Меню

Частотные характеристики цепи при резонансе токов

Резонансные режимы двухполюсника

Резонанс – это такой режим электрической цепи, содержащей емкости и индуктивности, при котором общее входное сопротивление или входная проводимость цепи будут чисто активным. В этом режиме цепь потребляет только активную мощность и входные ток и напряжение совпадают по фазе. Различают резонансы напряжений, токов в сложной цепи.

Резонанс напряжений – это резонанс при последовательном соединении участков цепи с индуктивным и емкостным характером (рис. 3.1).

Общее сопротивление цепи . Исходя из определения резонанса запишем условие резонанса: или . В режиме резонанса напряжений за счет компенсации реактивных сопротивлений входное сопротивление цепи будет активным и наименьшим , следовательно, общий ток станет максимальным: .

Резонанс напряжений может быть достигнут изменением частоты, емкости или индуктивности:

— если заданы L и C, то резонансная угловая частота ;

— если заданы L и , то резонансная емкость ;

— если заданы С и , то резонансная индуктивность .

Напряжения на реактивных элементах , будут равны по модулю ( ) и могут значительно превосходить по величине приложенное напряжение. Угол между входным напряжением и током в режиме резонанса записывается в виде и равен нулю. Следовательно, реактивная мощность цепи также равна нулю, и цепь в режиме резонанса потребляет только активную мощность .

При оценке электрических цепей в их способности подавлять или передавать электрические сигналы широко используются частотные характеристики – зависимости параметров цепи от частоты — которые полностью определяют поведение цепи при ее питании от источников периодических сигналов. Различают амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) – это зависимости амплитуд или действующих значений параметров цепи от частоты и фазо-частотные (ФЧХ) – зависимости фаз от частоты. Резонанс

но- частотные характеристики представлены на рис. 3.2.

Как видно из рис. 3.2, входной ток при резонансе резко изменяет свою величину, что приводит к частотным искажениям сигнала. Чтобы эти искажения не превышали нормы, спектр сигнала не должен выходить за пределы полосы пропускания , которая определяется по уровню резонансной кривой тока . По полосе пропускания определяется качество резонансной цепи – ее добротность: . Добротность контура определяет, во сколько раз напряжение на реактивных элементах при резонансе превышает входное:

где — характеристическое сопротивление.

Векторная диаграмма резонанса напряжений представлена на рис. 3.3.

Пример 3.1. В контуре с добротностью Q = 1.73 (рис. 3.4) определить напряжение UV1, если входное напряжение при резонансе 1 В.

Решение.В последовательном колебательном контуре при резонансе UВХ = U = UR, следовательно,
UR = 1В. Добротность цепи при резонансе напряжений определяется как
Q = UL/U, значит UL=QU=1.73B. Напряжение на вольтметре V1 запишется в виде

Резонанс токов – это резонанс при параллельном соединении участков цепи с индуктивным и емкостным характером.

Пусть на вход цепи подано напряжение (рис. 3.5), тогда токи в параллельных ветвях определятся по закону Ома:

где ; ; — проводимости ветвей (1/Ом = См).

Общий ток по первому закону Кирхгофа запишется в виде

где — комплекс полной проводимости цепи.

Исходя из общего определения резонанса, запишем условие резонанса токов: или . В виду того, что реактивные проводимости в режиме резонанса компенсируют друг друга, то результирующая проводимость будет минимальна. Следовательно, при неизменном приложенном напряжении входной ток будет минимальным.

Изменяя частоту при заданном входном напряжении и параметрах цепи, можно построить частотные характеристики (рис. 3.6).

При >> 1 токи и могут значительно превосходить общий ток. Угол между входным током и приложенным напряжением , значит, реактивная мощность в режиме резонанса токов также равна нулю, а активная .

Резонанс токов, как и резонанс напряжений, может быть достигнут изменением частоты, емкости или индуктивности. При этом резонансные величины определяются по формулам:

На рис. 3.7 показана векторная диаграмма резонанса токов.

Добротность контура в данном случае будет определять, во сколько раз токи на реактивных элементах превышают входной ток:

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник



Резонансные режимы в цепи. Резонанс напряжения, резонанс

Токов. Частотные характеристики резонансных цепей

Реактивные сопротивления и проводимости отдельных участков цепи могут быть положительными (индуктивные элементы) и отрицательными (емкостные элементы). Поэтому возможны такие сочетания этих элементов, когда входное реактивное сопротивление или входная реактивная проводимость всей цепи равны нулю. При этом ток и напряжение на входе цепи совпадают по фазе и эквивалентное сопротивление всей цепи является активным. Такие режимы цепи называются резонансными.

