Меню

Дифференциальное уравнение для силы тока

Нестационарные процессы в электрических цепях , страница 8

напряжение и ток в момент непосредственно перед коммутацией,

напряжение и ток в момент коммутации,

напряжение и ток непосредственно после коммутации.

Сформулируем законы коммутации:

— ток в индуктивности скачком не изменяется.

— напряжение на емкости скачком не изменяется.

Начальными условиями называют значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях непосредственно до коммутации. Различают нулевые и ненулевые начальные условия.

ПРИМЕР I. Определить начальные условия в цепи (рис. 2.2). Напряжение на емкости до коммутации было равно нулю, поэтому — нулевые начальные условия.

Определить начальные условия (рис. 2.3). До коммутации в цепи протекал ток по цепи: от «+» источника через ключ, индуктивность , сопротивление к «-» источника.

При этом, по закону Ома ток в цепи равен: ,

а напряжение на емкости равно

Вывод: ненулевые начальные условия

2.2. Алгоритм составления и решения дифференциальных уравнений электрических цепей

При анализе переходных процессов классическим методом составляют уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляют по законам Кирхгофа (как правило), при этом используют соотношения между токами и напряжениями для элементов цепи.

Рассмотрим пример составления дифференциального уравнения цепи, приведенной на рисунке 2.4. Согласно II закону Кирхгофа для любого момента времени в этой цепи имеем

Это уравнение необходимо преобразовать так, чтобы в него входила только одна искомая функция — ток или напряжение: или .

Подставляя приведенные выше соотношения, получим:

Продифференцировав это уравнение по , и разделив правую и левую части равенства на , получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка

Можно показать, что порядок дифференциального уравнения одноконтурной цепи определяется числом разнотипных накопительных элементов.

Решение дифференциального уравнения может быть представлено в виде

где — свободная составляющая — общее решение однородного дифференциального уравнения (без правой части),

— принужденная составляющая, рассчитывается в установившимся режиме (t= ).

Свободную составляющую обычно находят в виде суммы экспоненциальных функций:

где — порядок дифференциального уравнения,

— корни характеристического уравнения, получаемого из дифференциального уравнения путем замены

Корни характеристического уравнения для пассивных электрических цепей могут быть либо отрицательными, либо комплексно-сопряженными с отрицательной вещественной частью. Поэтому при стремится к нулю. Следовательно, решение дифференциального уравнения при стремится к , которая может быть найдено, если задана функция , характеризующая действие источника энергии. В частных случаях, когда к цепи подключаются источники постоянного и синусоидального напряжений, составляющую определяют методами расчета для установившегося режима.

Отыскание постоянных интегрирования Ак проводят, исходя из начальных условий.

Учитывая вышеизложенное, сформулируем АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДОВ ПРОЦЕССОВ в цепях классическим методом.

1. Для цепи, сформированной в результате коммутации, составляют дифференциальное уравнение -го порядка, в которое входит только одна искомая функция тока или напряжения. В качестве такой функции выбирают ту, которая согласно законам коммутации, скачком не изменяется.

2. Записывают характеристическое уравнение и определяют его корни:

3. Определяют начальные условия в цепи: .

4. Определяют принужденную составляющую .

5. Искомую функцию записывают в общем виде как сумму , определяют ее производные и путем решения полученной системы уравнений с учетом начальных условий, определяют постоянные интегрирования .

6. Записывают окончательное выражение искомой функции, определяют остальные функции тока или напряжения и строят графики их зависимости от времени.

По этому алгоритму проведем анализ переходных процессов в неразветвленных цепях первого и второго порядка.

2.3. Свободные процессы в цепях первого порядка. Длительность свободных процессов

2.3.1. Свободные процессы в — цепи

Свободные процессы в — цепи могут происходить при отсутствии в ней источников и ненулевых начальных условиях. Качественный анализ процессов в схеме, приведенной на рисунке, показывает, что до коммутации емкость С была заряжена до напряжения, равного э.д.с. источника , токи во всех участках цепи отсутствовали. После коммутации емкость С разряжается через сопротивление , напряжение на емкости будет уменьшаться, а соответственно и на сопротивлении, разрядный ток будет уменьшаться от величины

Из приведенного выражения видно, что разрядный ток будет тем меньше, чем больше r и наоборот. Длительность переходных процессов будет тем больше, чем больше r, а также чем больше C, т.к. большая емкость содержит больший заряд.

Найдем законы изменения напряжений , и ток путем точного анализа процессов по сформулированному ранее алгоритму.

1. Составление дифференциального уравнения.

Согласно II закону Кирхгофа для цепи, сформулированной в результате коммутации, имеем . В качестве исходной функции выберем , т.к. в результате коммутации именно напряжение на емкости скачком не изменяется

2. Запишем характеристическое уравнение ,

и найдем его корень , где — постоянная времени цепи.

