: $$ x(t)=\frac<2>+v_0 t+x_0 $$ Таким образом, если нам известны ускорение \(a\), начальная скорость \(v_0\) и начальная координата \(x_0\), мы всегда сможем получить уравнение движения \(x(t)\).

Читайте также:  Перечислите условия самовозбуждения генератора постоянного тока

п.2. Физические величины как интегралы других величин

Если \(v(t)\) — скорость некоторого физического процесса, уравнение этого процесса можно найти интегрированием: $$ f(t)=\int v(t)dt $$ Такие величины часто встречаются в различных разделах физики и техники.

Скорость \(v(t)=\int a(t)dt\)

Координата \(x(t)=\int v(t)dt\)

Угловое ускорение \(\beta(t)\)

Угловая скорость \(\omega(t)=\int \beta(t) dt\)

Угловая скорость \(\omega(t)\)

Угол поворота \(\varphi(t)=\int\omega(t)dt\)

Скорость расходования горючего \(u(t)\)

Масса горючего ракеты \(m(t)=\int u(t)dt\)

Заряд \(q(t)=\int I(t)dt\)

Работа \(A(t)=\int N(t)dt\)

ЭДС индукции \(\varepsilon(t)\)

Магнитный поток \(Ф(t)=-\int\varepsilon(t)dt\)

Скорость радиоактивного распада \(I(t)\)

Число атомов радиоактивного вещества \(N(t)=\int I(t)dt\)

Берутся интегралы и по другим переменным. Например, чтобы найти работу переменной силы \(F(x)\), нужно взять интеграл по координате: $$ A=\int_^F(x)dx $$ В трехмерном пространстве интегралы могут браться по всем трем координатам.
При решении уравнений в частных производных интегралы берутся и по времени и по координатам.

В современной физике интеграл по времени берётся также и от самого уравнение движения. Полученная скалярная величина называется действием и носит фундаментальный характер. В простейшем случае: $$ S_0=\int \overrightarrow

\cdot \overrightarrowdt $$ где \(\overrightarrow

\cdot \overrightarrow\) — скалярное произведение векторов импульса и скорости.

п.3. Примеры

Пример 1. Тело движется со скоростью \(v(t)\) (м/с). Найдите путь, пройденный за промежуток времени от \(t_1\) до \(t_2\) (с):
a) \(v(t)=3t+2t^2,\ t_1=0,\ t_2=6\)
Путь: \begin s(t)=\int_^v(t)dt\\ s=\int_<0>^<6>(3t+2t^2)dt=\left(\frac<3t^2><2>+\frac<2t^3><3>\right)|_<0>^<6>=\frac<3\cdot 36><2>+\frac<2\cdot 36\cdot 6><3>-0=\\ =3\cdot 18+4\cdot 36=54+144=198\ \text <(м)>\end
б) \(v(t)=2(t+2)^<5/2>,\ t_1=0,\ t_2=7\) \begin s=\int_<0>^<7>2(t+2)^<5/2>dt =2\cdot\frac<(t+2)^<\frac52+1>><\frac72>|_<0>^<7>=\frac47\cdot 9^<\frac72>-0=\frac47\cdot 3^7\approx 1250\ \text <(м)>\end

Пример 2. . Сила тока в проводнике изменяется по закону \(I(t)=e^<-t>+2t\) (время в секундах, ток в амперах). Какой заряд пройдет через поперечное сечение проводника за время от второй до шестой секунды?
Заряд: \begin Q(t)=\int_^I(t)dt \end По условию: \begin Q=\int_<2>^<6>(e^<-t>+2t)dt=(-e^<-t>+t^2)|_<2>^<6>=-e^<-6>+6^2+e^<-2>-2^2=\frac<1>-\frac<1>+32=\\ =\frac+32\approx 32,1\ \text <(Кл)>\end

Пример 3*. Найдите путь, который пройдет тело от начала движения до возвращения в исходную точку, если его скорость \(v(t)=18t-9t^2\) (время в секундах, скорость в м/с). Движение тела прямолинейное.

Если тело вернулось в исходную точку, оно меняло направление движения.
В момент разворота скорость равна нулю. Решаем уравнение: $$ 18t-9t^2=0\Rightarrow 9t(2-t)=0\Rightarrow \left[ \begin t=0\\ t=2 \end \right. $$ \(t=0\) – начало движения, \(t=2\) — разворот.

Ответ: 24 м

Пример 4*. Найдите работу, которую необходимо совершить, чтобы выкачать воду из полусферического котла радиуса R м.

Пример 4
Найдем работу \(dA\), которую нужно совершить, чтобы выкачать слой воды толщиной \(dH\) с глубины \(H\).
Радиус слоя на глубине \(H:\ r^2=R^2-H^2\) — по теореме Пифагора.
Объем слоя воды: \(dV=\pi r^2 dH=\pi(R^2-H^2)dH\)
Масса слоя воды: \(dm=\rho dV=\pi\rho(R^2-H^2)dH\)
Работа по подъему слоя на высоту \(H\): $$ dA=dm\cdot gH=\pi\rho gH(R^2-H^2)dH $$ Получаем интеграл: \begin A=\int_<0>^dA=\int_<0>^\pi\rho gH(R^2-H^2)dH=\pi\rho g\int_<0>^(HR^2-H^3)dH=\\ =\pi\rho g\left(\frac<2>R^2-\frac<4>\right)|_<0>^=\pi\rho g\left(\frac<2>-\frac<4>-0\right)=\frac\pi 4=\rho gR^4 \end Ответ: \(A=\frac\pi 4=\rho gR^4\)

Пример 5*. Какую работу выполняют при запуске ракеты массой m кг с поверхности планеты на высоту h м, если радиус планеты равен R м и масса планеты равна M кг?
Сравните работу при запуске ракеты с Земли и Луны на высоту одного радиуса небесного тела, если ускорение свободного падения на поверхности Луны \(g_M=1,62\) м/с 2 , радиус Луны \(R_M=1737\) км; для Земли соответственно \(g_E=9,81\) м/с 2 \(R_E=6371\) км.

Ускорение свободного падения на поверхности планеты: \(g_0=G\frac\)
Ускорение свободного падения при подъеме на высоту x: \begin g(x)=G\frac <(R+x)^2>\end Работа по преодолению силы тяжести \(F(x)=mg(x)\) при подъеме ракеты на высоту h: \begin A=\int_<0>^mg(x)dx=m\int_<0>^G\frac<(R+x)^2>dx=GmM\int_<0>^\frac<(R+x^2)>=\\ =GmM\cdot\left(-\frac<1>\right)|_<0>^=GmM\cdot\left(-\frac<1>+\frac1R\right)=GmM\left(\frac1R-\frac<1>\right)=\\ =GmM\frac=GmM\frac \end Также, если выразить работу через ускорение свободного падения на поверхности планеты: $$ A=\frac\frac=mg_0\frac


$$ Работа по запуску на высоту одного радиуса небесного тела \(h=R\): $$ A(R)=mg_0\frac<2R>=\frac <2>$$ Отношение работ по запуску на один радиус на Земле и Луне: $$ \frac=\frac=\frac,\ \ \frac=\frac<9,81\cdot 6371><1,62\cdot 1737>\approx 22,2 $$ На Земле работа в 22,2 раза больше.

Источник