Резонанс напряжений. На рис.2.7 приведена цепь, включающая последовательно соединенные активное сопротивление, индуктивность и емкость. При построении векторных диаграмм этой цепи рассмотрен режим, когда индуктивное и емкостное сопротивления одинаковы по величине (рис.2.10). Напряжения на индуктивности и емкости полностью компенсируют друг друга. Ток в цепи совпадает по фазе с входным напряжением. В электрической цепи наступает режим резонанса напряжения.

Ток в резонансном режиме достигает максимума, так как полное сопротивление zцепи имеет минимальное значение:

Условие возникновения резонанса: .

Частоту называют резонансной частотой:

Из (2.46) следует, что режима резонанса можно добиться следующими способами:

1) изменением частоты;

2) изменением индуктивности;

3) изменением емкости.

В резонансном режиме входное напряжение равно падению напряжения в активном сопротивлении. На индуктивности и емкости схемы могут возникнуть напряжения, значительно превышающие напряжение на входе цепи, если реактивные сопротивления значительно превышают активное сопротивление. Напряжение на индуктивности при резонансе равно напряжению на емкости:

Отношение Q называют добротностью контура.

Добротность показывает, во сколько раз напряжения на реактивных элементах превышают входное напряжение в резонансном режиме. В радиотехнических цепях добротность составляет несколько сотен. Резонансные свойства характеризуют также величиной обратной добротности , называемой затуханием контура.

Волновое сопротивление контура или характеристическое сопротивление определяет отношение напряжения на реактивных элементах в резонансном режиме к величине тока:

При резонансе напряжений малые количества энергии, поступающие от источника и компенсирующие потери энергии в активном сопротивлении, достаточны для поддержания незатухающих колебаний относительно больших количеств энергии магнитного и электрического полей. Покажем, что при резонансе в любой момент времени суммарная энергия магнитного и электрического полей остается постоянной:

Пусть ток в резонансном контуре , тогда напряжение на емкости отстает по фазе от тока на 90 0 .

Суммарная энергия магнитного и электрического полей (2.47) равна:

Если в схеме (рис.2.10) величина ЭДС и параметры R, L, C неизменны, но меняется частота , то изменяется реактивное сопротивление X и, следовательно, полное сопротивление угол . Зависимости параметров двухполюсника (действительной и мнимой части входного сопротивления или входной проводимости) от частоты называют частотными характеристиками.

при трех характерных значениях частоты принимает предельные значения, равные нулю, либо бесконечности (рис.2.21).

При , при , при имеет место резонанс напряжений и X=0. Аргумент функции, при котором она принимает бесконечное значение, называется полюсом функции, а аргумент, при котором она принимает нулевое значение, называется нулевым значением. Отметим, что в момент резонанса происходит изменение характера реактивного сопротивления: при реактивное сопротивление имеет емкостной характер, а при — индуктивный характер.

Рис. 2.21

Величина действующего тока в цепи и напряжения на индуктивности и емкости также зависят от изменения частоты:

Зависимости действующих значений тока и напряжений на элементах цепи при изменении частоты называют резонансными кривыми. Резонансные характеристики , , приведены на рис.2.23.

Напряжение на емкости при стремится к U, а при стремится к нулевому значению, напряжение на индуктивности при равно нулю, при стремится к U. При резонансной частоте и взаимно компенсируются, ток цепи максимален, напряжение источника приложено к активному сопротивлению.

Рис. 2.22

Из рис. 2.22 видно, что максимум напряжения на индуктивности и максимум напряжения на емкости имеют место при частотах не равных резонансной частоте. Максимум имеет место при частоте меньшей , а максимум при частоте большей .

В электроэнергетических устройствах влияние резонанса, как правило, нежелательное, так как при резонансе напряжения на индуктивных и емкостных элементах могут значительно превышать номинальные значения. Такие явления могут возникать при подключении к зажимам синхронного генератора или трансформатора длинной линии передачи или кабеля, не замкнутых на приемник нагрузки. Генератор и трансформатор имеют индуктивное сопротивление, а линия или кабель обладают емкостью и индуктивностью. При отсутствии нагрузки на конце линии затухание такой цепи очень мало и возникают перенапряжения, если частота близка к резонансной.