3. Определим начальное условие: — напряжения на емкости до коммутации равно величине э.д.с. источника

4. Расчет принужденной составляющей: напряжение на емкости при уменьшится до нуля

5. Запишем искомую функцию в общем виде как сумму

с учетом начальных условий, найдем постоянную интегрирования

6. Окончательное выражение искомой функции имеет вид:

Графики , приведены на рисунке 2.6. Значение напряжения на емкости до коммутации равно , а ток в цепи отсутствовал, что отражено на графике. На графике видно, что за время, равное напряжение на емкости и разрядный ток уменьшается в раз, так как и

  • АлтГТУ 419
  • АлтГУ 113
  • АмПГУ 296
  • АГТУ 267
  • БИТТУ 794
  • БГТУ «Военмех» 1191
  • БГМУ 172
  • БГТУ 603
  • БГУ 155
  • БГУИР 391
  • БелГУТ 4908
  • БГЭУ 963
  • БНТУ 1070
  • БТЭУ ПК 689
  • БрГУ 179
  • ВНТУ 120
  • ВГУЭС 426
  • ВлГУ 645
  • ВМедА 611
  • ВолгГТУ 235
  • ВНУ им. Даля 166
  • ВЗФЭИ 245
  • ВятГСХА 101
  • ВятГГУ 139
  • ВятГУ 559
  • ГГДСК 171
  • ГомГМК 501
  • ГГМУ 1966
  • ГГТУ им. Сухого 4467
  • ГГУ им. Скорины 1590
  • ГМА им. Макарова 299
  • ДГПУ 159
  • ДальГАУ 279
  • ДВГГУ 134
  • ДВГМУ 408
  • ДВГТУ 936
  • ДВГУПС 305
  • ДВФУ 949
  • ДонГТУ 498
  • ДИТМ МНТУ 109
  • ИвГМА 488
  • ИГХТУ 131
  • ИжГТУ 145
  • КемГППК 171
  • КемГУ 508
  • КГМТУ 270
  • КировАТ 147
  • КГКСЭП 407
  • КГТА им. Дегтярева 174
  • КнАГТУ 2910
  • КрасГАУ 345
  • КрасГМУ 629
  • КГПУ им. Астафьева 133
  • КГТУ (СФУ) 567
  • КГТЭИ (СФУ) 112
  • КПК №2 177
  • КубГТУ 138
  • КубГУ 109
  • КузГПА 182
  • КузГТУ 789
  • МГТУ им. Носова 369
  • МГЭУ им. Сахарова 232
  • МГЭК 249
  • МГПУ 165
  • МАИ 144
  • МАДИ 151
  • МГИУ 1179
  • МГОУ 121
  • МГСУ 331
  • МГУ 273
  • МГУКИ 101
  • МГУПИ 225
  • МГУПС (МИИТ) 637
  • МГУТУ 122
  • МТУСИ 179
  • ХАИ 656
  • ТПУ 455
  • НИУ МЭИ 640
  • НМСУ «Горный» 1701
  • ХПИ 1534
  • НТУУ «КПИ» 213
  • НУК им. Макарова 543
  • НВ 1001
  • НГАВТ 362
  • НГАУ 411
  • НГАСУ 817
  • НГМУ 665
  • НГПУ 214
  • НГТУ 4610
  • НГУ 1993
  • НГУЭУ 499
  • НИИ 201
  • ОмГТУ 302
  • ОмГУПС 230
  • СПбПК №4 115
  • ПГУПС 2489
  • ПГПУ им. Короленко 296
  • ПНТУ им. Кондратюка 120
  • РАНХиГС 190
  • РОАТ МИИТ 608
  • РТА 245
  • РГГМУ 117
  • РГПУ им. Герцена 123
  • РГППУ 142
  • РГСУ 162
  • «МАТИ» — РГТУ 121
  • РГУНиГ 260
  • РЭУ им. Плеханова 123
  • РГАТУ им. Соловьёва 219
  • РязГМУ 125
  • РГРТУ 666
  • СамГТУ 131
  • СПбГАСУ 315
  • ИНЖЭКОН 328
  • СПбГИПСР 136
  • СПбГЛТУ им. Кирова 227
  • СПбГМТУ 143
  • СПбГПМУ 146
  • СПбГПУ 1599
  • СПбГТИ (ТУ) 293
  • СПбГТУРП 236
  • СПбГУ 578
  • ГУАП 524
  • СПбГУНиПТ 291
  • СПбГУПТД 438
  • СПбГУСЭ 226
  • СПбГУТ 194
  • СПГУТД 151
  • СПбГУЭФ 145
  • СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
  • ПИМаш 247
  • НИУ ИТМО 531
  • СГТУ им. Гагарина 114
  • СахГУ 278
  • СЗТУ 484
  • СибАГС 249
  • СибГАУ 462
  • СибГИУ 1654
  • СибГТУ 946
  • СГУПС 1473
  • СибГУТИ 2083
  • СибУПК 377
  • СФУ 2424
  • СНАУ 567
  • СумГУ 768
  • ТРТУ 149
  • ТОГУ 551
  • ТГЭУ 325
  • ТГУ (Томск) 276
  • ТГПУ 181
  • ТулГУ 553
  • УкрГАЖТ 234
  • УлГТУ 536
  • УИПКПРО 123
  • УрГПУ 195
  • УГТУ-УПИ 758
  • УГНТУ 570
  • УГТУ 134
  • ХГАЭП 138
  • ХГАФК 110
  • ХНАГХ 407
  • ХНУВД 512
  • ХНУ им. Каразина 305
  • ХНУРЭ 325
  • ХНЭУ 495
  • ЦПУ 157
  • ЧитГУ 220
  • ЮУрГУ 309

Полный список ВУЗов

  • О проекте
  • Реклама на сайте
  • Правообладателям
  • Правила
  • Обратная связь
Читайте также:  Как найти потерю тока в машине

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Источник



Теоретическое введение. 6.2.1. Дифференциальное уравнение вынужденных электрических колебаний.

date image2018-01-08
views image305

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

6.2.1. Дифференциальное уравнение вынужденных электрических колебаний.

L R C
U=Usinωt

В любой момент времени для замкнутого контура должен выполняться второй закон Кирхгофа:

(1)

Здесь UC – падение напряжения на конденсаторе, UR – падение напряжения на резисторе, εS – ЭДС самоиндукции и U – внешнее напряжение. Но:

; ;

Следовательно, (1) можно представить в виде:

(2)

Дифференцируя (2) по времени и учитывая, что , получим дифференциальное уравнение вынужденных электрических колебаний в последовательном электрическом контуре:

(3)

Уравнение (3) есть неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно силы тока I.

Ясно, что вынужденные колебания тока имеют ту же частоту ω, что и внешнее напряжение. Поэтому решение уравнения (3) можно представить в виде:

, (4)

где I (амплитуда тока) и φ (начальная фаза) пока не известны.

6.2.2. Частные случаи решения дифференциального уравнения.

Для определения I и φ рассмотрим частные случаи решения (3) с привлечением векторной диаграммы тока и напряжений.

Дифференциальное уравнение (3) принимает вид:

Разделяя переменные и выполняя операцию интегрирования, получим:

(5)

амплитуда тока

Сравнивая (5) с внешним напряжением U, приходим к выводу: колебания напряжения и силы тока в цепи с активным сопротивлением R проходят в одной фазе (напряжение и сила тока одновременно достигают своих минимальных и максимальных значений).

L
U=Usinωt

Дифференциальное уравнение (3) принимает вид:

Интегрируя последнее выражение, получим

,

Выполняя повторное интегрирование, приходим к закону изменения силы тока во времени:

, (6)

где амплитуда тока.

Из (6) следует, что в цепи с индуктивностью L сила тока отстает в своем изменении во времени от напряжения на угол π/2.

Дифференциальное уравнение (3) принимает вид:

, (7)

где амплитуда тока.

Из (7) следует, что в цепи с емкостью C сила тока в своем изменении во времени опережает напряжение на угол π/2.

6.2.3. Векторная диаграмма тока и напряжений амплитудных значений. Закон Ома для цепи переменного тока.

Построим векторную диаграмму тока и напряжений для электрической цепи последовательно соединенных R, L, и C (рис.1)

За ось диаграммы примем ось тока (рис.5), на которой от начала диаграммы отложим амплитуду тока I (в последовательной цепи R, L, и C сила тока одна и та же для всех элементов).

U0L (U0L— UС) +π/2 φ –π/2 U0C
U I U0R ось токов

На активном сопротивлении R (резисторе) напряжение по фазе совпадает с током, а его амплитудное значение UR=IR отложим на оси тока.

На индуктивности напряжение опережает ток на π/2 (угол +π/2 отсчитывается против часовой стрелки), а амплитуда напряжения UL=ωLI

На емкости напряжение отстает от тока на π/2 (угол –π/2 отсчитывается по часовой стрелке), а амплитуда напряжения U=(1/ωС)I.

Как видно из рис.5 результирующее напряжение:

,

,

(8)

Формула (8) есть закон Ома для цепи переменного тока. В отличие от закона Ома для постоянного тока, выражение (8) справедливо только для амплитудных значений силы тока и напряжения.

Отметим также, что ввиду инерционности электрические приборы фиксируют так называемые эффективные значения силы тока и напряжения, которые в раз меньше амплитудных, т.е. Iэф=I/ и Uэф=U/

Следовательно (8) можно представить в виде:

(9)

Из векторной диаграммы (рис.5) следует, что в общем случае изменение напряжения не совпадает по фазе с изменением силы тока, так, что имеется сдвиг фаз (угол φ), величину которого можно рассчитать по формуле:

(10)

6.2.4. Явление резонанса напряжений.

Как показывает (9), величина силы тока при заданных R, L, C существенно зависит от частоты ω переменного напряжения. Наибольшего значения сила тока достигает при

(11)

где ω / значение частоты напряжения, при которой выполняется (11). Из (11) следует, что

,

что совпадает с собственной частотой ω колебаний электрического контура.

(12)

амплитуда переменного тока (или эффективное значение силы тока) достигает максимального значения:

(13)

При этом цепь последовательно соединенных R, L, C работает как чисто активное сопротивление.