Читайте также:  Механические источники электрического тока примеры

Явление резонанса напряжений широко используется в радиопередающих и радиоприемных устройствах.

Резонанс токов. На рис.2.11 приведена цепь, включающая параллельно соединенные активное сопротивление, идеальная индуктивность и емкость. При построении векторных диаграмм этой цепи рассмотрен режим, когда реактивная проводимость цепи (рис.2.14). При этом индуктивный и емкостный токи, направленные в противоположные стороны, полностью компенсируют друг друга. Ток в неразветвленной части схемы совпадает по фазе с напряжением. В электрической цепи наступает режим резонанса токов.

Из условия возникновения резонанса тока получим формулу для резонансной частоты тока:

Полученное выражение для резонансной частоты совпадает с (2.46). Резонанса токов можно добиться изменением частоты, изменением индуктивности либо емкости.

В режиме резонанса тока полная (входная) проводимость цепи — минимальна, а полное сопротивление — максимально. Ток в неразветвленной части схемы в резонансном режиме имеет минимальное значение, в отличие от резонанса напряжений, когда ток имеет максимальное значение. В идеализированном случае при R = 0,

Ток в неразветвленной части цепи I = 0. Такая схема называется фильтр — пробкой.

При резонансе токов возможны режимы, когда токи через индуктивность и емкость значительно превосходят ток в неразветвленной части схемы. Превышение токов в реактивных элементах над током в неразветвленной части схемы имеет место при условии

Величина имеет размер проводимости и называется волновой проводимостью контура.

Добротность контура Q при резонансе токов определяет кратность превышения тока в индуктивности и емкости над током в неразветвленной части схемы :

Величина обратная добротности является затуханием контура.

Энергетические процессы при резонансе токов аналогичны энергетическим процессам при резонансе напряжений. Малые количества энергии, поступающие от источника и компенсирующие потери энергии в активном сопротивлении, достаточны для поддержания незатухающих колебаний относительно больших количеств энергии магнитного и электрического полей. Суммарная энергия магнитного и электрического полей при резонансе токов также в любой момент времени остается постоянной.

Частотные характеристики проводимостей ветвей с индуктивностью , с емкостью и входной проводимости приведены на рис. 2.23.

Рис. 2.23

При , при , при имеет место резонанс токов и b=0. В момент резонанса происходит изменение характера входной проводимости: при входная проводимость имеет индуктивный характер, а при — емкостной характер.

Резонансные характеристики , , при неизменном входном токе (I = const) и неизменных величинах активного сопротивления, индуктивности и емкости (R = const, L=const, C = const) определяются выражениями

и приведены на рис. 2.24.

При сопротивление индуктивности равно нулю и весь ток протекает через катушку , . При сопротивление конденсатора стремится к нулю и ток проходит только через конденсатор , . При частоте резонанса , токи в индуктивности и конденсаторе взаимно компенсируются, входной ток равен току через активное сопротивление . Максимумы токов через индуктивность и емкость не совпадают с максимумом напряжения при резонансной частоте . Максимум имеет место при частоте меньшей , а максимум при частоте большей .

Рис. 2.24

В энергетике процесс уменьшения угла сдвига фаз между напряжением на приемнике и током, потребляемым из сети, называют компенсацией угла сдвига фаз. Входное сопротивление большинства промышленных предприятий имеет индуктивный характер вследствие массового использования асинхронных двигателей. Для уменьшения величины потребляемого тока за счет компенсации его реактивной составляющей и соответственно потерь электроэнергии в сети, параллельно приемнику энергии включают батареи конденсаторов. Экономически выгодно подключать конденсаторы на возможно более высокое напряжение, так как ток через конденсаторы пропорционален напряжению . Компенсация угла сдвига фаз обычно выполняется до значения коэффициента мощности cos = 0,9 0,95.

Источник

Исследование резонанса токов

Цель работы: Изучение и экспериментальное исследование явления резонанса токов.

Основные теоретические сведения

Резонансом называется такой режим электрической цепи, при которой входной ток совпадает по фазе с входным напряжением, несмотря на наличие в цепи реактивных элементов.

Резонансный режим наступает тогда, когда частота внешних воздействий на систему равна собственной частоте системы,

т.е. частоте преобразования энергии внутри системы из одной формы в другую (энергия магнитного поля в энергию электрического поля и наоборот). Резонанс, таким образом, возникает при наличии в цепи индуктивности и емкости.