Явление резкого возрастания силы тока в последовательной цепи переменного тока при совпадении частоты переменного напряжения ω с собственной частотой контура ω называется электрическим резонансом (точнее резонансом напряжений).

Величины XL=ωL и XС=1/ωС, входящие в формулы (8) и (9) носят названия соответственно индуктивного и емкостного сопротивлений. Иначе эти сопротивления называют реактивными. В отличие от активного (омического) сопротивления на реактивных сопротивлениях не происходит выделения ленц-джоулева тепла.

Источник

Дифференциальное уравнение для силы тока

О теле электрическом я пою.

Одной из областей, в которой применение дифференциальных уравнений оказывается наиболее эффективным, является теория электрических цепей. Электрическая цепь представляет собой сеть (если угодно, конечный граф), состоящую из узлов, между которыми включены элементы цепи . Простейшими (и одновременно, важнейшими) элементами электрических цепей являются сопротивления , индуктивности и емкости . Каждый из этих элементов представляет собой двухполюсник , каждый из них имеет два полюса (вывода, контакта), которыми они присоединяются к узлам цепи. Стандартные их обозначения приведены на .

Распределение электрических зарядов в цепи в каждый момент времени в каждом узле создает (электрический) потенциал. Если двухполюсник включен между узлами a и b цепи (такой двухполюсник мы в дальнейшем будем обозначать ab ) с потенциалами и то на нем возникает разность потенциалов ( падение напряжения ) Эта разность потенциалов вызывает движение зарядов через двухполюсник, называемое током . Интенсивность этого движения называется силой тока и обозначается Ясно, что и Разность потенциалов на двухполюснике и сила тока, протекающего через него, не являются независимыми. Они связаны физическими законами, которые с достаточной точностью математически выражаются равенствами ( законами функционирования ): для сопротивления (индекс ниже опускается)

(это равенство называют законом Ома ), для индуктивностей

u = Li ′ (2)

(штрих здесь и ниже означает дифференцирование по t ) и для емкостей

i = Cu ′. (2)

Числа R , L и C обозначают (положительные) величины, характеризующие физические свойства соответствующего двухполюсника и также называются сопротивлением , индуктивностью и емкостью .

Задача О36.1. Покажите, что если через индуктивность течет постоянный ток, то разность потенциалов на ней равна нулю, а если разность потенциалов на емкости постоянна, то через нее не течет ток.

Рассчитать электрическую цепь — это значит найти величины токов, протекающих в каждый момент времени через каждый элемент цепи, или, что эквивалентно, указать потенциал в каждом узле цепи в каждый момент времени. Для этого составляется система дифференциальных уравнений, описывающая цепь. Эта система составляется с помощью законов Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа гласит: для любого узла цепи сумма всех токов, втекающих в узел изо всех элементов, подключенных к данному узлу, равна нулю . Например, если в цепи имеются только двухполюсники и все двухполюсники, подключенные к узлу b , то

i a 1 b ( t ) + . + i a k b ( t ) = 0.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа , сумма падений напряжений на всех элементах цепи, включенных в замкнутый контур, равна нулю . При этом замкнутым контуром цепи называется последовательность узлов a 1 , . a k такая, что между парами a 1 и a 2 , a 2 и a 3 , . a k –1 и a k , a k и a 1 включены элементы. В частности, в случае цепи из двухполюсников

u a 1 a 2 ( t ) + u a 2 a 3 ( t ) + . + u a k –1 a k ( t ) + u a k a 1 ( t ) = 0.

Известно (это теорема), что законы Кирхгофа вместе с законами функционирования элементов дают достаточное число уравнений для неизвестных токов и разностей потенциалов на каждом элементе .

Простейшим примером электрической цепи является колебательный контур (или LRC-цепь ), схема которого изображена на . В силу первого закона Кирхгофа обозначим этот ток через Далее, по второму закону Кирхгофа

u ab ( t ) + u bc ( t ) + u ca ( t ) = 0, (4)

u ab = Ri , u bc = Li ′, u ′ ca = i / C .(5)

Ri + Li ′ + u ca = 0.

Дифференцируя последнее равенство и используя (5), после несложных преобразований, получаем

i ′′ + R L i ′ + 1 LC i = 0.

Это и есть дифференциальное уравнение, описывающее колебательный контур. Оно полностью совпадает с уравнением линейного осциллятора с трением.

Задача О36.2. Исследуйте работу колебательного контура. Покажите, что в нем могут быть незатухающие колебания в том и только том случае, когда (сопротивление отсутствует).

Задача О36.3. Выведите уравнение работы колебательного контура с источником тока (см. ); здесь новый для нас двухполюсник — источник тока , его закон функционирования: где заданная функция времени. Исследуйте функционирование этого колебательного контура в случае, когда (ср. с результатами очерка «Вынужденные колебания линейных систем»).

Описанные выше элементы цепи в разумном приближении линейны: линейные законы не учитывают, например, изменения сопротивления R и индуктивности L при их нагревании протекающим через них током, возможности пробоя конденсатора (емкости) Кроме того, широко распространены цепи, содержащие элементы, которые по существу не допускают линейного описания.