Одна из ценных особенностей резонансов — это значительное увеличение напряжений или токов при весьма экономичном использовании электрической энергии.

Резонанса в электрической цепи можно достичь, изменяя либо частоту источника питания, либо индуктивность, либо емкость.

Цепь, находящаяся в резонансном режиме, характеризуется следующим:

входные реактивные сопротивления или проводимости равны нулю:

угол сдвига фаз между входным током и выходным напряжением равен нулю, а коэффициент мощности максимален:

входная мощность чисто активная:

Резонанс токов

Резонанс при параллельном соединении индуктивности и емкости, при взаимной компенсации реактивных составляющих токов в параллельных ветвях, называют резонансом токов.

Если к цепи, изображенной на рис. 5-1, приложено переменное синусоидальное напряжение

iвх = √2Uвхg 2 + σ 2 ∙sin(ωt±φ) = √2Iвх sin(ωt±φ), (5.3)

φ = arctg σ/g; g = R/( R 2 +( ωL) 2 ); σ = σL – σC = ωL/(R 2 +( ωL) 2 ) – ωC

Из приведенного выражения видно, что ток будет совпадать с приложенным напряжением при условии σ = 0 или

ωL/(R 2 +( ωL) 2 ) – ωC = 0, т.е. σL = σC (5.4)

Таким образом, при резонансе токов входная реактивная проводимость цепи равна нулю, а полная проводимость имеет наименьшее значение, поэтому ток в неразветвленной части цепи максимален.

При резонансе токов в параллельных ветвях реактивные составляющие токов равны между собой:

и могут во много раз превышать ток в неразветвленной части цепи, что характеризуется величиной добротности :

ρ = √ L/C. (5.6)

где — волновое или характеристическое сопротивление контура.

Рис. 5-1. Схема замещения параллельной цепи

Векторная диаграмма резонанса токов в цепи (рис. 5-1) имеет вид:

Рис. 5-2. Векторная диаграмма резонанса токов

Нерезонансные режимы

Режимы вне резонанса можно получить, если вывести систему из резонанса, т.е. нарушить условие (5.1), изменяя собственную частоту контура с помощью индуктивности при постоянной емкости , или изменяя емкость при постоянной индуктивности . В результате этой операции можно получить частотные характеристики (рис. 5-3 и рис. 5-4).

Рис. 5-3. Частотные характеристики проводимостей и входного сопротивления параллельной цепи

Рис. 5-4. Частотные характеристики токов и коэффициента мощности параллельной цепи

Следует отметить, что частотные характеристики параллельной цепи обратны по отношению к частотным характеристикам последовательной цепи, это происходит по-тому, что параллельное соединение элементов является обратным последовательному соединению. Острота частотных характеристик зависят от добротности цепи Qg. Чем выше значение добротности, тем более острыми получаются пики кривых и лучше избирательные свойства цепи.

Изменяя величину емкости конденсатора при постоянной индуктивности можно получить графики функциональных зависимостей в параллельной цепи (рис. 5-5) и построить соответствующие векторные диаграммы (рис. 5-6).

Для схемы (рис. 5-1) на основании векторных диаграмм для нерезонансных режимов (рис. 5-6) можно построить треугольник токов для всей цепи (рис. 5-7, a), а также для отдельной ветви в данном случае для ветви с катушкой (рис. 5-7. б). Для этой же ветви построен треугольник сопротивлений на рис. 5-7, в.

Рис. 5-7. Треугольники токов (а, б) и треугольник сопротивлений (в).

Рис. 5-5. Графики функциональных зависимостей в параллельной цепи

Рис. 5-6. Векторные диаграммы параллельной цепи для нерезонансных режимов

В схеме (рис. 5-1) активная составляющая входного тока определяется активной составляющей тока катушки .Если сопротивление ветви с катушкой не изменяется, то , а следовательно, и .

Читайте также:  При движение руки бьет током

Из треугольников рис. 4-7 следует:

Перечень оборудования

1. Источники переменного напряжения 220 В, 36 В, =50 Гц.

2. Катушка индуктивности с ферромагнитным сердечником с подмагничиванием

3. (подмагничивание постоянным током уменьшает эквивалентную индуктивность катушка).

4. Батарея конденсаторов со ступенчатым регулированием 94 мкФ.