Одним из таких элементов является электронная триод . Он представляет собой трехполюсник. Его полюсы (выводы) a , c и g называются, соответственно, анод , катод и сетка (см. ). Законы функционирования триода с достаточной точностью могут быть описаны соотношениями

i cg ( t ) = 0, i ac ( t ) = f [ u cg ( t )], (6)

где функция f , называемая вольтамперной характеристикой триода , описывающая зависимость анодного тока от сеточного напряжения задана и зависит от физических характеристик конкретной лампы. В общем случае она имеет вид, изображенный на . Мы будем предполагать, что гладкая функция с положительной производной, имеющая в нуле точку перегиба,

Простейшей и широко распространенной электрической цепью с триодом является ламповый генератор (см. ). Он представляет собой колебательный контур bdae , связанный с триодом через элемент, называемый взаимоиндукцией . Последний представляет собой четырехполюсник cgdb , состоящий из двух индуктивностей, подчиняющихся следующим законам функционирования

u cg = L 1 i ′ cg + Mi ′ bd , u bd = Li ′ bd + Mi ′ cg ; (7)

в них L 1 и L — индуктивности, а коэффициент взаимоиндукции .

Выведем уравнение, описывающее работу лампового генератора. Первый закон Кирхгофа для узла a дает уравнение

i da – i ac = i ae ,(8)

а второй закон Кирхгофа для контура aebd — уравнение

u bd + u da + u ae = 0.

Подставляя (1) и (2) в последнее равенство, получаем

Li ′ bd + Ri da + u ae = 0.

Однократное его дифференцирование и закон (3) функционирования емкости приводит к уравнению

Li ′′ bd + Ri ′ da + 1 C i ae = 0.
(9)

Далее, учитывая отсутствие сеточного тока (см. (6)), из уравнения взаимоиндукции (7) получаем

u cg = Mi ′ bd

i ac = f ( Mi ′ bd ). (10)

Если теперь подставить (10) в (8), а получившееся выражение для i ae подставить в (9) и, кроме того, обозначить через i , то мы получим окончательное уравнение

Li ′′ + Ri ′ + 1 C i = 1 C f ( Mi ′).
(11)

Задача О36.4. Выпишите соответствующую уравнению (11) систему дифференциальных уравнений первого порядка.

Задача О36.5. Покажите, что при CR Mf ′(0) единственная (нулевая) стационарная точка этой системы является отталкивающей ( асимптотически устойчивой при

Задача О36.6. Докажите, что любая траектория этой системы ограничена вправо.

Из этих задач, в частности, следует, существование при отличного от состояния равновесия периодического решения уравнения (11). Действительно, Пусть отличная от нулевого состояния равновесия траектория системы, описывающей ламповый генератор. Поскольку она ограничена вправо, ее ω-предельное множество не пусто. Легко видеть, что не может содержать единственную (нулевую) стационарную точку, она является отталкивающей (докажите это!) Поэтому в силу теоремы Бендиксона является циклом. Таким образом при в ламповом генераторе возникают и поддерживаются незатухающие колебания.

Задача О36.7. (Для знающих радиотехнику). Чем компенсируется в этих автоколебаниях потери энергии на сопротивлении?

Уравнение (11) служит источником различных популярных и важных именных дифференциальных уравнений.

Задача О36.8. Покажите, что заменой уравнение (11) приводится к уравнению Рэлея

LCx ′′ + F ( x ′) + x = 0,

где F ( x ) = RCx – f ( Mx ) + f (0).

Другое уравнение — уравнение Ван дер Поля — получается из уравнения Рэлея в предположении, что вольтамперная характеристика может быть аппроксимирована кубическим полиномом и члены более высокого порядка в уравнении можно отбросить. Другими словами, предполагается, что

f ( x ) = f (0) + f ′′(0) x + 1 6 f ′′′(0) x 3

(здесь мы используем тот факт, что Тогда

F ( x ) = ax – bx 3 ,

причем, a = RC – Mf ′(0) b = 1 / 6 f ′′(0) LCx ′′ + [ a – b ( x ′) 2 ] x ′ + x = 0.

(12)

Задача О36.9. Докажите, что заменой уравнение (12) переписывается в виде

y ′′ + λ[( y ′) 2 – 1] y ′ + y = 0,

в котором λ = – a /( LC ) 1/2 .

Если теперь последнее уравнение продифференцировать (по τ) и в качестве новой неизвестной функции z взять то мы получим собственно уравнение Ван дер Поля

z ′′ + λ( z 2 – 1) z ′ + z = 0

Литературные указания. Фактически, ни один учебник по теоретическим основам электро- и радиотехники не обходится без использования дифференциальных уравнений. Описание приложений ОДУ в этих областях встречается также и во многих учебниках по теории дифференциальных уравнений (см., напр., [ Хайкин, Митропольский, Понтрягин, Стокер, Плейс]).

Задачи. О36.10. Докажите, уравнения, отвечающие контурам, изображенным на и 7б, экспоненциально устойчивы, а на — устойчиво по Ляпунову.