5. Вольтметр 100 В.

6. Амперметры – 3 шт. с пределом измерений 2 А.

Содержание работы

Исследовать дорезонансный, резонансный и послерезонансный режимы параллельной цепи изменением индуктивности при постоянной емкости и изменением емкости при постоянной индуктивности. Измерить параметры катушки при помощи амперметра, вольтметра и ваттметра.

Порядок выполнения работы

1. Собрать схему для исследования параллельной цепи (рис. 5-8).

2. Ключ В1 замкнут. Включаем выключатели батареи конденсаторов, набираем суммарную емкость =30 мкФ. Включаем источник питания тумблерами. Изменяя индуктивность катушки, устанавливаем резонансный режим, который определяется по максимальному показанию амперметра Авх. Показания приборов занести в таблицу 1.

Рис. 5-8. Схема исследования параллельной цепи.

3. Изменяя индуктивность катушки, установить дорезонансный режим ( уменьшается), затем послерезонансный режим ( увеличивается). Показания приборов для одной точки дорезонансного режима и одной точки послерезонансного режима занести в табл. 5-1.

4. По данным табл. 1 построить векторные диаграммы цепи для трех режимов: резонансного, дорезонансного и послерезонансного. Диаграмму удобно строить методом засечек с помощью циркуля, в соответствии с балансом токов.

5. Установить ток , близкий к резонансному, регулированием индуктивности (рукоятка ). Разомкнуть ключ В1, показания приборов занести в табл. 5-2.

Таблица 5- 2

6. По данным табл. 2 определить , , , по формулам:

Включить суммарную емкость С=30 мкФ. Ключ В1 замкнут. Изменяя индуктивность, установить резонансный режим. Оставив индуктивность неизменной, записать показания приборов при ступенчатом изменении емкости в пределах имеющегося магазина емкостей. Показания приборов занести в табл. 5-3.

7. По данным табл. 5-3 построить графики зависимостей:

cos φвх (С) — определяется из соотношения (4.8)

— определяется из соотношения (4.5)

Содержание отчета

1. Название работы.

3. Схему исследования.

4. Таблицу приборов и оборудования.

5. Таблицы с результатами измерений и вычислений.

6. Расчетные формулы.

7. Графики зависимостей.

8. Векторные диаграммы.

9. Выводы об особенностях резонансного и нерезонансного режимов.

Контрольные вопросы

1. Что такое резонанс напряжений?

2. Каким способом регулируется собственная частота цепи?

3. Чем определяется величина усиления токов?

4. Почему входной коэффициент мощности равен единице, а до и после резонанса быстро снижается?

5. Как строятся векторные диаграммы цепи для режимов до и после резонанса, для режима резонанса?

6. Почему резонансные режимы весьма экономичны?

7. Где используется резонансы токов?

Литература

1. Электротехника [Текст]: / Под ред. В. С. Пантюшина.- М.: Высшая школа , 1976. — гл.5, С.116-119

2. Касаткин, А.С. Электротехника [Текст]: / А.С. Касаткин, М.В. Немцов; — М.: Высшая школа, 2002. — гл.12, с. 339-356.

3. Бессонов, Л.А. Теоретические основы электротехники. [Текст]: — М.: Гардарики, 2001. — §1.28.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6

Исследование электрического состояния

трехфазной цепи с однофазными приемниками, соединенными звездой

Цель работы: Научиться включать потребитель в звезду в цепи трехфазного тока. Изучить влияние изменения параметров однофазных приемников на ток в нейтральном проводе и на напряжение между зажимами приемников. Приобрести практические навыки по измерению мощностей в трехфазных цепях.

Источник

Лекция 12. РЕЗОНАНС. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

1 4 Лекция РЕЗОНАНС ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Резонанс и его значение в радиоэлектронике Комплексные передаточные функции 3 Логарифмические частотные характеристики 4 Выводы Резонанс и его значение в радиоэлектронике Резонанс такой режим цепи синусоидального тока, содержащей индуктивные и емкостные элементы, при котором реактивное сопротивление и проводимость равны нулю При резонансе приложенное напряжение и входной ток совпадают по фазе Цепи, в которых возникает явление резонанса, называют резонансными цепями или колебательными контурами Резонанс напряжений наблюдается в цепях с последовательным соединением ветвей, содержащих L и C элементы В цепях с параллельным соединением ветвей, содержащих L и C элементы, может наблюдаться резонанс токов В электротехнических установках резонанс часто оказывается опасным и нежелательным явлением, так как может привести к авариям вследствие перегрева элементов электрической цепи или пробоя изоляции при перенапряжениях В то же время резонансные явления находят широкое применение в радиоэлектронике Резонансные контуры входят в состав многих радиотехнических устройств Например, электронные фильтры являются сложными резонансными системами Резонанс напряжений Простейшей цепью, в которой наблюдается резонанс напряжений, является последовательный колебательный контур (рис ) Рис Комплексное сопротивление такой цепи Z R + æ ö jçω L — è ωc ø