О36.12. Рассмотрим колебательный контур с источником тока (см. ) с источником тока Найдите резонансную частоту колебательного контура. В частности, покажите, что резонансная частота не зависит от R , а зависит от LC . Поэтому настраивать на резонанс можно только меняя L C (в радиоприемниках для настройки на частоту принимаемой радиостанции обычно используется переменный конденсатор).

О36.13. Пусть мы находимся в условиях предыдущей задачи. Импедансом цепи (в данном случае колебательного контура) называется отношение амплитуды A вынуждающих гармонических колебаний к амплитуде a установившихся гармонических колебаний. Исследуйте зависимость импеданса от ω. В частности покажите, что импеданс минимален при резонансной частоте, а также, что минимум импеданса по частоте стремится к нулю при

О36.14. Исследуйте уравнение для тока, текущего через индуктивность, описывающее электрическую цепь, изображенную на . Исследуйте для этой цепи вопросы, аналогичные сформулированным в задачах О36.12, О36.13.

О36.15. Докажите, что замена переменных новое время) преобразует уравнение Ван дер Поля в систему

ε x ′ 1 = x 2 – x 1 3 3 + x 1 ,

x ′ 2 = – x 1

О36.16. Поясните, опираясь на результаты очерка Дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной, наличие у уравнения Ван дер Поля при больших λ релаксационных колебаний.

О36.17. Выпишите уравнения, описывающие работу лампового генератора, изображенного на . В нем постоянный источник тока:

О36.18. Докажите, что в ламповом генераторе, изображенном на , возникают и поддерживаются автоколебания, соответствующее уравнение имеет предельный цикл.

О36.19. (А.А. Андронов). Рассмотрите случай, когда в уравнении (12) вольтамперная характеристика имеет вид

f ( x ) = < 0 при x > 0,

1 при x ≤ 0.

(Решение уравнения (12) понимается в смысле Каратеодори) Покажите, что в этом случае уравнение (12) имеет единственный предельный цикл, причем этот цикл является орбитально асимптотически устойчивым.

О36.20. Рассмотрим колебательный контур, в котором вместо обычного (линейного) сопротивления включено так называемое нелинейное сопротивление с кубической вольтамперной характеристикой : закон его функционирования имеет вид (см. ). Выпишите уравнение, описывающее работу этого контура.

О36.21. Покажите, что при малых L / C в колебательном контуре с нелинейным сопротивлением возникают релаксационные колебания.

File based on translation from T E X by T T H, version 2.32.
Created On 27 Mar 2000, 10:41.
Last modified 6 May 2002.

Источник

Дифференциальное уравнение для силы тока

последовательная RLC-цепь

параллельная RLC-цепь

Выведем дифференциальное уравнение, описывающее закон изменения тока в последовательной \(RLC\)-цепи .

Напряжения \(,,,\) соответственно, на резисторе \(R,\) конденсаторе \(C\) и катушке индуктивности \(L\) выражаются формулами \[ <\left( t \right) = RI\left( t \right),>\;\; <\left( t \right) = \frac<1>\int\limits_0^t ,>\;\; <\left( t \right) = L\frac<><

>.> \] Из второго закона Кирхгофа следует, что \[\left( t \right) + \left( t \right) + \left( t \right) = E\left( t \right),\] где \(E\left( t \right)\) − электродвижущая сила (э.д.с.) источника питания.

В случае постоянной э.д.с. \(E\) после подстановки выражений для \(,\) и \(,\) и последующего дифференцирования получаем следующее дифференциальное уравнение: \[\frac<<I\left( t \right)>><>> + \frac\frac<><

> + \frac<1><>I\left( t \right) = 0.\] Если ввести обозначения \(2\beta = <\large\frac\normalsize>,\;\omega _0^2 = <\large\frac<1><>\normalsize>,\) то уравнение записывается в виде \[\frac<<I>><>> + 2\beta \frac<><
> + \omega _0^2I = 0.\] Данное дифференциальное уравнение совпадает с уравнением, описывающим затухающие колебания грузика на пружинке . Следовательно, в последовательной \(RLC\)-цепи при определенных значениях параметров также могут возникать затухающие колебания.

Теперь рассмотрим параллельную \(RLC\)-цепь и выведем для нее аналогичное дифференциальное уравнение.

По первому закону Кирхгофа полный ток будет равен сумме токов через сопротивление \(R,\) катушку индуктивности \(L\) и конденсатор \(C\) (рисунок \(2\)): \[\left( t \right) + \left( t \right) + \left( t \right) = I\left( t \right).\] Учитывая, что \[ <= \frac,>\;\;\; <= \frac<1>\int\limits_0^t ,>\;\;\; <= C\frac<><

>,> \] для случая постоянного полного тока \(I\left( t \right) = \) получаем следующее дифференциальное уравнение \(2\)-го порядка относительно переменной \(V:\) \[ <\frac + \frac<1>\int\limits_0^t + C\frac<><
> = ,>\;\; <\Rightarrow C\frac<<V>><>> + \frac<1>\frac<><
> + \frac<1>V = 0.> \] Как видно, мы снова приходим к уравнению, описывающему затухающие колебания. Таким образом, колебательный режим может возникать и в параллельных \(RLC\)-цепях .