2 Реактивное сопротивление 5 X wl — wc изменяется от до при изменении частоты ω от 0 до На рис, а показаны графики зависимости сопротивлений x L wl, x C и X ( ω) от частоты wc а Рис б Каждому значению частоты ω соответствует определенное значение комплексного сопротивления Z На комплексной плоскости его можно изобразить с помощью вектора При изменении от 0 до конец вектора Z перемещается из точки с координатами < R, - >в точку < R, >Годограф вектора Z показан на рис, б Резонанс напряжений наступает, когда реактивное сопротивление обращается в нуль, т е æ ö X çω L — 0 è ωc ø Это происходит при резонансной частоте ω 0, когда w 0L w C Отсюда следует, что резонансная частота последовательного колебательного контура w 0 LC 0

3 6 Резонанс напряжений характеризуется следующими факторами Поскольку при резонансе напряжений реактивное сопротивление X 0, полное сопротивление цепи принимает минимальное значение Z R + X min Вследствие этого ток в цепи достигает максимального значения При резонансе ток и напряжение совпадают по фазе, поэтому коэффициент мощности cos φ Сопротивления индуктивного и емкостного элементов в схеме на рис при резонансе равны: x L xc w 0 L C L Эту величину называют характеристическим сопротивлением контура и обозначают ρ: L ρ C Напряжение индуктивного элемента при резонансе U L 0 jw LI Учитывая, что при резонансе входное напряжение равно напряжению резистивного элемента, получим r U L U вх QU вх R Величину Q ρ называют добротностью колебательного контура R Она характеризует резонансные свойства контура Легко показать, что добротность равна отношению напряжения на индуктивном и, следовательно, на емкостном элементах в режиме резонанса к напряжению, приложенному к контуру Действительно, при резонансе U L U C r I, а входное напряжение U вх RI Следовательно, ri U UC Q L RI U вх U вх

4 7 Добротность последовательного колебательного контура тем выше, чем меньше активное сопротивление R В радиотехнике используют колебательные контуры, добротность которых превышает 00 Если такой колебательный контур настроен в резонанс, напряжение индуктивного и емкостного элементов во много раз превышает входное Это свойство колебательных контуров широко используется в радиоэлектронике для выделения (селекции) сигналов определенной частоты а Рис 3 б Будем считать, что амплитуда питающего напряжения неизменна, а угловая частота ω изменяется от 0 до Рассмотрим, как изменяются при этом ток и напряжения элементов последовательного контура На постоянном токе, при ω 0, емкостное сопротивление бесконечно велико Ток и напряжение индуктивного элемента равны нулю, а напряжение емкостного элемента равно входному При бесконечно большой частоте индуктивный элемент представляет разрыв, поэтому ток также равен нулю Напряжение индуктивного элемента равно входному, а емкостный элемент эквивалентен короткому замыканию Максимального значения ток достигает на резонансной частоте, когда сопротивление последовательного контура минимально: U I R Зависимости U L, U C, I от частоты ω для случая, когда добротность последовательного колебательного контура Q, показаны на рис 3, а Такие зависимости называют частотными или резонансными характеристиками На рис 3, б построены частотные характеристики напряжения U R( w) в последовательном колебательном контуре для различных значений добротности Они показывают, что резонансные явления в контуре проявляются тем сильнее, чем выше добротность

5 8 Резонанс токов Простейшей цепью, в которой может наблюдаться резонанс токов, является параллельный колебательный контур (рис 4) Рис 4 Комплексная проводимость контура Y G + æ ö jçω C — è ωl ø Реактивная проводимость контура B æ ö jçω C -, è ωl ø изменяется от — до + при изменении частоты от 0 до Частотные характеристики проводимостей b C wc, b L и реактивной проводимости wl B аналогичны частотным характеристикам сопротивлений x L, x C и X последовательного колебательного контура (рис, а) Резонанс токов наступает, когда реактивная проводимость обращается в нуль: Резонансная частота æ ö B ç — ωc 0 è ω L ø w 0 LC На резонансной частоте полная проводимость контура минимальна: Y ( w 0 ) G

Читайте также:  Что такое ток срабатывания максимальной токовой защиты

6 9 Соответственно полное сопротивление параллельного колебательного контура Z ( w ) 0 Y w ( ) на частоте резонанса максимально Следовательно, при резонансе токов ток неразветвленной части цепи имеет наименьшее значение и равен току резистивного элемента: I U рез R При резонансе токи емкостного и индуктивного элементов по модулю равны: I C w 0 CU QI При резонансе они в Q раз больше, чем ток неразветвленной части цепи Величину Q R называют добротностью параллельного колебательного контура Как и в случае последовательного колебательного контура, ха- ρ рактеристическое сопротивление L ρ C Добротность параллельного колебательного контура тем больше, чем больше сопротивление резистора R, включенного параллельно индуктивному и емкостному элементам Комплексные передаточные функции (комплексные частотные характеристики) Сопротивления индуктивных и емкостных элементов являются функциями частоты приложенного напряжения Поэтому изменение частоты гармонических колебаний входного воздействия приводит к изменению амплитуды и начальной фазы реакции Частотную зависимость отношений амплитуд реакции и входного воздействия называют амплитудно-частотной характеристикой, а зависимость разности начальных фаз реакции и входного воздействия от частоты фазочастотной характеристикой Электронные цепи, которые служат для передачи сигналов, имеют обычно две пары внешних зажимов, т е являются четырехполюсниками (рис 5) Передающие свойства четырехполюсника характеризуют передаточными функциями Комплексной передаточной функцией называют отношение комплексной амплитуды реакции к комплексной амплитуде входного 0

7 0 воздействия Поскольку входным воздействием и реакцией могут быть ток или напряжение, различают четыре вида передаточных функций Рис 5 Функция передачи напряжений равна отношению напряжений на выходе и на входе цепи: H U jw U & ( ) Здесь U &, U & комплексы напряжений соответственно на входе и выходе цепи Функция передачи тока равна отношению выходного и входного токов H I ( jw) I& I& Передаточным сопротивлением называют отношение выходного напряжения U & к входному току I & : Z ( j ) I& w Передаточная проводимость это отношение выходного тока I & к напряжению на входе U & : Y ( j ) I& w Следует подчеркнуть несколько особенностей передаточных функций Во-первых, для однозначного определения передаточной функции необходимо указать направления токов и напряжений Во-вторых, следует помнить, что первый индекс соответствует выходу, а второй входу В-третьих, пере-

8 Z не является величиной, обратной проводи- даточное сопротивление ( jw ) мости Y ( ) jw Передаточные функции принимают комплексные значения при любых значениях частоты j ω Их можно представить в алгебраической форме через вещественные и мнимые части либо в показательной форме через модуль и аргумент Представим комплексную передаточную функцию в показательной форме записи: jq( w) ( jw) H ( jw) e H Модуль комплексной передаточной функции определяет амплитудночастотную характеристику, а аргумент фазочастотную характеристику Запишем комплексную амплитуду входного воздействия в показательной форме j m U me j Комплексная амплитуда реакции m jq ( w ) ( jw) U H ( jw) e & jy U H & m Амплитуда реакции равна произведению амплитуды входного воздействия на модуль комплексной передаточной функции: ( j ) U U m H w m Начальная фаза реакции равна сумме начальной фазы входного воздействия и значения фазочастотной характеристики на частоте w: y y + j( w) Поскольку H ( jω) комплексная величина, ее можно изобразить вектором на комплексной плоскости Длина вектора равна значению АЧХ на частоте w, а угол, который образует вектор с вещественной положительной полуосью значению ФЧХ С изменением частоты конец вектора опишет кривую, которую называют годографом комплексной передаточной функции или амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) Годограф H ( jω) строят при изменении частоты w от 0 до ω Функции цепи можно найти как отношение определителей и алгебраических дополнений матриц коэффициентов системы узловых или контурных уравнений В качестве примера рассмотрим четырехполюсную цепь, на входе которой действует источник тока (рис 6) U m e