Выше мы получили дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее затухающие колебания в последовательном \(RLC\)-контуре , которое записывается как \[\frac<<I>><>> + \frac\frac<><

> + \frac<1><>I = 0.\] Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид \[ <\lambda ^2>+ \frac\lambda + \frac<1><> = 0.\] Его корни вычисляются по формулам: \[ <<\lambda _<1,2>> = \frac<< - \frac \pm \sqrt <\frac<<>><<>> — \frac<4><>> >> <2>> = < - \frac<<2L>> \pm \sqrt <<<\left( <\frac<<2L>>> \right)>^2> — \frac<1><>> > = < - \beta \pm \sqrt <<\beta ^2>— \omega _0^2> ,> \] где величина \(\beta = \large\frac<<2L>>\normalsize\) называется коэффициентом затухания , а \(<\omega_0>\) − резонансной частотой колебательного контура.

В зависимости от значений параметров \(R, L, C\) могут возникнуть три режима.

три режима затухания электрических колебаний

определение ширины резонансной кривой

Если колебательный контур содержит генератор с периодически изменяющейся э.д.с., то в нем устанавливаются вынужденные колебания . Если э.д.с. \(E\) источника тока изменяется по закону \[E\left( t \right) = \cos \omega t,\] то дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в последовательной \(RLC\)-цепи записывается в виде \[ <\frac<<q\left( t \right)>><>> + \frac\frac<><

> + \frac<1><>q\left( t \right) = \frac<1>\cos \omega t>\;\; <\text<или>\;\;\frac<<q>><>> + 2\beta \frac<><
> + \omega _0^2q = \frac<<>>\cos \omega t,> \] где \(q\) − заряд конденсатора, \(2\beta = \frac,\;\omega _0^2 = \frac<1><>.\)

Данное уравнение аналогично уравнению вынужденных колебаний пружинного маятника, рассмотренного на странице Механические колебания . Его общее решение представляет собой сумму двух слагаемых − общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. При этом общее решение однородного уравнения описывает затухающий переходный процесс, по истечении которого в системе устанавливаются вынужденные колебания . Эти вынужденные колебания будут происходить по закону \[ = <\frac<<>><> \right)>^2> + 4<\beta ^2><\omega ^2>> >>\cos \left( <\omega t + \varphi >\right) > = <\frac<<>> <<\omega \sqrt <+ <<\left( <\omega L - \frac<1><<\omega C>>> \right)>^2>> >>\cos \left( <\omega t + \varphi >\right),> \] где фаза \(\varphi\) определяется формулой \[ <\varphi = \arctan \left( < - \frac<<2\beta \omega >><<\omega _0^2 - <\omega ^2>>>> \right) > = <\arctan \frac<<\omega L - \frac<1><<\omega C>>>>.> \] Зная закон изменения заряда \(q\left( t \right),\) легко найти закон изменения тока \(I\left( t \right):\) \[ ><

> > = < - \frac<<>> <<\sqrt <+ <<\left( <\omega L - \frac<1><<\omega C>>> \right)>^2>> >>\sin\left( <\omega t + \varphi >\right) > = <\frac<<>> <<\sqrt <+ <<\left( <\omega L - \frac<1><<\omega C>>> \right)>^2>> >>\cos\left( <\omega t - \theta >\right),> \] где введен угол \(\theta,\) равный \(\theta = — \left( <\varphi + \frac<\pi ><2>> \right).\) Угол \(\theta\) показывает отставание колебаний тока \(I\left( t \right)\) по отношению к колебаниям напряжения источника питания \(E\left( t \right) = \cos \omega t.\)

Амплитуда тока \(\) и сдвиг фаз \(\theta\) определяются формулами \[ <= \frac<<>> <<\sqrt <+ <<\left( <\omega L - \frac<1><<\omega C>>> \right)>^2>> >> = \frac<<>>,>\;\;\; <\theta = \arctan \frac<<\omega L - \frac<1><<\omega C>>>>.> \] Величина \(Z = \sqrt <+ <<\left( <\omega L - \large\frac<1><<\omega C>>\normalsize> \right)>^2>> \) называется полным сопротивлением или импедансом контура. Она состоит из омического сопротивления \(R\) и реактивного сопротивления \(<\omega L - \large\frac<1><<\omega C>>>\normalsize\) Импеданс колебательного контура в комплексной форме записывается как \[Z = R + i\left( <\omega L - \frac<1><<\omega C>>> \right).\] Из полученных формул видно, что амплитуда установившихся колебаний тока будет максимальной когда \[\omega L = \frac<1><<\omega C>>\;\;\text<или>\;\;\omega = <\omega _0>= \frac<1> <<\sqrt >>.\] При этом условии в колебательном контуре наступает резонанс . Резонансная частота \(<\omega_0>\) равна частоте свободных колебаний в контуре и не зависит от сопротивления \(R.\)

зависимость амплитуды тока установившихся колебаний от отношения частот при разных значениях сопротивления

зависимость амплитуды тока установившихся колебаний от отношения частот при разных значениях емкости

Резонансные свойства колебательного контура характеризуются добротностью \(Q,\) которая численно равна отношению резонансной частоты \(<\omega_0>\) к ширине резонансной кривой \(\Delta\omega\) на уровне убывания амплитуды в \(\sqrt 2\) раз (см. выше рисунок \(4\)).