9 Входным является узел, а выходным узел Напряжения входного и выходного узлов: (-) + U & ; Здесь главный определитель системы узловых уравнений, ij минор, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца Комплексная передаточная функция H ( jw) (- ) + В общем случае, если входным является узел номером i, а выходным узел j, передаточная функция определяется формулой H ( jw) j i i (-) + j ii i j () Элементы матрицы контурных или узловых уравнений являются рациональными функциями частоты j ω Поскольку суммы, произведения и разности рациональных функций также рациональные функции, комплексные функции линейных цепей являются дробно-рациональными функциями, т е отношением полиномов от j ω Все коэффициенты в числителе и знаменателе функции цепи вещественные числа Порядок функции цепи равен суммарному числу реактивных элементов Рис 6 Рис 7 Пример Определить комплексную передаточную функцию интегрирующей RC-цепи, показанной на рис 7

10 3 Комплексная передаточная функция представляет отношение комплексов напряжения на входе и выходе цепи: H ( jw) jwcr + Амплитудно-частотная характеристика H w ( j ) ( w CR) + Фазочастотная характеристика j ( w) arg H ( jw) -arctgw CR Графики АЧХ и ФЧХ анализируемой цепи показаны на рис 8, а, б а Рис 8 б Амплитудно-частотная характеристика RC-цепи монотонно убывает с ростом частоты и стремится к нулю при ω Фазочастотная характеристика π также монотонно убывает, изменяясь от 0 при ω 0 до — при ω Рис 9

11 4 На рис 9 показан график амлитудно-фазовой характеристики цепи Годограф H ( jω) представляет кривую, начинающуюся в точке с координатами (, 0) и заканчивающуюся в точке (0, 0) 3 Логарифмические частотные характеристики В технике связи, теории автоматического регулирования широко используются устройства, у которых значения амплитудно-частотных характеристик изменяются в очень широких пределах Примером являются резонансные контуры, используемые в радиотехнике, электрические фильтры, усилители и т д В таких случаях удобнее оперировать логарифмическими частотными характеристиками (ЛАХ), которые пропорциональны логарифму от соответствующей безразмерной АЧХ Обычно используют аббревиатуры ЛАХ или ЛАЧХ ЛАХ принято оценивать в децибелах (дб): A ( ω) 0lg H ( ω), где lg логарифм при основании 0 Переход к логарифмической шкале позволяет существенно «сжать» пределы изменения амплитудно-частотных характеристик Усилению сигнала в два раза соответствует приращение A ( ω) на 6 дб; усилению в 0 раз соответствует значение A ( ω), равное 0 дб A ω называют логарифмическим усилением или усилением в Величину ( ) децибелах Усилению сигнала соответствуют положительные значения ( ω) A, ослаблению отрицательные значения логарифмического усиления При исследовании ЛАЧХ в широком диапазоне частот изменение частоты также целесообразно оценивать в логарифмических единицах Отношение частот двух гармонических колебаний называют интервалом, а интервал, соответствующий удвоению частоты, октавой Например, изменению частоты в четыре раза соответствует интервал в две октавы, а восьмикратному увеличению частоты в три октавы Число октав N может быть приближенно найдено из формулы w N» 3 3lg w Интервал, соответствующий изменению частоты в десять раз, называют декадой Число декад определяется формулой w N 0» lg w Изменению частоты в 0 раз соответствует одна декада, в 00 раз две декады и т д

12 5 Использование логарифмического масштаба позволяет рассмотреть изменение частотных характеристик в широком диапазоне на небольшом графике Кроме того, умножение передаточных функций отдельных звеньев сложной цепи заменяется суммированием ЛАХ 4 Выводы Резонанс режим цепи синусоидального тока, содержащей индуктивные и емкостные элементы, при котором реактивное сопротивление и проводимость равны нулю При резонансе приложенное напряжение и входной ток совпадают по фазе Резонанс напряжений наблюдается в цепях с последовательным соединением ветвей, содержащих L и C элементы Простейшей цепью, в которой наблюдается резонанс напряжений, является последовательный колебательный контур 3 Резонанс токов наблюдается в цепях с параллельным соединением ветвей, содержащих L и C элементы Простейшей цепью, в которой может возникать резонанс токов, является параллельный колебательный контур 4 Комплексной передаточной функцией электрической цепи называют отношение комплексной амплитуды реакции к комплексной амплитуде входного воздействия

Источник

Adblock
detector