В последовательном колебательном контуре добротность вычисляется по формуле \[Q = \frac<1>\sqrt <\frac> .\] Для параллельной \(RLC\)-цепи добротность определяется обратным выражением: \[Q = R\sqrt <\frac> .\]

Закон изменения тока в цепи \(I\left( t \right)\);

Закон изменения напряжения на резисторе \(\left( t \right)\) и на катушке индуктивности \(\left( t \right)\).

Последовательная \(RL\)-цепь описывается дифференциальным уравнением \[L\frac<><

> + RI = .\] В соответствии с общей теорией, решением данного уравнения является сумма общего решения однородного уравнения \(\) и частного решения неоднородного уравнения \(:\) \(I = + .\) Общее решение однородного уравнения \[L\frac<><
> + RI = 0\] выражается функцией \[\left( t \right) = At>>,\] где \(A\) − постоянная интегрирования.

Решение неоднородного уравнения \(\) соответствует установившемуся режиму, при котором ток в цепи определяется лишь омическим сопротивлением \(R:\) \( = \frac<<>>.\) Тогда полный ток будет изменяться по закону \[I\left( t \right) = + = At>> + \frac<<>>.\] Постоянная \(A\) определяется из начального условия \(I\left( \right) = 0.\) Следовательно, \[ <0 = A \cdot 0>> + \frac<<>>,>\;\; <\Rightarrow A = - \frac<<>>.> \] Итак, после замыкания цепи ток будет изменяться по закону \[ >>t>> + \frac<<>> > = <\frac<<>>\left( <1 - t>>> \right) > = <\frac<<200>><<100>>\left( <1 - ><<50>>t>>> \right) > = <2\left( <1 - >> \right)\;\left[ \text \right].> \] График \(I\left( t \right)\) показан на рисунке \(7.\)

изменение тока в RL-цепи

изменение напряжения на резисторе и катушке индуктивности RL-цепи

Закон изменения тока в цепи \(I\left( t \right)\);

Закон изменения напряжения на резисторе \(\left( t \right)\) и конденсаторе \(\left( t \right)\).

Эта задача похожа на предыдущую и отличается от нее лишь типом электрической цепи. В данной задаче рассматривается \(RC\)-цепь.

Согласно \(2\)-му закону Кирхгофа \[\left( t \right) + \left( t \right) = ,\] где напряжение на резисторе равно \[\left( t \right) = I\left( t \right)R = RC\frac<>><

>.\] В результате получаем следующее дифференциальное уравнение для описания переходного процесса в \(RC\)-цепи: \[RC\frac<>><
> + = .\] Решение этого уравнения представляется в виде суммы общего решения однородного уравнения \(V_\text<одн>\) и частного решения неоднородного уравнения \(.\) Однородное уравнение имеет общее решение в виде \[ >><
> + = 0,>\;\; <\Rightarrow \frac<>><
> = — \frac<1><>,>\;\; <\Rightarrow \int <\frac<>><<>>> = — \frac<1><>\int

,>\;\; <\Rightarrow \ln = — \frac<>,>\;\; <\Rightarrow > = A<>\normalsize>>,> \] где \(A\) − постоянная интегрирования, зависящая от начального условия.

Частное решение неоднородного уравнения соответствует установившемуся режиму, при котором \(<\large\frac<>><

>\normalsize> = 0.\) Тогда напряжение на резисторе будет равно нулю и все напряжение будет приложено к конденсатору, то есть \( = .\) Таким образом, изменение напряжения на конденсаторе описывается выражением \[\left( t \right) = A<>\normalsize>> + .\] С учетом начального условия \(\left( \right) = 0\) находим постоянную \(A:\) \[0 = A \cdot 1 + ,\;\; \Rightarrow A = — .\] Следовательно, закон изменения напряжения на конденсаторе будет выглядеть так: \[ <\left( t \right) = — <>\normalsize>> + > = <\left( <1 - <>\normalsize>>> \right) > = <200\left( <1 - >> \right)\;\left[ \text <В>\right].> \] Напряжение на резисторе определяется формулой \[ <\left( t \right) = RC\frac<>><
> > = \frac<
>\left( <1 - <>\normalsize>>> \right) > = <\cancel \cdot \frac<1><\cancel><>\normalsize>> > = <<>\normalsize>> = 200>\;\left[ \text <В>\right].> \] Ток в \(RC\)-цепи будет изменяться по закону \[ I\left( t \right) = \frac<<\left( t \right)>> = \frac<<>><>\normalsize>> = \frac<<200>><<100>>> = 2>\;\left[ \text \right]. \] Графики изменения напряжений \(\left( t \right),\) \(\left( t \right)\) и тока \(I\left( t \right)\) показаны на рисунках \(9\) и \(10.\)

Источник